Введение
Математическое уравнение, связывающее e, i и π
В математике тождество Эйлера (также известное как формула Эйлера) — это равенство
где
e — число Эйлера, основание натуральных логарифмов,
i — мнимая единица, которая по определению удовлетворяет условию i² = -1, и
π — число пи, отношение длины окружности к её диаметру. Тождество Эйлера названо в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера. Оно является частным случаем формулы Эйлера при значении x = π. Тождество Эйлера считается образцом математической красоты, поскольку демонстрирует глубокую связь между наиболее фундаментальными математическими константами. Кроме того, оно непосредственно используется в доказательстве трансцендентности числа π, что подразумевает невозможность квадратуры круга.
is Euler's number, the base of natural logarithms,
is the imaginary unit, which by definition satisfies , and
is pi, the ratio of the circumference of a circle to its diameter. Euler's identity is named after the Swiss mathematician Leonhard Euler. It is a special case of Euler's formula when evaluated for Euler's identity is considered to be an exemplar of mathematical beauty as it shows a profound connection between the most fundamental numbers in mathematics. In addition, it is directly used in a proof that is transcendental, which implies the impossibility of squaring the circle.
Геометрическая интерпретация
Любое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости. Эта точка также может быть представлена в полярных координатах как , где r – модуль z (расстояние от начала координат), а – аргумент z (угол отсчитываемый против часовой стрелки от положительной оси x). По определению синуса и косинуса, эта точка имеет декартовы координаты , что подразумевает, что согласно формуле Эйлера, это эквивалентно выражению. Тождество Эйлера утверждает, что Поскольку для r = 1 и , это можно интерпретировать как факт о числе −1 на комплексной плоскости: его расстояние от начала координат равно 1, а угол от положительной оси x равен радиан. Кроме того, умножение любого комплексного числа z на приводит к повороту z против часовой стрелки на угол в комплексной плоскости. Поскольку умножение на −1 симметрично отображает точку относительно начала координат, тождество Эйлера можно интерпретировать как утверждение, что поворот любой точки на радиан вокруг начала координат эквивалентен симметричному отображению этой точки относительно начала координат. Аналогично, подстановка равного дает соответствующее уравнение , которое можно интерпретировать как утверждение, что поворот любой точки на один полный оборот вокруг начала координат возвращает её в исходное положение.
Euler's identity says that Since is for r = 1 and , this can be interpreted as a fact about the number −1 on the complex plane: its distance from the origin is 1, and its angle from the positive x axis is radians. Additionally, when any complex number z is multiplied by , it has the effect of rotating z counterclockwise by an angle of on the complex plane. Since multiplication by −1 reflects a point across the origin, Euler's identity can be interpreted as saying that rotating any point radians around the origin has the same effect as reflecting the point across the origin. Similarly, setting equal to yields the related equation which can be interpreted as saying that rotating any point by one turn around the origin returns it to its original position.
История
Хотя тождество Эйлера является прямым следствием формулы Эйлера, опубликованной в его монументальном труде по математическому анализу в 1748 году, Introductio in analysin infinitorum, остаётся под вопросом, можно ли приписывать самому Эйлеру конкретную идею объединения пяти фундаментальных констант в компактном виде, поскольку он, возможно, никогда её не формулировал. Робин Уилсон утверждает следующее.