Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Пирамидадағы жиналған шарлардың саны
Number of stacked spheres in a pyramid
Математикада пирамидалық сан немесе шаршы пирамидалық сан — шаршы негізді пирамидадағы жиналған шарларды санайтын натурал сан. Мұндай сандарды зерттеу Архимед пен Фибоначчиге дейін жетеді. Олар әртүрлі пішіндердегі реттелген үлгілер құрайтын нүктелер санын көрсететін фигуралық сандардың кең тақырыбының бір бөлігі болып табылады. Пирамидадағы шарларды санаудан басқа, бұл сандарды алгебралық түрде бірінші оң квадрат сандардың қосындысы ретінде немесе кубтық полиномның мәні ретінде сипаттауға болады. Олар басқа да санау мәселелерін шешу үшін қолданылады, соның ішінде квадрат тордағы квадраттарды санау және тақ қабырғалы көпбұрыштардың төбелерінен құрылған сүйір бұрышты үшбұрыштарды санау. Олар тізбекті тетраэдрлік сандардың қосындысына тең және үлкен тетраэдрлік санның төрттен бірін құрайды. Екі тізбекті шаршы пирамидалық санның қосындысы октаэдрлік сан болып табылады.
In mathematics, a pyramid number, or square pyramidal number, is a natural number that counts the stacked spheres in a pyramid with a square base. The study of these numbers goes back to Archimedes and Fibonacci. They are part of a broader topic of figurate numbers representing the numbers of points forming regular patterns within different shapes. As well as counting spheres in a pyramid, these numbers can be described algebraically as a sum of the first positive square numbers, or as the values of a cubic polynomial. They can be used to solve several other counting problems, including counting squares in a square grid and counting acute triangles formed from the vertices of an odd regular polygon. They equal the sums of consecutive tetrahedral numbers, and are one fourth of a larger tetrahedral number. The sum of two consecutive square pyramidal numbers is an octahedral number.
Тарих
Пирамидалық сандар грек математикасында Никомах, Смирналық Тео және Ямблих еңбектерінде зерттелген үш өлшемді фигуралы сандардың аз ғана түрлерінің бірі болды. Бір-бірінен кейін келетін квадраттардың қосындысын кубтық полиномиал түрінде беретін формулалар, олардың мәндері квадратты пирамидалық сандар болып табылады, Архимед конустың көлемін зерттеудің бір бөлігі ретінде осы қосындыны лемма ретінде пайдаланды, ал Фибоначчи квадраттардың прогрессиясының қосындыларын табу мәселесіне жалпы шешім табу барысында берді. Квадратты пирамидалық сандар васан дәуіріндегі жапон математиктері зерттеген фигуралы сандар отбасыларының бірі болды, олар оларды "kirei saijō suida" (қазіргі канзимен, 奇零 再乗 蓑深) деп атады. Сол мәселені, шар тәрізді пирамидадағы оқтардың санын анықтау ретінде қойған Уолтер Рэли 1500 жылдардың соңында математик Томас Харриотқа, екеуі де теңізде саяхаттап жүргенде жүгінді. 1 және 4900-ден басқа квадрат сандарға тең квадратты пирамидалық сандар бар ма деген сұрақ осы әңгімеден туындады. Эдуард Лукас шарлардың квадрат саны бар 4900 шардан тұратын пирамиданы тапты және "оқтар мәселесін" кеңінен таныстыру арқылы, бұл жалғыз маңызды емес шешім екенін айтты. Лукас пен Клод Серафин Морет Бланктің толық емес дәлелдемелерінен кейін, мұндай сандардың басқасы жоқ екенін алғаш толық дәлелдеген Г.Н. Уотсон 1918 жылы болды.
The pyramidal numbers were one of the few types of three dimensional figurate numbers studied in Greek mathematics, in works by Nicomachus, Theon of Smyrna, and Iamblichus. Formulas for summing consecutive squares to give a cubic polynomial, whose values are the square pyramidal numbers, are given by Archimedes, who used this sum as a lemma as part of a study of the volume of a cone, and by Fibonacci, as part of a more general solution to the problem of finding formulas for sums of progressions of squares. The square pyramidal numbers were also one of the families of figurate numbers studied by Japanese mathematicians of the wasan period, who named them "kirei saijō suida" (with modern kanji, 奇零 再乗 蓑深). The same problem, formulated as one of counting the cannonballs in a square pyramid, was posed by Walter Raleigh to mathematician Thomas Harriot in the late 1500s, while both were on a sea voyage. The cannonball problem, asking whether there are any square pyramidal numbers that are also square numbers other than 1 and 4900, is said to have developed out of this exchange. Édouard Lucas found the 4900 ball pyramid with a square number of balls, and in making the cannonball problem more widely known, suggested that it was the only nontrivial solution. After incomplete proofs by Lucas and Claude Séraphin Moret Blanc, the first complete proof that no other such numbers exist was given by G. N. Watson in 1918.
Басқа қасиеттері
Бірлік бөлшектердің кезектесіп отыруы, бөлімдерінде квадратты пирамидалық сандармен, π үшін Лейбниц формуласымен тығыз байланысты, бірақ одан жылдамрақ жақындайды. Ол:
The alternating series of unit fractions with the square pyramidal numbers as denominators is closely related to the Leibniz formula for , although it converges more quickly. It is:
In approximation theory, the sequences of odd numbers, sums of odd numbers (square numbers), sums of square numbers (square pyramidal numbers), etc., form the coefficients in a method for converting Chebyshev approximations into polynomials.