Пирамидальные числа: математическое понятие, подсчитывающее сферы в пирамиде с квадратным основанием. История, формула, применение в геометрии и задачах подсчёта.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Число сложенных сфер в пирамиде
Number of stacked spheres in a pyramid
В математике пирамидальное число, или квадратное пирамидальное число, — это натуральное число, которое подсчитывает количество сфер, сложенных в пирамиду с квадратным основанием. Изучение этих чисел восходит к Архимеду и Фибоначчи. Они являются частью более широкой темы фигурных чисел, представляющих собой количество точек, образующих правильные узоры в различных фигурах. Помимо подсчета сфер в пирамиде, эти числа можно алгебраически представить как сумму первых n положительных квадратных чисел или как значения кубического многочлена. Они могут быть использованы для решения ряда других задач на подсчет, включая подсчет квадратов в квадратной сетке и подсчет острых треугольников, образованных вершинами нечетного правильного многоугольника. Они равны суммам последовательных тетраэдрических чисел и составляют одну четверть большего тетраэдрического числа. Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.
In mathematics, a pyramid number, or square pyramidal number, is a natural number that counts the stacked spheres in a pyramid with a square base. The study of these numbers goes back to Archimedes and Fibonacci. They are part of a broader topic of figurate numbers representing the numbers of points forming regular patterns within different shapes. As well as counting spheres in a pyramid, these numbers can be described algebraically as a sum of the first positive square numbers, or as the values of a cubic polynomial. They can be used to solve several other counting problems, including counting squares in a square grid and counting acute triangles formed from the vertices of an odd regular polygon. They equal the sums of consecutive tetrahedral numbers, and are one fourth of a larger tetrahedral number. The sum of two consecutive square pyramidal numbers is an octahedral number.
История
Пирамидальные числа были одним из немногих типов трехмерных фигурных чисел, изучаемых в греческой математике, в трудах Никомаха, Теона из Смирны и Ямблиха. Формулы для суммирования последовательных квадратов, дающие кубический многочлен, значения которого являются квадратными пирамидальными числами, были приведены Архимедом, который использовал эту сумму как лемму при исследовании объема конуса, и Фибоначчи, как часть более общего решения задачи нахождения формул для сумм прогрессий квадратов. Квадратные пирамидальные числа также были одним из семейств фигурных чисел, изучаемых японскими математиками периода васан, которые назвали их "кирей сайдзё суида" (в современном кандзи, 奇零 再乗 蓑深). Та же задача, сформулированная как подсчет пушечных ядер в квадратной пирамиде, была поставлена Уолтером Рэли математику Томасу Гарриоту в конце 1500-х годов, во время морского путешествия. Проблема с пушечными ядрами, спрашивающая, существуют ли какие-либо квадратные пирамидальные числа, которые также являются полными квадратами, кроме 1 и 4900, предположительно возникла из этого обмена. Эдуард Лукас обнаружил пирамиду из 4900 ядер, представляющую собой полный квадрат, и, сделав задачу с пушечными ядрами более известной, предположил, что это единственное нетривиальное решение. После неполных доказательств, представленных Лукасом и Клодом Серафином Море Бланком, первое полное доказательство отсутствия других таких чисел было дано Г. Н. Уотсоном в 1918 году.
The pyramidal numbers were one of the few types of three dimensional figurate numbers studied in Greek mathematics, in works by Nicomachus, Theon of Smyrna, and Iamblichus. Formulas for summing consecutive squares to give a cubic polynomial, whose values are the square pyramidal numbers, are given by Archimedes, who used this sum as a lemma as part of a study of the volume of a cone, and by Fibonacci, as part of a more general solution to the problem of finding formulas for sums of progressions of squares. The square pyramidal numbers were also one of the families of figurate numbers studied by Japanese mathematicians of the wasan period, who named them "kirei saijō suida" (with modern kanji, 奇零 再乗 蓑深). The same problem, formulated as one of counting the cannonballs in a square pyramid, was posed by Walter Raleigh to mathematician Thomas Harriot in the late 1500s, while both were on a sea voyage. The cannonball problem, asking whether there are any square pyramidal numbers that are also square numbers other than 1 and 4900, is said to have developed out of this exchange. Édouard Lucas found the 4900 ball pyramid with a square number of balls, and in making the cannonball problem more widely known, suggested that it was the only nontrivial solution. After incomplete proofs by Lucas and Claude Séraphin Moret Blanc, the first complete proof that no other such numbers exist was given by G. N. Watson in 1918.
Другие свойства
Сменный ряд единичных дробей с квадратными пирамидальными числами в знаменателе тесно связан с формулой Лейбница для π, хотя он сходится быстрее. Он выглядит следующим образом:
The alternating series of unit fractions with the square pyramidal numbers as denominators is closely related to the Leibniz formula for , although it converges more quickly. It is:
В теории приближений последовательности нечетных чисел, суммы нечетных чисел (квадратные числа), суммы квадратных чисел (квадратные пирамидальные числа) и так далее образуют коэффициенты в методе преобразования приближений Чебышева в полиномы.
In approximation theory, the sequences of odd numbers, sums of odd numbers (square numbers), sums of square numbers (square pyramidal numbers), etc., form the coefficients in a method for converting Chebyshev approximations into polynomials.