Шварц туындысы және конформдік бейіндеулер теориясы

Кіріспе

Конформалды бейнелеулерді зерттеу үшін қолданылатын сызықтық емес дифференциалдық оператор. Математикада Шварц туындысы – Мёбиус түрлендірулерінде өзгермейтін туындыға ұқсас оператор. Осылайша, ол күрделі проективтік түзу теориясында, әсіресе модульдік формалар мен гипергеометриялық функциялар теориясында кездеседі. Ол унивалентті функциялар теориясында, конформалды бейнелеуде және Тейхмюллер кеңістіктерінде маңызды рөл атқарады. Ол неміс математигі Герман Шварцтың құрметіне аталған.

Геометриялық түсіндіру

Уильям Терстон Шварц туындысын конформдық бейнелеудің Мёбиус түрлендіруінен қаншалықты алшақтығының өлшемі ретінде қарастырады. Екі сызықтық тәуелсіз голоморфты шешімдер болсын. Онда қатынас шешімдер анықталған доменде орындалады, және керісінше де рас: егер мұндай g болса және ол жай байланысқан доменде голоморфты болса, онда екі шешім және табылады, сонымен қатар, олар ортақ масштабтық коэффициентке дейін бірегей болады. Егер екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді жоғарыда көрсетілген формаға келтірілсе, алынған Q кейде теңдеудің Q мәні деп аталады. Гаусс гипергеометриялық дифференциалдық теңдеуін жоғарыда көрсетілген формаға келтіруге болады, демек гипергеометриялық теңдеудің шешімдері осылай байланысты.

Орталық кеңейтулер

Кесілген гомоморфизмдер өз кезегінде Diff(S¹) және оның Lie алгебрасы Vect(S¹) үшін орталық кеңейтуді тудырады, бұл Вирасоро алгебрасы деп аталады.

Бірлескен іс-қимыл

Diff(('S'^(1)) тобы және оның орталық кеңейуі Тейхмюллер теориясы және жол теориясы контекстінде де табиғи түрде пайда болады. Шындығында, 'D' квазиконформдық өзіндік бейнелеулерімен шақырылған 'S'^(1)' гомеоморфизмдері дәл 'S'^(1)' квазисимметриялық гомеоморфизмдері болып табылады; бұл төрт нүктені қима қатынасы 1/2 болатын нүктелерге 1 немесе 0-ға жақын қима қатынасымен жібермейтін гомеоморфизмдер. Шекаралық мәндерді ескере отырып, әмбебап Тейхмюллер кеңістігі 'S'^(1)' квазисимметриялық гомеоморфизмдер тобы QS('S'^(1)) Мёбиус түрлендірулерінің кіші тобы Moeb('S'^(1)) бойынша алынған бөлшектің нәтижесі ретінде анықталады. (Оны 'C' жазықтығындағы квазишеңберлер кеңістігі ретінде де табиғи түрде жүзеге асыруға болады.) Біртекті кеңістік Diff('S'^(1))/Moeb('S'^(1)) табиғи түрде әмбебап Тейхмюллер кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады. Бұл сондай-ақ табиғи түрде күрделі манифольд болып табылады және бұл және басқа да табиғи геометриялық құрылымдар Тейхмюллер кеңістігіндегілермен үйлесімді. Diff('S'^(1)) Ли алгебрасының дуалы 'S'^(1)' кеңістігіндегі Хилл операторларының кеңістігімен сәйкес келеді, ал Diff('S'^(1)) коадъюнт әрекеті Шварц туындысын қолданады. Диффеоморфизм f-тің керісі Хилл операторын

Псевдотоптар мен байланыстар

Шварц туындысы және Diff(S¹)-де анықталған басқа 1-коциклді кешенді жазықтықтағы ашық жиындар арасында бихоломорфты ретінде кеңейтуге болады. Бұл жағдайда жергілікті сипаттама аналитикалық псевдотоптар теориясына алып келеді, ол Эли Картан 1910 жылдары алғаш зерттеген шексіз өлшемді топтар мен Ли алгебраларының теориясын формалдайды. Бұл Риман беттеріндегі аффиндік және проективтік құрылымдармен, сондай-ақ Гуннинг, Шиффер және Хоули талқылаған Шварц немесе проективтік байланыстар теориясымен байланысты. C-дегі голоморфты псевдотоп Γ – C-дегі U және V ашық жиындары арасындағы f бихоломорфизмдер жиынынан тұрады, онда әр ашық U үшін сәйкестік бейнелеулер бар, ол ашық жиынға шектеу кезінде жабық, мүмкін болған жағдайда композиция кезінде жабық, кері бейнелеулерді алу кезінде жабық және егер бихоломорфизмдер Γ-де жергілікті түрде болса, онда ол да Γ-де болады. Псевдотоп транзитивті деп аталады, егер C-де z және w берілген болса, онда 1 = f(z) = w болатын Γ-дегі f бихоломорфизмі бар. Транзитивті псевдотоптардың ерекше жағдайы – тегіс, яғни 1 = Tb(z) = z + b барлық күрделі трансляцияларды қамтиды. G – 1 = F(z) = a₁z + a₂z² + … (a₁ ≠ 0) формальды қуат қатарлары түрлендірулерінің тобы болсын. Голоморфты псевдотоп Γ, G-дің A кіші тобын анықтайды, атап айтқанда, 1 = f(0) = 0 болатын f элементтерінің 0-ге (немесе «жетісіне») қатысты Тейлор қатарларының кеңеюімен анықталған кіші топты. Керісінше, егер Γ тегіс болса, ол A арқылы бірегей түрде анықталады: U-дағы f бихоломорфизмі Γ-де тек және ғана егер Tf(a) ∘ f ∘ Ta қуат қатарлары A-да болса. Басқаша айтқанда, f үшін формальды қуат қатарлары A элементімен беріледі, онда z z – a-мен алмастырылады; немесе қысқаша айтқанда, f-тың барлық ағындары A-да жатыр. G тобының k-ұшқыштардан тұратын Gk тобындағы гомоморфизмі бар, ол zk мүшесіне дейін қуат қатарларын қысқарту арқылы алынады. Бұл топ k дәрежелі көпмүшелер кеңістігінде адал әрекет етеді (k-дан жоғары реттілік мүшелерді қысқарту). Қысқартулар Gk-нің Gk–1 гомоморфизмін дәл осылай анықтайды; ядро 1 = f(z) = z + bzᵏ карталарынан тұрады, сонымен қатар абельдік. Осылайша, Gk тобы шешіледі, бұл факт мономиалдар негізі үшін үшбұрышты түрде екендігінен де көрінеді. Γ жазық псевдотопы «дифференциалдық теңдеулермен анықталған» деп айтылады, егер k шекті бүтін саны болса, онда A-ның Gk-ге гомоморфизмі адал және кескін жабық кіші топ болып табылады. Ең кіші k – Γ реті деп аталады. Осылай пайда болатын барлық A кіші топтарының толық жіктелуі бар, олар Gk-дегі A бейнесі күрделі кіші топ және G1 = C* шартын қанағаттандырады: бұл псевдотопта a ≠ 0 үшін 1 = Sa(z) = az масштабтау түрлендірулері де бар екенін білдіреді, яғни A ≠ 0 барлық полиномиалдық az бар. Бұл жағдайда жалғыз мүмкіндіктер 1 = k = 1 және 1 = A = {az: a ≠ 0}; немесе 1 = k = 2 және 1 = A = {az/(1 – bz): a ≠ 0}. Біріншісі – күрделі Мёбиус тобының аффиндік кіші тобымен анықталған псевдотоп (∞-ны бекітетін az + b түрлендірулері); екіншісі – бүкіл күрделі Мёбиус тобымен анықталған псевдотоп. Бұл жіктелуді Ли алгебралық проблемаға оңай төмендетуге болады, өйткені G-дің формальды Ли алгебрасы формальды векторлық өрістерден тұрады F(z) d/dz, онда F формальды қуат қатары. Ол негізіндегі 1 = dn = z^(n+1) d/dz (n ≥ 0) полиномиалдық векторлық өрістерді қамтиды, бұл Витт алгебрасының субалгебрасы. Ли жақшалары 1 = [dm, dn] = (n – m) dm+n арқылы беріледі. Бұл да 1 = C[[z]]/(z^(k+1)) деп анықталады және d₀, …, dk бейнелері Gk Ли алгебрасының негізін береді. 1 = Ad(Sa) dn = a⁻ⁿ dn екенін ескеріңіз. А Ли алгебрасын белгілейік: ол Gk Ли алгебрасының субалгебрасына изоморфты. Ол d₀-ны қамтиды және Ad(Sa) астында инвариантты. Витт алгебрасының Ли субалгебрасы болғандықтан, оның жалғыз мүмкіндігі – оның негізі d₀ немесе негізі d₀, dn кейбір n ≥ 1 үшін. 1 = f(z) = z + bz^(n+1) + … түріндегі сәйкес топ элементтері бар. Оны аударумен құрастыру 1 = T⁻¹f(ε) ∘ f ∘ Tε(z) = cz + dz² + … (c, d ≠ 0) береді. Егер 1 = n = 2 болмаса, бұл А кіші тобының пішініне қайшы келеді; сондықтан 1 = n = 2. Шварц туындысы күрделі Мёбиус тобының псевдотобымен байланысты. Шын мәнінде, егер f – V-де анықталған бихоломорфизм болса, онда S(f) – V-де квадраттық дифференциал. Егер g – U-де анықталған бихоломорфизм болса және g(V) ⊆ U болса, онда S(f ∘ g) және S(g) – U-де квадраттық дифференциалдар; сонымен қатар S(f) – V-де квадраттық дифференциал, сондықтан g*S(f) – U-де де квадраттық дифференциал. Осылайша, сәйкестік холоморфты квадраттық дифференциалдардағы коэффициенттері бар бихоломорфизмдердің псевдотоптары үшін 1-коциклдің аналогы болып табылады. Сол сияқты, 1 және 1 холоморфты функциялар мен холоморфты дифференциалдардағы 1-коциклдар болып табылады. Жалпы, кез келген реттің холоморфты дифференциалдары үшін 1-коциклді анықтауға болады, сондықтан

The Schwarzian derivative and the other 1 cocycle defined on Diff('S'^(1)) can be extended to biholomorphic between open sets in the complex plane. In this case the local description leads to the theory of analytic pseudogroups, formalizing the theory of infinite dimensional groups and Lie algebras first studied by Élie Cartan in the 1910s. This is related to affine and projective structures on Riemann surfaces as well as the theory of Schwarzian or projective connections, discussed by Gunning, Schiffer and Hawley. A holomorphic pseudogroup Γ on 'C' consists of a collection of biholomorphisms f between open sets U and V in 'C' which contains the identity maps for each open U, which is closed under restricting to opens, which is closed under composition (when possible), which is closed under taking inverses and such that if a biholomorphisms is locally in Γ, then it too is in Γ. The pseudogroup is said to be transitive if, given z and w in 'C', there is a biholomorphism f in Γ such that 1=f(z) = w. A particular case of transitive pseudogroups are those which are flat, i. e. contain all complex translations 1=Tb(z) = z + b. Let G be the group, under composition, of formal power series transformations 1=F(z) = a1z + a2z^(2) + with a1 ≠ 0. A holomorphic pseudogroup Γ defines a subgroup A of G, namely the subgroup defined by the Taylor series expansion about 0 (or "jet") of elements f of Γ with 1=f(0) = 0. Conversely if Γ is flat it is uniquely determined by A: a biholomorphism f on U is contained in Γ in if and only if the power series of T–f(a) ∘ f ∘ Ta lies in A for every a in U: in other words the formal power series for f at a is given by an element of A with z replaced by z − a; or more briefly all the jets of f lie in A. The group G has a natural homomorphisms onto the group Gk of k jets obtained by taking the truncated power series taken up to the term zk. This group acts faithfully on the space of polynomials of degree k (truncating terms of order higher than k). Truncations similarly define homomorphisms of Gk onto Gk − 1; the kernel consists of maps f with 1=f(z) = z + bz^(k), so is Abelian. Thus the group Gk is solvable, a fact also clear from the fact that it is in triangular form for the basis of monomials. A flat pseudogroup Γ is said to be "defined by differential equations" if there is a finite integer k such that homomorphism of A into Gk is faithful and the image is a closed subgroup. The smallest such k is said to be the order of Γ. There is a complete classification of all subgroups A that arise in this way which satisfy the additional assumptions that the image of A in Gk is a complex subgroup and that G1 equals 'C'*: this implies that the pseudogroup also contains the scaling transformations 1=Sa(z) = az for a ≠ 0, i. e. contains A contains every polynomial az with a ≠ 0. The only possibilities in this case are that 1=k = 1 and 1=A = {az: a ≠ 0}; or that 1=k = 2 and 1=A = {az/(1−bz) : a ≠ 0} The former is the pseudogroup defined by affine subgroup of the complex Möbius group (the az + b transformations fixing ∞); the latter is the pseudogroup defined by the whole complex Möbius group. This classification can easily be reduced to a Lie algebraic problem since the formal Lie algebra of G consists of formal vector fields F(z) d/dz with F a formal power series. It contains the polynomial vectors fields with basis 1=dn = z^(n+1) d/dz (n ≥ 0), which is a subalgebra of the Witt algebra. The Lie brackets are given by 1=[dm,dn] = (n − m)dm+n. Again these act on the space of polynomials of degree ≤ k by differentiation—it can be identified with 1='C'[[z]]/(z^(k+1))—and the images of d0, , dk – 1 give a basis of the Lie algebra of Gk. Note that 1=Ad(Sa) dn= a^(–n) dn. Let denote the Lie algebra of A: it is isomorphic to a subalgebra of the Lie algebra of Gk. It contains d0 and is invariant under Ad(Sa). Since is a Lie subalgebra of the Witt algebra, the only possibility is that it has basis d0 or basis d0, dn for some n ≥ 1. There are corresponding group elements of the form 1=f(z)= z + bz^(n+1) + Composing this with translations yields 1=T–f(ε) ∘ f ∘ T ε(z) = cz + dz^(2) + with c, d ≠ 0. Unless 1=n = 2, this contradicts the form of subgroup A; so 1=n = 2. The Schwarzian derivative is related to the pseudogroup for the complex Möbius group. In fact if f is a biholomorphism defined on V then is a quadratic differential on V. If g is a bihomolorphism defined on U and g(V) ⊆ U, S(f ∘ g) and S(g) are quadratic differentials on U; moreover S(f) is a quadratic differential on V, so that g∗S(f) is also a quadratic differential on U. The identity

Жоғарыдағы сәйкестікті кірістіру карталары j-ге қолдану арқылы, одан келеді; және осылайша, егер f₁ – f₂ шектеуі болса, сондықтан 1 = f₂ ∘ j = f₁, онда

Екінші жағынан, голоморфты векторлық өрістермен анықталған жергілікті голоморфты ағынды алу арқылы, жергілікті бихоломорфизмдердің голоморфты псевдотопы голоморфты векторлық өрістермен туындайды. Егер 1-коцикл жарамды үздіксіздік немесе аналитикалық шарттарды қанағаттандырса, ол голоморфты векторлық өрістердің 1-коциклын тудырады, сонымен қатар шектеумен үйлесімді. Сәйкесінше, ол C-дегі голоморфты векторлық өрістердегі 1-коциклді анықтайды:

Негізіндегі 1 = dn = z^(n+1) d/dz (n ≥ -1) полиномиалдық векторлық өрістердің Ли алгебрасына шектеу арқылы, оларды Ли алгебрасының кокогомологиясының әдістерін қолдану арқылы анықтауға болады (алдыңғы бөлімдегі қиылыс гомоморфизміндегідей). Егер ол барлық Витт алгебрасының әрекеті k реттік тығыздықтарға болса, онда бұл тек субалгебраның k реттік дифференциалдарға әрекеті болып табылады. Қайтадан, егер ол C айналымында жоғалып кетсе, онда нөлдік емес 1-коциклдер бар, олар скалярлық еселіктерге дейін бірегей: олар тек 0, 1 және 2 дәрежелі дифференциалдар үшін берілген бірдей туынды формуламен беріледі

мұнда p(z) – полином. 1-коциклдер келесі топтарды анықтайды: бұл масштабтау тобы (1 = k = 0); аффиндік топ (1 = k = 1); және бүкіл күрделі Мёбиус тобы (1 = k = 2). Осылайша, бұл 1-коциклдер псевдотопты анықтайтын ерекше қалыпты дифференциалдық теңдеулер болып табылады. Одан да маңыздысы, оларды Риман беттеріндегі сәйкес аффиндік немесе проективтік құрылымдар мен байланыстарды анықтау үшін пайдалануға болады. Егер Γ – Rⁿ-дегі тегіс бейнелеулердің псевдотопы болса, топологиялық кеңістік M Γ құрылымына ие деп айтылады, егер ол M-дегі ашық жиындар Vi-ден Rⁿ-дегі ашық жиындар Ui-ге гомеоморфизмдер жиынынан тұрса, сондықтан кез келген бос емес қиылыс үшін fi(Ui ∩ Uj) және fj(Ui ∩ Uj) арасындағы табиғи карта Γ-де жатыр. Бұл Γ жергілікті диффеоморфизмдерден тұрса тегіс n-матрица құрылымын, ал 1 = n = 2 болса Риман бетін анықтайды, сондықтан 1 = R² ≡ C және Γ бихоломорфизмдерден тұрады. Егер Γ аффиндік псевдотоп болса, M аффиндік құрылымға ие деп айтылады; және егер Γ Мёбиус псевдотопы болса, M проективтік құрылымға ие деп айтылады. Осылайша, Λ ⊂ C-дегі тор үшін C/Λ түрінде берілген бірлік тегістегі бет аффиндік құрылымға ие; ал p > 1 тегістегі бет Фукс тобымен бөлінген проективтік құрылымға ие. Гуннинг 1966 жылы осы процесті кері қалай жүзеге асыруға болатынын сипаттады: p > 1 үшін проективтік байланыстың болуы, Шварц туындысы 2 арқылы анықталған және стандартты кокогомологиялық нәтижелерді қолдану арқылы дәлелденген, жоғарғы жартылай жазықтықпен немесе бірлік дискімен әмбебап жабын бетін анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін (ұқсас нәтиже 1 үшін, аффиндік байланыстарды қолдану арқылы).