Производная Шварца и конформные отображения

Введение

Нелинейный дифференциальный оператор, используемый для изучения конформных отображений. В математике производная Шварца — это оператор, подобный производной, инвариантный относительно преобразований Мёбиуса. Таким образом, он возникает в теории комплексной проективной прямой, и в частности, в теории модулярных форм и гипергеометрических функций. Он играет важную роль в теории унивалентных функций, конформного отображения и пространств Тейхмюллера. Назван в честь немецкого математика Германна Шварца.

Геометрическая интерпретация

Уильям Терстон интерпретирует производную Шварца как меру отклонения конформного отображения от преобразования Мёбиуса. Пусть и — два линейно независимых голоморфных решения. Тогда отношение удовлетворяет равенству

в области, на которой и определены, и Обратное также верно: если такая функция g существует и голоморфна в простосвязной области, то можно найти два решения и , причем они определены с точностью до общего масштабного множителя. Когда линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к указанной выше форме, полученная величина Q иногда называется Q-значением этого уравнения. Следует отметить, что гауссово гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к указанной выше форме, и, следовательно, пары решений гипергеометрического уравнения связаны таким образом.

Центральные расширения

Перекрестные гомоморфизмы, в свою очередь, порождают центральное расширение Diff(S¹) и его алгебры Ли Vect(S¹), так называемую алгебру Вирасоро.

Совместные действия

Группа Diff('S'^(1)) и её центральное расширение также естественным образом возникают в контексте теории Тейхмюллера и теории струн. Фактически, гомеоморфизмы 'S'^(1), индуцированные квазиконформными самоотображениями 'D', являются точно квазисимметричными гомеоморфизмами 'S'^(1); это именно те гомеоморфизмы, которые не отображают четыре точки с перекрестным отношением 1/2 в точки с перекрестным отношением, близким к 1 или 0. Переходя к граничным значениям, универсальный Тейхмюллер может быть отождествлен с факторгруппой группы квазисимметричных гомеоморфизмов QS('S'^(1)) по подгруппе преобразований Мёбиуса Moeb('S'^(1)). (Он также может быть естественным образом реализован как пространство квазиокружностей в 'C'.) Поскольку

однородное пространство Diff('S'^(1))/Moeb('S'^(1)) является естественным подпространством универсального пространства Тейхмюллера. Оно также является естественным комплексным многообразием, и эти и другие естественные геометрические структуры согласованы с теми, что на пространстве Тейхмюллера. Двойственное к алгебре Ли Diff('S'^(1)) пространство может быть отождествлено с пространством операторов Хилла на 'S'^(1),

а сопряжённое действие Diff('S'^(1)) связано с производной Шварца. Обратное диффеоморфизму f отображает оператор Хилла в

Псевдогруппы и связи

Производная Шварца и другой 1-коцикл, определенный на Diff(S¹), могут быть расширены до биголоморфных отображений между открытыми множествами на комплексной плоскости. В этом случае локальное описание приводит к теории аналитических псевдогрупп, формализуя теорию бесконечномерных групп и алгебр Ли, впервые изученных Эли Картаном в 1910-х годах. Это связано с аффинными и проективными структурами на поверхностях Римана, а также с теорией шварццианских или проективных связностей, обсуждаемой Гуннингом, Шиффером и Хоули. Голоморфная псевдогруппа Γ на ℂ состоит из коллекции биголоморфных отображений f между открытыми множествами U и V в ℂ, содержащей тождественные отображения для каждого открытого U, замкнутой относительно ограничения на открытые подмножества, замкнутой относительно композиции (когда это возможно), замкнутой относительно взятия обратных отображений и такой, что если биголоморфное отображение локально принадлежит Γ, то оно также принадлежит Γ. Псевдогруппа называется транзитивной, если для любых z и w в ℂ существует биголоморфное отображение f в Γ, такое что 1=f(z) = w. Частным случаем транзитивных псевдогрупп являются плоские, то есть содержащие все комплексные трансляции 1=Tb(z) = z + b. Пусть G — группа, относительно композиции, формальных степенных преобразований 1=F(z) = a₁z + a₂z² + … с a₁ ≠ 0. Голоморфная псевдогруппа Γ определяет подгруппу A в G, а именно подгруппу, определяемую разложением в ряд Тейлора в окрестности 0 (или «струей») элементов f из Γ с 1=f(0) = 0. И наоборот, если Γ плоская, она однозначно определяется A: биголоморфное отображение f на U принадлежит Γ тогда и только тогда, когда степенной ряд T–f(a) ∘ f ∘ Ta принадлежит A для каждого a в U: другими словами, формальный степенной ряд для f в точке a задан элементом A с z, замененным на z − a; или, короче говоря, все струи f принадлежат A. Группа G имеет естественные гомоморфизмы в группу Gₖ из k-струй, получаемые путем взятия усеченного степенного ряда до члена zᵏ. Эта группа действует верно на пространстве многочленов степени k (отбрасывая члены порядка выше k). Усечения аналогично определяют гомоморфизмы из Gₖ в Gₖ₋₁. Ядро состоит из отображений f с 1=f(z) = z + bzᵏ, следовательно, является абелевым. Таким образом, группа Gₖ разрешима, что также ясно из того факта, что она имеет треугольную форму относительно базиса мономов. Плоская псевдогруппа Γ называется «определенной дифференциальными уравнениями», если существует конечное целое число k, такое что гомоморфизм A в Gₖ верен, а образ является замкнутой подгруппой. Наименьшее такое k называется порядком Γ. Существует полная классификация всех подгрупп A, возникающих таким образом, которые удовлетворяют дополнительным предположениям, что образ A в Gₖ является комплексной подгруппой и что G₁ = ℂ*: это означает, что псевдогруппа также содержит масштабирующие преобразования 1=Sa(z) = az для a ≠ 0, то есть содержит A содержит каждый полином az с a ≠ 0. Единственные возможности в этом случае: 1=k = 1 и 1=A = {az: a ≠ 0}; или 1=k = 2 и 1=A = {az/(1−bz) : a ≠ 0}. Первая — это псевдогруппа, определяемая аффинной подгруппой комплексной группы Мёбиуса (преобразования az + b фиксируют ∞); вторая — это псевдогруппа, определяемая всей комплексной группой Мёбиуса. Эта классификация может быть легко сведена к алгебраической задаче Ли, поскольку формальная алгебра Ли G состоит из формальных векторных полей F(z) d/dz, где F — формальный степенной ряд. Она содержит поля полиномиальных векторов с базисом 1=dₙ = zⁿ⁺¹ d/dz (n ≥ 0), который является подалгеброй алгебры Витта. Лжескобки задаются 1=[dₘ, dₙ] = (n − m)dₘ₊ₙ. Опять же, они действуют на пространство многочленов степени ≤ k дифференцированием, которое можно отождествить с 1=ℂ[[z]]/(zᵏ⁺¹), а образы d₀, …, dₖ₋₁ дают базис алгебры Ли Gₖ. Обратите внимание, что 1=Ad(Sa) dₙ= a⁻ⁿ dₙ. Пусть обозначает алгебру Ли A: она изоморфна подалгебре алгебры Ли Gₖ. Она содержит d₀ и инвариантна относительно Ad(Sa). Поскольку является алгебраической подалгеброй алгебры Витта, единственная возможность заключается в том, что она имеет базис d₀ или базис d₀, dₙ для некоторого n ≥ 1. Существуют соответствующие элементы группы формы 1=f(z) = z + bzⁿ⁺¹ + … Композиция этого с трансляциями дает 1=T–f(ε) ∘ f ∘ Tε(z) = cz + dz² + … с c, d ≠ 0. Если 1=n = 2, это противоречит форме подгруппы A; следовательно, 1=n = 2. Шварццианская производная связана с псевдогруппой для комплексной группы Мёбиуса. На самом деле, если f — биголоморфное отображение, определенное на V, то является квадратичным дифференциалом на V. Если g — биголоморфное отображение, определенное на U и g(V) ⊆ U, то S(f ∘ g) и S(g) — квадратичные дифференциалы на U; кроме того, S(f) — квадратичный дифференциал на V, так что g∗S(f) также является квадратичным дифференциалом на U. Тождество

The Schwarzian derivative and the other 1 cocycle defined on Diff('S'^(1)) can be extended to biholomorphic between open sets in the complex plane. In this case the local description leads to the theory of analytic pseudogroups, formalizing the theory of infinite dimensional groups and Lie algebras first studied by Élie Cartan in the 1910s. This is related to affine and projective structures on Riemann surfaces as well as the theory of Schwarzian or projective connections, discussed by Gunning, Schiffer and Hawley. A holomorphic pseudogroup Γ on 'C' consists of a collection of biholomorphisms f between open sets U and V in 'C' which contains the identity maps for each open U, which is closed under restricting to opens, which is closed under composition (when possible), which is closed under taking inverses and such that if a biholomorphisms is locally in Γ, then it too is in Γ. The pseudogroup is said to be transitive if, given z and w in 'C', there is a biholomorphism f in Γ such that 1=f(z) = w. A particular case of transitive pseudogroups are those which are flat, i. e. contain all complex translations 1=Tb(z) = z + b. Let G be the group, under composition, of formal power series transformations 1=F(z) = a1z + a2z^(2) + with a1 ≠ 0. A holomorphic pseudogroup Γ defines a subgroup A of G, namely the subgroup defined by the Taylor series expansion about 0 (or "jet") of elements f of Γ with 1=f(0) = 0. Conversely if Γ is flat it is uniquely determined by A: a biholomorphism f on U is contained in Γ in if and only if the power series of T–f(a) ∘ f ∘ Ta lies in A for every a in U: in other words the formal power series for f at a is given by an element of A with z replaced by z − a; or more briefly all the jets of f lie in A. The group G has a natural homomorphisms onto the group Gk of k jets obtained by taking the truncated power series taken up to the term zk. This group acts faithfully on the space of polynomials of degree k (truncating terms of order higher than k). Truncations similarly define homomorphisms of Gk onto Gk − 1; the kernel consists of maps f with 1=f(z) = z + bz^(k), so is Abelian. Thus the group Gk is solvable, a fact also clear from the fact that it is in triangular form for the basis of monomials. A flat pseudogroup Γ is said to be "defined by differential equations" if there is a finite integer k such that homomorphism of A into Gk is faithful and the image is a closed subgroup. The smallest such k is said to be the order of Γ. There is a complete classification of all subgroups A that arise in this way which satisfy the additional assumptions that the image of A in Gk is a complex subgroup and that G1 equals 'C'*: this implies that the pseudogroup also contains the scaling transformations 1=Sa(z) = az for a ≠ 0, i. e. contains A contains every polynomial az with a ≠ 0. The only possibilities in this case are that 1=k = 1 and 1=A = {az: a ≠ 0}; or that 1=k = 2 and 1=A = {az/(1−bz) : a ≠ 0} The former is the pseudogroup defined by affine subgroup of the complex Möbius group (the az + b transformations fixing ∞); the latter is the pseudogroup defined by the whole complex Möbius group. This classification can easily be reduced to a Lie algebraic problem since the formal Lie algebra of G consists of formal vector fields F(z) d/dz with F a formal power series. It contains the polynomial vectors fields with basis 1=dn = z^(n+1) d/dz (n ≥ 0), which is a subalgebra of the Witt algebra. The Lie brackets are given by 1=[dm,dn] = (n − m)dm+n. Again these act on the space of polynomials of degree ≤ k by differentiation—it can be identified with 1='C'[[z]]/(z^(k+1))—and the images of d0, , dk – 1 give a basis of the Lie algebra of Gk. Note that 1=Ad(Sa) dn= a^(–n) dn. Let denote the Lie algebra of A: it is isomorphic to a subalgebra of the Lie algebra of Gk. It contains d0 and is invariant under Ad(Sa). Since is a Lie subalgebra of the Witt algebra, the only possibility is that it has basis d0 or basis d0, dn for some n ≥ 1. There are corresponding group elements of the form 1=f(z)= z + bz^(n+1) + Composing this with translations yields 1=T–f(ε) ∘ f ∘ T ε(z) = cz + dz^(2) + with c, d ≠ 0. Unless 1=n = 2, this contradicts the form of subgroup A; so 1=n = 2. The Schwarzian derivative is related to the pseudogroup for the complex Möbius group. In fact if f is a biholomorphism defined on V then is a quadratic differential on V. If g is a bihomolorphism defined on U and g(V) ⊆ U, S(f ∘ g) and S(g) are quadratic differentials on U; moreover S(f) is a quadratic differential on V, so that g∗S(f) is also a quadratic differential on U. The identity

является, таким образом, аналогом 1-коцикла для псевдогруппы биголоморфных отображений с коэффициентами в голоморфных квадратичных дифференциалах. Аналогично и являются 1-коциклами для той же псевдогруппы со значениями в голоморфных функциях и голоморфных дифференциалах. В общем случае 1-коцикл можно определить для голоморфных дифференциалов любого порядка, так что

Применение вышеуказанного тождества к отображениям включения j дает ; и, следовательно, если f₁ является ограничением f₂, так что 1=f₂ ∘ j = f₁, то На другой стороне, взяв локальный голоморфный поток, определенный голоморфными векторными полями — экспоненту векторных полей — голоморфная псевдогруппа локальных биголоморфных отображений порождается голоморфными векторными полями. Если 1-коцикл удовлетворяет подходящим условиям непрерывности или аналитичности, он индуцирует 1-коцикл голоморфных векторных полей, также совместимый с ограничением. Соответственно, он определяет 1-коцикл на голоморфных векторных полях на ℂ:

Ограничиваясь алгеброй Ли полиномиальных векторных полей с базисом 1=dₙ = zⁿ⁺¹ d/dz (n ≥ −1), их можно определить, используя те же методы когомологии алгебры Ли (как в предыдущем разделе о перекрестных гомоморфизмах). Там вычисление проводилось для всей алгебры Витта, действующей на плотности порядка k, в то время как здесь оно проводится только для подалгебры, действующей на голоморфные (или полиномиальные) дифференциалы порядка k. Опять же, предполагая, что исчезает на вращениях ℂ, существуют ненулевые 1-коциклы, однозначно определенные с точностью до скалярного множителя, только для дифференциалов степени 0, 1 и 2, заданных той же формулой производной

где p(z) — полином. 1-коциклы определяют три псевдогруппы следующим образом: это дает масштабирующую группу (1=k = 0); аффинную группу (1=k = 1); и всю комплексную группу Мёбиуса (1=k = 2). Таким образом, эти 1-коциклы являются специальными обычными дифференциальными уравнениями, определяющими псевдогруппу. Более существенно, их можно использовать для определения соответствующих аффинных или проективных структур и связностей на поверхностях Римана. Если Γ — псевдогруппа гладких отображений на ℝⁿ, то топологическое пространство M называется имеющим Γ-структуру, если оно имеет коллекцию карт f, которые являются гомеоморфизмами из открытых множеств Vi в M в открытые множества Ui в ℝⁿ, такие что для каждого непустого пересечения естественное отображение из fi(Ui ∩ Uj) в fj(Ui ∩ Uj) лежит в Γ. Это определяет структуру гладкого n-многообразия, если Γ состоит из локальных диффеоморфизмов, и структуру поверхности Римана, если 1=n = 2 — так что 1=ℝ² ≡ ℂ — и Γ состоит из биголоморфных отображений. Если Γ — аффинная псевдогруппа, то M называется имеющим аффинную структуру; и если Γ — псевдогруппа Мёбиуса, то M называется имеющим проективную структуру. Таким образом, поверхность рода один, заданная как ℂ/Λ для некоторой решетки Λ ⊂ ℂ, имеет аффинную структуру; и поверхность рода p > 1, заданная как частное от деления верхней полуплоскости или единичного диска на фуксианскую группу, имеет проективную структуру. Гуннинг в 1966 году описывает, как этот процесс можно обратить: для рода p > 1 существование проективной связности, определенной с использованием шварццианской производной 2 и доказанной с использованием стандартных результатов по когомологиям, можно использовать для отождествления универсальной накрывающей поверхности с верхней полуплоскостью или единичным диском (аналогичный результат справедлив для рода 1, используя аффинные связности и ).