Функциялар тізбегінің жинақырақ жақындасуы

Кіріспе

Функция тізбегінің жуысу режимі

Математикалық талдау саласында біркелкі жуысу, нүктелік жуысудан күштірек жуысу режимі болып табылады. Функциялар тізбегі, функция домені ретінде берілген жиынтықта шектеу функциясына біркелкі жуысады, егер кез келген ерікті кішкентай оң сан ε үшін, осы функциялардың әрқайсысының, жиынтықтағы әрбір нүктеде ε-дан артық емес айырмашылыққа ие болатын n санын табу мүмкін болса. Бұл туралы бейресми айтқанда, егер функциялар біркелкі жуысса, онда функциялардың шекке жуысу жылдамдығы, келесі мағынада, жиынтық бойынша "біркелкі" болады: функцияның шектен таңдалған қашықтықтан кем айырмашылығын кепілдендіру үшін, біз тек n-нің белгілі бір мәнге тең немесе одан үлкен екеніне көз жеткізуіміз керек, осы мәнді біздің алдын ала білуіміздің қажеті жоқ. Басқаша айтқанда, ε-ға тәуелді болмайтын, бірақ x-ке тәуелді болатын n саны бар, осы n санын таңдау, барлық x үшін жуысуды қамтамасыз етеді. Керісінше, нүктелік жуысу тек кез келген x үшін, біз n-ді (яғни, n мәні x және ε-ның екі мәніне де тәуелді болуы мүмкін) таба алатынымызды кепілдендіреді, сонда ғана бұл x үшін функция шектен белгілі бір қашықтықта болады. Біркелкі жуысу мен нүктелік жуысу арасындағы айырмашылық, есептеу тарихының басында толыққанды бағаланбады, бұл қате пікірлерге әкелді. Бұл ұғымды алғаш рет Карл Вейерштрасс формалдады, себебі функцияның үздіксіздік, Риман интегралдануы және қосымша гипотезалармен туындылануы сияқты бірнеше қасиеттері, егер жуысу біркелкі болса, шекке көшіріледі, бірақ жуысу біркелкі болмаса, міндетті түрде көшпейді.

Тарих

1821 жылы Огюстен Луи Коши үздіксіз функциялардың жинақталу қосындысы әрқашан үздіксіз болатынын дәлелдеді, бірақ 1826 жылы Нильс Хенрик Абель Фурье қатарлары контекстінде Коши дәлеліне қайшы келетін мысалдар тапты, осылайша Кошидің дәлелі дұрыс емес болуы керек екенін көрсетті. Сол кезде жинақталу туралы қалыптасқан түсініктер болған жоқ, ал Коши жинақталуды инфинитезимальді әдістермен қарастырды. Қазіргі заманғы тілге аударғанда, Коши үздіксіз функциялардың біркелкі жинақталатын тізбегінің үздіксіз лимиті болатынын дәлелдеді. Үздіксіз функциялардың тек нүктелік жинақталу лимитінің үздіксіз функцияға жинақталуы функциялар тізбегімен жұмыс істегенде жинақталудың әртүрлі түрлерін ажыратудың маңыздылығын көрсетеді. "Біркелкі жинақталу" терминін алғаш рет 1838 жылы эллиптік функциялар туралы мақаласында Кристоф Гудерманн қолданған болуы мүмкін, онда ол қатардың "жинақталу режимі" айнымалылардан тәуелсіз болған кезде "біркелкі түрде жинақталу" фразасын қолданды. Ол мұны "ерекше факт" деп есептесе де, формалды анықтама бермеді және дәлелдерінде бұл қасиетті пайдаланбады. Кейін, 1839-1840 жылдары Гудерманның эллиптік функциялар курсына қатысқан оқушысы Карл Вейерштрасс 1841 жылы, 1894 жылы жарияланған "Zur Theorie der Potenzreihen" еңбегінде "gleichmäßig konvergent" (біркелкі жинақталатын) терминін қолданды. Филипп Людвиг фон Зайдель және Джордж Габриэль Стокс та осыған ұқсас ұғымдарды тәуелсіз түрде айтты. Г.Х. Харди өзінің "Сэр Джордж Стокс және біркелкі жинақталу тұжырымдамасы" атты мақаласында үш анықтаманы салыстырып, былай деп жазады: "Вейерштрастың ашылуы ең ерте болды, және тек ол ғана оның зор маңыздылығын талдаудың негізгі идеяларының бірі ретінде толық түсінді". Вейерштрасс пен Бернхард Риманның ықпалымен бұл ұғым мен оған байланысты мәселелер 19 ғасырдың соңында Герман Хэнкель, Пол дю Буа Реймонд, Улиссе Дини, Чезаре Арзела және басқалар тарапынан жан-жақты зерттелді.

In 1821 Augustin Louis Cauchy published a proof that a convergent sum of continuous functions is always continuous, to which Niels Henrik Abel in 1826 found purported counterexamples in the context of Fourier series, arguing that Cauchy's proof had to be incorrect. Completely standard notions of convergence did not exist at the time, and Cauchy handled convergence using infinitesimal methods. When put into the modern language, what Cauchy proved is that a uniformly convergent sequence of continuous functions has a continuous limit. The failure of a merely pointwise convergent limit of continuous functions to converge to a continuous function illustrates the importance of distinguishing between different types of convergence when handling sequences of functions. The term uniform convergence was probably first used by Christoph Gudermann, in an 1838 paper on elliptic functions, where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series is independent of the variables and While he thought it a "remarkable fact" when a series converged in this way, he did not give a formal definition, nor use the property in any of his proofs. Later Gudermann's pupil Karl Weierstrass, who attended his course on elliptic functions in 1839–1840, coined the term gleichmäßig konvergent (uniformly convergent) which he used in his 1841 paper Zur Theorie der Potenzreihen, published in 1894. Independently, similar concepts were articulated by Philipp Ludwig von Seidel and George Gabriel Stokes. G. H. Hardy compares the three definitions in his paper "Sir George Stokes and the concept of uniform convergence" and remarks: "Weierstrass's discovery was the earliest, and he alone fully realized its far reaching importance as one of the fundamental ideas of analysis." Under the influence of Weierstrass and Bernhard Riemann this concept and related questions were intensely studied at the end of the 19th century by Hermann Hankel, Paul du Bois Reymond, Ulisse Dini, Cesare Arzelà and others.

Жалпылау

Бір түсініктерді E → M функцияларына тікелей кеңейтуге болады, мұнда (M, d) метрикалық кеңістік, оны ауыстыру арқылы. Ең жалпы жағдай – E → X функциялар торларының біркелкі жинақталуы, мұнда X – біркелкі кеңістік. Біз функциялар торы f: E → X шегімен біркелкі жинақталады дейміз, егер және тек қана X кеңістігіндегі кез келген V аймағы үшін, сонда E жиынындағы кез келген x және кез келген үшін, V аймағында болады. Мұндай жағдайда, үздіксіз функциялардың біркелкі шегі үздіксіз болып қалады.

Гиперреалдық ортадағы анықтама

Бірыңғай конвергенция гиперреалдық жағдайда қарапайым анықтамаға ие. Яғни, егер барлық гиперреалдық x-тің анықталу облысындағы және барлық шексіз n үшін, f-ке шексіз жақын болса (ұқсас анықтама үшін микроүздіксіздікті қараңыз), онда тізбек f-ке бірыңғай түрде жақындайды. Ал нүктелік үздіксіздік мұны тек нақты x үшін ғана талап етеді.

Қасиеттері

Әрбір біркелкі жинақы тізбек жергілікті біркелкі жинақы болады. Әрбір жергілікті біркелкі жинақы тізбек компактты жинақы болып табылады. Жергілікті компактты кеңістіктер үшін жергілікті біркелкі жинақталу мен компактты жинақталу сәйкес келеді. Метрикалық кеңістіктердегі үздіксіз функциялар тізбегі, егер бейнелік метрикалық кеңістік толық болса, біркелкі жинақты болады, егер және тек егер ол біркелкі Коши тізбегі болса. Егер компакт интервал (немесе жалпы, компакт топологиялық кеңістік) болса және үздіксіз функциялардың монотонды өсу тізбегі (яғни, барлық n және x үшін) болса, оның нүктелік лимиті де үздіксіз болса, онда жинақталу міндетті түрде біркелкі болады (Дини теоремасы). Егер компакт интервал болса және нүктелік жинақталуға ие тең үздіксіз тізбек болса, біркелкі жинақталу да қамтамасыз етіледі.

Тұрақтылық

Егер және топологиялық кеңістіктер болса, онда функциялардың сабақтастығы туралы сөз етудің мәні бар. Егер біз бұдан әрі болса, онда -ның -ға (біркелкі) жуысуы да жақсы анықталған. Келесі нәтиже сабақтастықтың біркелкі жуысу арқылы сақталуын көрсетеді:

Бұл теорема "ε/3 тәсілімен" дәлелденеді және осы тәсілдің классикалық мысалы болып табылады: берілген теңсіздікті (ε) дәлелдеу үшін сабақтастық пен біркелкі жуысудың анықтамаларын пайдаланып 3 теңсіздік (ε/3) туындатылады, содан кейін үшбұрыш теңсіздігі арқылы біріктіріліп, қажетті теңсіздік алынады. Бұл теорема нақты және Фурье талдауының тарихында маңызды, өйткені 18 ғасырдың көптеген математиктері үздіксіз функциялар тізбегінің әрқашан үздіксіз функцияға жуысады деген интуитивті түсінікке ие болды. Жоғарыдағы суретте кері мысал көрсетілген, ал көптеген үзіліссіз функцияларды, шын мәнінде, үздіксіз функциялардың Фурье тізбегі ретінде жазуға болады. Үзіліссіз функциялар тізбегінің нүктелік лиміті үздіксіз (алғашқыда үздіксіз функциялар тізбегінің жинақталу қатары тұрғысынан айтылған) деген қате пікір "Кошидің қате теоремасы" деп белгілі. Біркелкі лимит теоремасы лимиттегі сабақтастықты сақтау үшін жуысудың күшті түрі, яғни біркелкі жуысу қажет екенін көрсетеді. Нақтырақ айтқанда, бұл теорема біркелкі үздіксіз функциялардың біркелкі лимиті біркелкі үздіксіз екенін көрсетеді; жергілікті жинақы кеңістік үшін үздіксіздік жергілікті біркелкі үздіксіздікке тең, сондықтан үздіксіз функциялардың біркелкі лимиті үздіксіз.

Дифференциацияландыруға

Егер интервал болса және барлық функциялар дифференциалданатын және шекке жинақталатын болса, онда көбінесе туынды функцияны осы тізбектің шегін алу арқылы анықтауға тырысады. Дегенмен, бұл жалпы жағдайда мүмкін емес: тізбек біркелкі жинақталса да, шек функциясы дифференциалдануы міндетті емес (тізбек барлық жерде аналитикалық функциялардан тұрса да, Вейерштрасс функциясына қараңыз), тіпті егер ол дифференциалданатын болса да, шек функциясының туындысы туындылардың шегіне тең болуы керек емес. Мысалы, біркелкі шегі анық және нөлге тең болатын қарастырайық. Алайда, функциялар тізбегінің туындылары берілген, ал тізбек ешқандай функцияға да жинақталмайды. Дифференциалданатын функциялар тізбегінің шегі мен туындылар тізбегінің шегі арасындағы байланысты қамтамасыз ету үшін туындылар тізбегінің біркелкі жинақталуы және функциялар тізбегінің кем дегенде бір нүктеде жинақталуы қажет: Егер дифференциалданатын функциялар тізбегі үшін шек (және сомасы) бар болса және тізбек біркелкі жинақталса, онда функция біркелкі жинақталады және барлық үшін .

Талдау қабілеті

Морера теоремасын қолданып, егер аналитикалық функциялардың тізбегі күрделі жазықтықтың S аймағында біркелкі жақындасса, онда шегі S аймағында аналитикалық болады. Бұл мысал күрделі функциялардың нақты функцияларға қарағанда жақсы қасиеттерге ие екенін көрсетеді, себебі нақты аралықтағы аналитикалық функциялардың біркелкі шегі тіпті туынды болуы міндетті емес (Вейерштрасс функциясына қараңыз).

Біркелкі шоғырлану

Егер функциялар домені E өлшем кеңістігі болса, онда оған қатысты дерлік біркелкі жуысу ұғымын анықтауға болады. Функциялар тізбесі E-де дерлік біркелкі жуысады деу үшін, кез келген ε > 0 үшін, өлшемі ε-дан кіші болатын өлшенетін жиын N бар болуы керек, онда функциялар тізбесі N-де біркелкі жуысады. Басқаша айтқанда, дерлік біркелкі жуысу, функциялар тізбесі олардың толықтырғышында біркелкі жуысатын, кез келген кішкентай өлшемдегі жиындардың бар екенін білдіреді. Бір тізбектің дерлік біркелкі жуысуы, атауынан көрініп тұрғандай, ол дерлік барлық жерде біркелкі жуысады дегенді білдірмейді. Дегенмен, Егоров теоремасы шекті өлшем кеңістігінде дерлік барлық жерде жуысатын функциялар тізбегі сол жиынтықта дерлік біркелкі жуысатынын кепілдейді. Дерлік біркелкі жуысу, дерлік барлық жерде жуысуды және өлшем бойынша жуысуды білдіреді.