Введение

Мода сходимости последовательности функций

В математической области анализа, равномерная сходимость — это мода сходимости функций, более сильная, чем поточечная сходимость. Последовательность функций сходится равномерно к предельной функции на множестве, являющемся областью определения функции, если для любого произвольно малого положительного числа ε можно найти число N, такое что каждая из функций отличается от предельной функции не более чем на ε в каждой точке из этого множества. Если описать это неформально, то если последовательность функций сходится к предельной функции равномерно, то скорость, с которой функции приближаются к предельной функции, является "равномерной" на всем множестве в следующем смысле: чтобы гарантировать, что функция отличается от предельной функции менее чем на выбранное расстояние ε, нам нужно лишь убедиться, что N больше или равно некоторому числу, которое мы можем найти, не зная заранее значение x. Другими словами, существует число N, которое может зависеть от ε, но не зависит от x, такое что выбор N гарантирует, что для всех x. В отличие от этого, поточечная сходимость к предельной функции лишь гарантирует, что для любого x, заданного заранее, можно найти N (то есть, N может зависеть от значений как ε, так и x) такое, что для этого конкретного x, функция попадает в ε-окрестность предельной функции при x (и для другого x может потребоваться другое, большее N, чтобы гарантировать это). Разница между равномерной и поточечной сходимостью не была полностью осознана на ранних этапах развития математического анализа, что приводило к ошибочным рассуждениям. Эта концепция, впервые формализованная Карлом Вейерштрассом, важна, поскольку некоторые свойства функций, такие как непрерывность, интегрируемость по Риману и, при дополнительных условиях, дифференцируемость, переносятся на предел, если сходимость равномерная, но не обязательно, если сходимость не является равномерной.

История

В 1821 году Огюстен Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций всегда непрерывна, к чему Нильс Хенрик Абель в 1826 году привёл предполагаемые контрпримеры в контексте рядов Фурье, утверждая, что доказательство Коши должно быть неверным. Полностью сформированных представлений о сходимости в то время не существовало, и Коши рассматривал сходимость, используя методы бесконечно малых величин. В современной формулировке то, что доказал Коши, заключается в том, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел. Тот факт, что простой поточечный предел непрерывных функций не обязательно является непрерывной функцией, иллюстрирует важность различения различных типов сходимости при работе с последовательностями функций. Термин «равномерная сходимость», вероятно, впервые был использован Кристофом Гудерманом в работе 1838 года по эллиптическим функциям, где он использовал фразу «сходимость равномерным образом» в тех случаях, когда «способ сходимости» ряда не зависит от переменных. Хотя он считал это «примечательным фактом», когда ряд сходился таким образом, он не дал формального определения и не использовал это свойство ни в одном из своих доказательств. Позже ученик Гудермана Карл Вейерштрасс, посещавший его курс по эллиптическим функциям в 1839–1840 годах, ввёл термин gleichmäßig konvergent (равномерно сходящийся), который он использовал в своей статье 1841 года «Zur Theorie der Potenzreihen», опубликованной в 1894 году. Независимо от этого, аналогичные концепции были сформулированы Филиппом Людвигом фон Зайделем и Джорджем Габриэлем Стоуксом. Г. Х. Харди сравнивает три определения в своей статье «Сэр Джордж Стоукс и концепция равномерной сходимости» и отмечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и только он в полной мере осознал его далеко идущую важность как одной из фундаментальных идей анализа». Под влиянием Вейерштрасса и Бернарда Римана эта концепция и связанные с ней вопросы интенсивно изучались в конце XIX века Германном Ханкелем, Полем дю Буа Реймоном, Улиссом Дини, Чезаре Арцела и другими.

Обобщения

Можно напрямую распространить это понятие на функции E → M, где (M, d) – метрическое пространство, заменив на . Наиболее общая постановка – равномерная сходимость сетей функций E → X, где X – равномерное пространство. Мы говорим, что сеть равномерно сходится к пределу f : E → X тогда и только тогда, когда для каждого окружения V в X существует индекс , такой что для всех x из E и всех , принадлежит V. В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций остаётся непрерывным.

Определение в гиперреальной обстановке

Однородная сходимость допускает упрощенное определение в гиперреальной обстановке. Таким образом, последовательность сходится к f равномерно, если для всех гиперреальных x из области определения f и всех бесконечно больших n, бесконечно близка к f (см. микронепрерывность для аналогичного определения равномерной непрерывности). В отличие от этого, точечная непрерывность требует этого лишь для вещественных x.

Свойства

Каждая равномерно сходящаяся последовательность локально равномерно сходится. Каждая локально равномерно сходящаяся последовательность является компактно сходящейся. Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают. Последовательность непрерывных функций на метрических пространствах, при этом пространство образов является полным, равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно Коши. Если является компактным интервалом (или в общем случае компактным топологическим пространством), а – монотонно возрастающей последовательностью (то есть для всех n и x) непрерывных функций с точечным пределом , который также непрерывен, то сходимость обязательно равномерная (теорема Дини). Равномерная сходимость также гарантируется, если является компактным интервалом и – равнонепрерывной последовательностью, сходящейся точечно.

На продолжение

Если и являются топологическими пространствами, то имеет смысл говорить о непрерывности функций . Если мы далее предположим, что является метрическим пространством, то (равномерная) сходимость к также хорошо определена. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется при равномерной сходимости:

Эта теорема доказывается с помощью "приема ε/3" и является архетипическим примером этого приема: чтобы доказать данное неравенство (ε), используются определения непрерывности и равномерной сходимости для получения 3 неравенств (ε/3), а затем они объединяются с помощью неравенства треугольника для получения требуемого неравенства. Эта теорема имеет важное значение в истории вещественного и преобразования Фурье, поскольку многие математики XVIII века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. Изображение выше демонстрирует контрпример, и многие разрывные функции, на самом деле, могут быть представлены в виде ряда непрерывных функций Фурье. Ложное утверждение о том, что точечный предел последовательности непрерывных функций непрерывен (первоначально сформулированное в терминах сходящихся рядов непрерывных функций), печально известно как "ошибочная теорема Коши". Теорема о равномерных пределах показывает, что для сохранения непрерывности в предельной функции необходима более сильная форма сходимости – равномерная сходимость. Более точно, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывным; для локально компактного пространства непрерывность эквивалентна локальной равномерной непрерывности, и, следовательно, равномерный предел непрерывных функций является непрерывным.

К дифференцируемости

Если является интервалом, и все функции дифференцируемы и стремятся к пределу , часто желательно определить производную функцию , взяв предел последовательности производных. Однако это в общем случае невозможно: даже если сходимость равномерная, предельная функция не обязана быть дифференцируемой (даже если последовательность состоит из всюду аналитических функций, как, например, функция Вейерштрасса), и даже если она дифференцируема, производная предельной функции не обязана быть равна пределу производных. Рассмотрим, например, с равномерным пределом. Очевидно, также тождественно равна нулю. Однако производные последовательности функций задаются выражением , и последовательность не сходится к или даже ни к какой функции. Чтобы обеспечить связь между пределом последовательности дифференцируемых функций и пределом последовательности производных, требуется равномерная сходимость последовательности производных вместе с сходимостью последовательности функций хотя бы в одной точке:

Если является последовательностью дифференцируемых функций на , такой что существует (и конечен) для некоторого , и последовательность сходится равномерно на , то сходится равномерно к функции на , и для .

К аналитичности

Используя теорему Мореры, можно показать, что если последовательность аналитических функций сходится равномерно в области S комплексной плоскости, то её предел аналитичен в S. Этот пример демонстрирует, что функции комплексного переменного обладают лучшими свойствами, чем функции действительного переменного, поскольку равномерный предел аналитических функций на вещественном интервале не обязательно даже дифференцируем (см. функцию Вейерштрасса).

Почти единообразная конвергенция

Если область определения функций является пространством с мерой E, то можно определить соответствующее понятие почти равномерной сходимости. Мы говорим, что последовательность функций сходится почти равномерно на E, если для каждого ε существует измеримое множество N с мерой меньше ε, такое что последовательность функций сходится равномерно на E \ N. Иными словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества произвольно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на их дополнении. Следует отметить, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что последовательность сходится равномерно почти всюду, как можно было бы предположить по названию. Однако теорема Егорова гарантирует, что на пространстве с конечной мерой последовательность функций, сходящаяся почти всюду, также сходится почти равномерно на том же множестве. Почти равномерная сходимость влечет за собой сходимость почти всюду и сходимость в мере.