Делители нуля в кольцах

Введение

Элемент кольца, который при умножении на ненулевой элемент даёт ноль.

В абстрактной алгебре элемент a кольца R называется левым нулевым делителем, если существует ненулевой элемент x в R, такой что ax = 0, или, эквивалентно, если отображение из R в R, посылающее x в ax, не является инъективным. Аналогично, элемент a кольца называется правым нулевым делителем, если существует ненулевой элемент y в R, такой что ya = 0. Это частный случай делимости в кольцах. Элемент, являющийся левым или правым нулевым делителем, называется нулевым делителем. Элемент a, являющийся одновременно левым и правым нулевым делителем, называется двусторонним нулевым делителем (ненулевой элемент x, такой что ax = 0, может отличаться от ненулевого элемента y, такого что ya = 0). Если кольцо коммутативно, то левые и правые нулевые делители совпадают. Элемент кольца, который не является левым нулевым делителем (соответственно, не является правым нулевым делителем), называется левым регулярным или левым сократимым (соответственно, правым регулярным или правым сократимым). Элемент кольца, который является левым и правым сократимым, и, следовательно, не является нулевым делителем, называется регулярным или сократимым, или ненулевым делителем. Нулевой делитель, отличный от нуля, называется ненулевым нулевым делителем или нетривиальным нулевым делителем. Ненулевое кольцо, не содержащее нетривиальных нулевых делителей, называется областью целостности.

Примеры

В кольце класс вычетов является нулевым делителем, поскольку единственным нулевым делителем кольца целых чисел является 0. Нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним нулевым делителем. Идемпотентный элемент кольца всегда является двусторонним нулевым делителем, так как кольцо n × n матриц над полем имеет ненулевые нулевые делители при n ≥ 2. Примеры нулевых делителей в кольце 2 × 2 матриц (над любым ненулевым кольцом) приведены здесь:

Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые нулевые делители. Например, в , где каждый ненулевой, , следовательно, является нулевым делителем. Пусть – поле, а – группа. Предположим, что содержит элемент конечного порядка. Тогда в групповом кольце имеем , причем ни один из сомножителей не равен нулю, следовательно, является ненулевым нулевым делителем в .

Односторонний нулевой делитель

Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с и Тогда и Если , то является левым нулевым делителем тогда и только тогда, когда четно, поскольку , и является правым нулевым делителем тогда и только тогда, когда четно по аналогичным причинам. Если хотя бы одно из равно , то это двусторонний нулевой делитель. Вот еще один пример кольца с элементом, являющимся нулевым делителем только с одной стороны. Пусть будет множеством всех последовательностей целых чисел. Рассмотрим в качестве кольца все аддитивные отображения из в , с точечным сложением и композицией в качестве кольцевых операций. (То есть, наше кольцо – это , кольцо эндоморфизмов аддитивной группы .) Три примера элементов этого кольца – это сдвиг вправо, сдвиг влево и проекция на первый компонент. Все три этих аддитивных отображения ненулевые, и композиции и равны нулю, поэтому является левым нулевым делителем, а является правым нулевым делителем в кольце аддитивных отображений из в . Однако, не является правым нулевым делителем, и не является левым нулевым делителем: композиция является тождественным отображением. Является двусторонним нулевым делителем, поскольку , а не является нулевым делителем ни в каком направлении.

Непримеры

Кольцо целых чисел по модулю простого числа не имеет ненулевых делителей нуля. Поскольку каждый ненулевой элемент является обратимым, это кольцо является конечным полем. В более общем случае, кольцо делений не имеет ненулевых делителей нуля. Ненулевое коммутативное кольцо, единственным делителем нуля в котором является 0, называется областью целостности.

Свойства

В кольце n × n матриц над полем левые и правые нулевые делители совпадают; это ровно сингулярные матрицы. В кольце n × n матриц над областью целостности нулевые делители – это именно матрицы с нулевым определителем. Левый или правый нулевой делитель не может быть обратимым элементом, поскольку если a обратимо и 1 = ax = 0 для некоторого ненулевого x, то 1 = 0 = a⁻¹0 = a⁻¹ax = x, что является противоречием. Элемент сократим на той стороне, на которой он регулярен. То есть, если a левый регулярен, то из 1 = ax = ay следует, что 1 = x = y, и аналогично для правого регулярного.

Нулевой делитель на модуле

Пусть R — коммутативное кольцо, M — R-модуль и a — элемент R. Говорят, что a является M-регулярным, если отображение "умножения на a" инъективно, и что a является нулевым делителем на M в противном случае. Множество M-регулярных элементов является мультипликативным множеством в R.

Переход к определениям "M-регулярного" и "нулевого делителя на M" в случае, когда M = R = 1, восстанавливает определения "регулярного элемента" и "нулевого делителя", данные ранее в этой статье.