Введение
В математике действительная функция f на интервале [a, b] называется сингулярной, если она обладает следующими свойствами:
f непрерывна на [a, b]. (**)
существует множество N меры 0, такое, что для всех x, не принадлежащих N, существует производная f(x) и она равна нулю, то есть производная f обращается в нуль почти всюду. f не является постоянной на [a, b]. Стандартным примером сингулярной функции является функция Кантора, которую иногда называют «дьявольской лестницей» (термин, также используемый для сингулярных функций в целом). Однако существуют и другие функции, которым было дано это название. Одна из них определяется с помощью отображения окружности. Если f(x) = 0 для всех x ≤ a и f(x) = 1 для всех x ≥ b, то функция может рассматриваться как функция распределения для случайной величины, которая не является ни дискретной (поскольку вероятность равна нулю для каждой точки), ни абсолютно непрерывной (поскольку плотность вероятности равна нулю везде, где она определена). Сингулярные функции возникают, например, в виде последовательностей пространственно модулированных фаз или структур в твердых телах и магнитах, описываемых в типичном виде моделью Френкеля-Конторовой и моделью ANNNI, а также в некоторых динамических системах. И, пожалуй, наиболее известным является то, что они лежат в основе дробного квантового эффекта Холла.
there exists a set N of measure 0 such that for all x outside of N the derivative f (x) exists and is zero, that is, the derivative of f vanishes almost everywhere. f is non constant on [a, b]. A standard example of a singular function is the Cantor function, which is sometimes called the devil's staircase (a term also used for singular functions in general). There are, however, other functions that have been given that name. One is defined in terms of the circle map. If f(x) = 0 for all x ≤ a and f(x) = 1 for all x ≥ b, then the function can be taken to represent a cumulative distribution function for a random variable which is neither a discrete random variable (since the probability is zero for each point) nor an absolutely continuous random variable (since the probability density is zero everywhere it exists). Singular functions occur, for instance, as sequences of spatially modulated phases or structures in solids and magnets, described in a prototypical fashion by the Frenkel–Kontorova model and by the ANNNI model, as well as in some dynamical systems. Most famously, perhaps, they lie at the center of the fractional quantum Hall effect.
При ссылке на функции с сингулярностью
При обсуждении математического анализа в целом, или, конкретнее, вещественного анализа, комплексного анализа или дифференциальных уравнений, принято называть функцией, содержащей математическую сингулярность, "сингулярной функцией". Это особенно справедливо, когда речь идет о функциях, стремящихся к бесконечности в точке или на границе. Например, можно сказать: "Функция 1/x становится сингулярной в начале координат, следовательно, 1/x является сингулярной функцией". В области, называемой распределений или обобщенным анализом функций, разработаны продвинутые методы работы с функциями, содержащими сингулярности. Определено понятие слабой производной, позволяющее использовать сингулярные функции в уравнениях в частных производных и т.д.