Кіріспе

Сандық талдау және математикалық талдаудың математикалық тармақтарында тригонометриялық көпмүше – sin(nx) және cos(nx) функцияларының шекті сызықтық комбинациясы, мұнда n бір немесе бірнеше натурал сандардың мәнін қабылдайды. Коэффициенттер нақты сандар ретінде қарастырылуы мүмкін, нақты мәнді функциялар үшін. Кешенді коэффициенттер үшін мұндай функция мен шекті Фурье қатары арасында ешқандай айырмашылық жоқ. Тригонометриялық көпмүшелер кеңінен қолданылады, мысалы, периодты функцияларды интерполяциялауға қолданылатын тригонометриялық интерполяцияда. Олар дискретті Фурье түрлендіруінде де қолданылады. Нақты мәнді жағдайдағы тригонометриялық көпмүше терминін полиномдар үшін мономиалдық негізге ұқсас функциялар ретінде sin(nx) және cos(nx) функцияларын пайдалану аналогиясы ретінде қарастыруға болады. Кешенді жағдайда тригонометриялық көпмүшелер eix-тің оң және теріс дәрежелерімен қамтылады, z = eix айнымалыларын өзгерту арқылы z-дегі Лоран көпмүшелеріне айналады.

Қасиеттері

Тригонометриялық көпмүше шын түзуде периодты функция ретінде қарастырылуы мүмкін, оның периоды 2-ге бөлінетін сан, немесе бірлік шеңбердегі функция ретінде. Негізгі нәтиже – тригонометриялық көпмүшелер бірлік шеңбердегі үздіксіз функциялар кеңістігінде тығыз, біртекті норма бойынша; бұл Стоун-Вайерштрасс теоремасының ерекше жағдайы. Нақтырақ айтқанда, кез келген үздіксіз f функциясы және кез келген ε > 0 үшін, |f(z) − T(z)| < ε шартын қанағаттандыратын тригонометриялық көпмүше T табылады, барлық z үшін. Фейер теоремасы бойынша, егер f функциясы шеңберде үздіксіз болса, f-тің Фурье қатарының ішінара қосындыларының арифметикалық орташасы біртекті түрде f-ке жақындайды, осылайша жуықтап тригонометриялық көпмүше T табудың нақты тәсілін ұсынады. N дәрежелі тригонометриялық көпмүше кез келген [a, b] аралығында ең көп 2N түбірге ие болуы мүмкін, егер ол толыққанды нөлдік функция болмаса.