Введение

В математических областях численного и математического анализа тригонометрический многочлен представляет собой конечную линейную комбинацию функций sin(nx) и cos(nx), где n принимает значения одного или нескольких натуральных чисел. Коэффициенты могут быть вещественными числами для вещественнозначных функций. При комплексных коэффициентах такая функция не отличается от конечного ряда Фурье. Тригонометрические многочлены широко используются, например, в тригонометрической интерполяции, применяемой для интерполяции периодических функций, а также в дискретном преобразовании Фурье. Термин "тригонометрический многочлен" в вещественном случае можно рассматривать как аналогию: функции sin(nx) и cos(nx) аналогичны мономиальному базису для многочленов. В комплексном случае тригонометрические многочлены порождаются положительными и отрицательными степенями e^(ix), являясь полиномами Лорана относительно z при замене переменных z = e^(ix).

Свойства

Тригонометрический многочлен можно рассматривать как периодическую функцию на вещественной прямой с периодом, являющимся делителем 2, или как функцию на единичной окружности. Основной результат заключается в том, что тригонометрические многочлены плотны в пространстве непрерывных функций на единичной окружности в равномерной метрике; это частный случай теоремы Стоуна — Вейерштрасса. Более конкретно, для любой непрерывной функции f и любого ε > 0 существует тригонометрический многочлен T такой, что |f(z) − T(z)| < ε для всех z. Теорема Фейера утверждает, что арифметические средние частичных сумм ряда Фурье функции f сходятся к f равномерно, при условии, что f непрерывна на окружности, что дает явный способ нахождения приближающего тригонометрического многочлена T.

Тригонометрический многочлен степени N имеет не более 2N корней на любом интервале вещественной прямой, если он не является тождественно равным нулю.