Кіріспе
+∞ және −∞ қосылған нақты сандар. Математикада кеңейтілген нақты сандар жүйесі екі шексіз элементті қосу арқылы нақты сандар жүйесінен алынады: +∞ және −∞, мұнда шексіздер нақты сандар ретінде қарастырылады. Ол шексіздердегі алгебраны және математикалық есептеу мен математикалық талдаудағы әртүрлі лимиттердің мінез-құлқындарын, әсіресе өлшем және интеграция теориясында сипаттауда пайдалы. Кеңейтілген нақты сандар жүйесі ℝ̄, [−∞, +∞] немесе (−∞, +∞] деп белгіленеді. Бұл нақты сандардың Дедекинд-Макнейль толықтығы болып табылады. Мағынасы контексттен түсінікті болғанда, 1= (бос жиынның инфимумы —∞, ал супремумы +∞) деп жазылады. Сонымен қатар, осы топологиялық кеңістікте оң және теріс кеңейтілген нақты сандармен жұмыс істегенде, 1/0 өрнегі әдетте анықталмайды, себебі, +∞-ға жинақталатын әрбір нақты нөлдік емес тізбектің кері тізбегінің соңында оның кез келген маңайында болатыны рас болғанымен, тізбек 1/0 өзінің не +∞-ға, не −∞-ға жинақталатыны міндетті емес. Басқаша айтқанда, егер үздіксіз функция f(x) белгілі бір x мәнінде нөлге тең болса, онда x → 0 болғанда f(x) міндетті түрде +∞ не −∞-ға ұмтылуы керек емес. Бұл сәйкестік функциясының лимиттері үшін де осылай болады. Тек оң мәндері ғана қарастырылса, тіпті лимит болмайды. Алайда, тек теріс емес мәндер қарастырылатын жағдайларда, оны анықтау жиі ыңғайлы. Мысалы, қуат қатарларымен жұмыс істегенде, коэффициенттері aₙ болатын қуат қатарының радиусы жинақталуы көбінесе тізбектің лимит супремумының керісі ретінде анықталады. Осылайша, егер 1/0-ге +∞ мәнін алуға рұқсат етілсе, онда лимит супремумы +∞ немесе −∞ болса да, осы формуланы қолдануға болады.
In mathematics, the extended real number system is obtained from the real number system by adding two infinity elements: and where the infinities are treated as actual numbers. It is useful in describing the algebra on infinities and the various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The extended real number system is denoted or or It is the Dedekind–MacNeille completion of the real numbers. When the meaning is clear from context, the symbol is often written simply as 1= (the infimum of the empty set is , and its supremum is ). Moreover, with this [[topological space
When dealing with both positive and negative extended real numbers, the expression is usually left undefined, because, although it is true that for every real nonzero sequence that converges to the reciprocal sequence is eventually contained in every neighborhood of it is not true that the sequence must itself converge to either or Said another way, if a continuous function achieves a zero at a certain value then it need not be the case that tends to either or in the limit as tends to This is the case for the limits of the identity function when tends to and of (for the latter function, neither nor is a limit of even if only positive values of are considered). However, in contexts where only non negative values are considered, it is often convenient to define For example, when working with power series, the radius of convergence of a power series with coefficients is often defined as the reciprocal of the limit supremum of the sequence Thus, if one allows to take the value then one can use this formula regardless of whether the limit supremum is or not.
Әр түрлі
Бірнеше функцияларды лимиттерді қолдану арқылы үздіксіз кеңейтуге болады. Мысалы, келесі функциялардың экстремалды нүктелерін былай анықтауға болады:
Кейбір ерекшеліктерді қосымша жоюға болады. Мысалы, функция (кейбір үздіксіздік анықтамалары бойынша) мәнін үшін және үшін деп белгілеу арқылы үздіксіз кеңейтілуі мүмкін. Екінші жағынан, функция үздіксіз кеңейтілмейді, себебі функция төменнен жақындағанда және жоғарыдан жақындағанда жақындайды, яғни функция тәуелсіз айнымалысы оң және теріс жақтан бір домен элементіне жақындағанда бірдей мәнге ұмтылмайды. Ұқсас, бірақ өзгеше нақты сызық жүйесі – проективті кеңейтілген нақты сызық, және арасындағы айырмашылықты көрсетпейді (яғни шексіздің таңбасы жоқ). Нәтижесінде, функция проективті кеңейтілген нақты сызықта лимит болуы мүмкін, ал кеңейтілген нақты сандар жүйесінде тек функцияның абсолюттік мәні лимиттелуі мүмкін, мысалы, функциясы жағдайында . Екінші жағынан, проективті кеңейтілген нақты сызықта және сәйкесінше оң жақтан және сол жақтан лимиттерге ғана сәйкес келеді, толық лимит екісі де тең болған жағдайда ғана болады. Осылайша, функциялар проективті кеңейтілген нақты сызықта үздіксіз бола алмайды.