Введение
Реальные числа с добавлением +∞ и −∞
In mathematics, the extended real number system is obtained from the real number system by adding two infinity elements: and where the infinities are treated as actual numbers. It is useful in describing the algebra on infinities and the various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The extended real number system is denoted or or It is the Dedekind–MacNeille completion of the real numbers. When the meaning is clear from context, the symbol is often written simply as 1= (the infimum of the empty set is , and its supremum is ). Moreover, with this [[topological space
When dealing with both positive and negative extended real numbers, the expression is usually left undefined, because, although it is true that for every real nonzero sequence that converges to the reciprocal sequence is eventually contained in every neighborhood of it is not true that the sequence must itself converge to either or Said another way, if a continuous function achieves a zero at a certain value then it need not be the case that tends to either or in the limit as tends to This is the case for the limits of the identity function when tends to and of (for the latter function, neither nor is a limit of even if only positive values of are considered). However, in contexts where only non negative values are considered, it is often convenient to define For example, when working with power series, the radius of convergence of a power series with coefficients is often defined as the reciprocal of the limit supremum of the sequence Thus, if one allows to take the value then one can use this formula regardless of whether the limit supremum is or not.
В математике расширенная система действительных чисел получается из системы действительных чисел путем добавления двух элементов бесконечности: +∞ и −∞, где бесконечности рассматриваются как действительные числа. Это полезно для описания алгебры бесконечностей и различных предельных поведений в математическом анализе и исчислении, особенно в теории меры и интегрирования. Расширенная система действительных чисел обозначается как ℝ̄, [−∞, +∞] или ℝ ∪ {−∞, +∞}. Это дедекиндово-макнейлевское дополнение действительных чисел. Когда смысл понятен из контекста, символ −∞ часто записывается просто как −1= (инфимум пустого множества равен −∞, а его супремум равен +∞). Более того, при работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение 1/0 обычно остается неопределенным, поскольку, хотя верно, что для каждой ненулевой действительной последовательности, сходящейся к 0, обратная последовательность в конечном итоге содержится в любой окрестности 0, неверно, что сама последовательность должна сходиться либо к +∞, либо к −∞. Иными словами, если непрерывная функция f достигает нуля в некоторой точке x, то не обязательно, что f стремится либо к +∞, либо к −∞ при x стремящемся к 0. Это справедливо для пределов тождественной функции f(x) = x при x стремящемся к 0, и для функции f(x) = 1/x (для последней функции ни +∞, ни −∞ не являются пределом, даже если рассматривать только положительные значения x). Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто удобно определить 1/0 = +∞. Например, при работе со степенными рядами радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами aₙ часто определяется как обратный величине предела верхнего предела последовательности {aₙ^(1/n)}. Таким образом, если допустить, чтобы 1/0 принимало значение +∞, то можно использовать эту формулу независимо от того, является ли предел верхний конечным или бесконечным.
In mathematics, the extended real number system is obtained from the real number system by adding two infinity elements: and where the infinities are treated as actual numbers. It is useful in describing the algebra on infinities and the various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The extended real number system is denoted or or It is the Dedekind–MacNeille completion of the real numbers. When the meaning is clear from context, the symbol is often written simply as 1= (the infimum of the empty set is , and its supremum is ). Moreover, with this [[topological space
When dealing with both positive and negative extended real numbers, the expression is usually left undefined, because, although it is true that for every real nonzero sequence that converges to the reciprocal sequence is eventually contained in every neighborhood of it is not true that the sequence must itself converge to either or Said another way, if a continuous function achieves a zero at a certain value then it need not be the case that tends to either or in the limit as tends to This is the case for the limits of the identity function when tends to and of (for the latter function, neither nor is a limit of even if only positive values of are considered). However, in contexts where only non negative values are considered, it is often convenient to define For example, when working with power series, the radius of convergence of a power series with coefficients is often defined as the reciprocal of the limit supremum of the sequence Thus, if one allows to take the value then one can use this formula regardless of whether the limit supremum is or not.
Разное
Несколько функций могут быть непрерывно продолжены, вычисляя пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как:
Некоторые сингулярности могут быть дополнительно устранены. Например, функция может быть непрерывно продолжена до (при некоторых определениях непрерывности), задав значение для и для и . С другой стороны, функция не может быть непрерывно продолжена, поскольку функция стремится к при приближении к снизу и к при приближении к сверху, то есть функция не стремится к одному и тому же значению, как и ее независимая переменная, приближающаяся к одному и тому же элементу области определения с положительной и отрицательной сторон. Аналогичная, но отличная система вещественной прямой, проективно расширенная вещественная прямая, не различает и (то есть бесконечность не имеет знака). В результате функция может иметь предел на проективно расширенной вещественной прямой, в то время как в расширенной системе вещественных чисел предел имеет только абсолютное значение функции, например, в случае функции при . С другой стороны, на проективно расширенной вещественной прямой и соответствуют только пределу справа и пределу слева соответственно, при этом полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и не могут быть сделаны непрерывными на проективно расширенной вещественной прямой.