Кіріспе
Математикада сандар теориясының L функциялары бірнеше ерекше қасиеттерге ие деп есептеледі, соның бірі – олар белгілі бір функционалдық теңдеулерді орындауы керек. Бұл теңдеулердің қандай болуы тиіс екеніне қатысты толымды теория бар, оның көп бөлігі әлі де жорамапты.
Кіріспе
Прототиптік мысал ретінде Риманның дзета-функциясы күрделі сан s-тегі мәнін 1 − s-тегі мәнімен байланыстыратын функционалдық теңдеуге ие. Бұл жағдайда бұл теңдеу тек шексіз қатарлар анықтамасынан аналитикалық жалғастыру арқылы анықталатын ζ(s) мәніне қатысты. Яғни, s-тің нақты бөлігі үшін σ деп белгіленетін болса, функционалдық теңдеу σ > 1 және σ < 0 жағдайларын байланыстырады, сондай-ақ сындық жолақта 0 < σ < 1 жағдайын басқа жағдайға өзгертеді, бұл σ = ½ түзуінде көрінеді. Сондықтан, дзета-функцияны бүкіл күрделі жазықтықта зерттеу үшін функционалдық теңдеуді қолдану негізгі болып табылады. Риманның дзета-функциясы үшін қарастырылып отырған функционалдық теңдеу келесі қарапайым түрде жазылады:
σ > 1 and σ < 0,
and also changes a case with
0 < σ < 1
in the critical strip to another such case, reflected in the line σ = ½. Therefore, use of the functional equation is basic, in order to study the zeta function in the whole complex plane. The functional equation in question for the Riemann zeta function takes the simple form
where Z(s) is ζ(s) multiplied by a gamma factor, involving the gamma function. This is now read as an 'extra' factor in the Euler product for the zeta function, corresponding to the infinite prime. Just the same shape of functional equation holds for the Dedekind zeta function of a number field K, with an appropriate gamma factor that depends only on the embeddings of K (in algebraic terms, on the tensor product of K with the real field). There is a similar equation for the Dirichlet L functions, but this time relating them in pairs:
with χ a primitive Dirichlet character, χ* its complex conjugate, Λ the L function multiplied by a gamma factor, and ε a complex number of absolute value 1, of shape
where G(χ) is a Gauss sum formed from χ. This equation has the same function on both sides if and only if χ is a real character, taking values in {0,1,−1}. Then ε must be 1 or −1, and the case of the value −1 would imply a zero of Λ(s) at s = ½. According to the theory (of Gauss, in effect) of Gauss sums, the value is always 1, so no such simple zero can exist (the function is even about the point).
мұнда Z(s) — дзета-функциясы ζ(s), гамма-функциясын қамтитын гамма-факторға көбейтілген. Бұл енді дзета-функциясы үшін Эйлер көбейтіндісіндегі шексіздікке сәйкес келетін «қосымша» фактор ретінде қарастырылады. Дәл осындай функционалдық теңдеу түрі сандық өрістің Дедекинд дзета-функциясы үшін де қолданылады, бірақ бұл жағдайда K ендірулеріне ғана байланысты болатын тиісті гамма-фактормен (алгебралық тұрғыдан алғанда, K-ның нақты өріспен тензорлық көбейтіндісіне). Дирихле L-функциялары үшін де ұқсас теңдеу бар, бірақ бұл жолы олар жұптармен байланысады:
σ > 1 and σ < 0,
and also changes a case with
0 < σ < 1
in the critical strip to another such case, reflected in the line σ = ½. Therefore, use of the functional equation is basic, in order to study the zeta function in the whole complex plane. The functional equation in question for the Riemann zeta function takes the simple form
where Z(s) is ζ(s) multiplied by a gamma factor, involving the gamma function. This is now read as an 'extra' factor in the Euler product for the zeta function, corresponding to the infinite prime. Just the same shape of functional equation holds for the Dedekind zeta function of a number field K, with an appropriate gamma factor that depends only on the embeddings of K (in algebraic terms, on the tensor product of K with the real field). There is a similar equation for the Dirichlet L functions, but this time relating them in pairs:
with χ a primitive Dirichlet character, χ* its complex conjugate, Λ the L function multiplied by a gamma factor, and ε a complex number of absolute value 1, of shape
where G(χ) is a Gauss sum formed from χ. This equation has the same function on both sides if and only if χ is a real character, taking values in {0,1,−1}. Then ε must be 1 or −1, and the case of the value −1 would imply a zero of Λ(s) at s = ½. According to the theory (of Gauss, in effect) of Gauss sums, the value is always 1, so no such simple zero can exist (the function is even about the point).
мұнда χ — бастапқы Дирихле белгісі, χ* — оның комплекс конъюгаты, Λ — гамма-факторға көбейтілген L-функция, ал ε — абсолютті мәні 1-ге тең комплекс сан, келесі түрінде:
σ > 1 and σ < 0,
and also changes a case with
0 < σ < 1
in the critical strip to another such case, reflected in the line σ = ½. Therefore, use of the functional equation is basic, in order to study the zeta function in the whole complex plane. The functional equation in question for the Riemann zeta function takes the simple form
where Z(s) is ζ(s) multiplied by a gamma factor, involving the gamma function. This is now read as an 'extra' factor in the Euler product for the zeta function, corresponding to the infinite prime. Just the same shape of functional equation holds for the Dedekind zeta function of a number field K, with an appropriate gamma factor that depends only on the embeddings of K (in algebraic terms, on the tensor product of K with the real field). There is a similar equation for the Dirichlet L functions, but this time relating them in pairs:
with χ a primitive Dirichlet character, χ* its complex conjugate, Λ the L function multiplied by a gamma factor, and ε a complex number of absolute value 1, of shape
where G(χ) is a Gauss sum formed from χ. This equation has the same function on both sides if and only if χ is a real character, taking values in {0,1,−1}. Then ε must be 1 or −1, and the case of the value −1 would imply a zero of Λ(s) at s = ½. According to the theory (of Gauss, in effect) of Gauss sums, the value is always 1, so no such simple zero can exist (the function is even about the point).
мұнда G(χ) — χ-дан құрылған Гаусс сомасы. Бұл теңдеу екі жағында да бірдей функцияға ие, егер χ нақты белгі болса, яғни {0, 1, −1} мәндерін қабылдаса. Онда ε 1 немесе −1 болуы керек, ал −1 мәні Λ(s) функциясының s = ½ нүктесінде нөлге тең екенін білдіреді. Гаусс сомаларының теориясына сәйкес, мән әрқашан 1-ге тең болады, сондықтан мұндай қарапайым нөл болуы мүмкін емес (функция осы нүктеге қатысты жұп функция болып табылады).
σ > 1 and σ < 0,
and also changes a case with
0 < σ < 1
in the critical strip to another such case, reflected in the line σ = ½. Therefore, use of the functional equation is basic, in order to study the zeta function in the whole complex plane. The functional equation in question for the Riemann zeta function takes the simple form
where Z(s) is ζ(s) multiplied by a gamma factor, involving the gamma function. This is now read as an 'extra' factor in the Euler product for the zeta function, corresponding to the infinite prime. Just the same shape of functional equation holds for the Dedekind zeta function of a number field K, with an appropriate gamma factor that depends only on the embeddings of K (in algebraic terms, on the tensor product of K with the real field). There is a similar equation for the Dirichlet L functions, but this time relating them in pairs:
with χ a primitive Dirichlet character, χ* its complex conjugate, Λ the L function multiplied by a gamma factor, and ε a complex number of absolute value 1, of shape
where G(χ) is a Gauss sum formed from χ. This equation has the same function on both sides if and only if χ is a real character, taking values in {0,1,−1}. Then ε must be 1 or −1, and the case of the value −1 would imply a zero of Λ(s) at s = ½. According to the theory (of Gauss, in effect) of Gauss sums, the value is always 1, so no such simple zero can exist (the function is even about the point).
Функционалдық теңдеулер теориясы
Мұндай функционалдық теңдеулердің біріктірілген теориясын Эрих Хекке ұсынды, ал теорияны Джон Тейт өзінің диссертациясында қайта қарастырды. Гекке сандық өрістердің жалпыланған белгілерін тапты, қазір оларды Гекке белгілері деп атайды, және оның дәлелі (тета функцияларына негізделген) олар үшін де жұмыс істеді. Бұл белгілер және олармен байланысты L-функциялары күрделі көбейтумен тығыз байланысты екендігі анықталды, сияқты Дирихле белгілері циклотомдық өрістермен байланысты. Этальдік когомологиядағы Пуанкаре дуалдығының (аналогы) негізгі деңгейінде туындайтын жергілікті дзета-функциялары үшін де функционалдық теңдеулер бар. K сан өрісіндегі V алгебралық сан түрі үшін Hasse–Weil дзета-функциясының Эйлер өнімдері, жергілікті дзета-функцияларды алу үшін жай идеалдар бойынша қысқарту арқылы құрастырылады, жаһандық функционалдық теңдеуге ие болуы болжанады; бірақ қазіргі уақытта бұл, ерекше жағдайларды қоспағанда, қол жетпейтін деп есептеледі. Анықтаманы қайтадан этальдік когомология теориясынан оқуға болады, бірақ функционалдық теңдеуді алу үшін, жалпы жағдайда, автоморфты бейнелеу теориясынан келетін кейбір болжамдар қажет болып көрінеді. Танияма–Шимура болжамы осы жалпы теорияның ерекше жағдайы болды. Гамма-фактордың Ходж теориясына қатыстылығы және күтілетін ε-фактордың егжей-тегжейлі зерттеулері теорияны эмпирикалық тұрғыдан жетілдірілген күйге жеткізді, тіпті дәлелдері жоқ болса да.