Введение
В математике, L-функции теории чисел, как ожидается, обладают рядом характерных свойств, одним из которых является выполнение определенных функциональных уравнений. Существует развитая теория относительно вида этих уравнений, значительная часть которой пока остаётся гипотетической.
Введение
Прототипическим примером является функция Римана дзета, обладающая функциональным уравнением, связывающим её значение в комплексной точке s со значением в 1 − s. В каждом случае это относится к некоторому значению ζ(s), которое определяется только аналитическим продолжением из определения бесконечного ряда. То есть, если σ обозначает вещественную часть s, то функциональное уравнение соотносит случаи σ > 1 и σ < 0, а также преобразует случай с 0 < σ < 1 в критической полосе в другой подобный случай, симметричный относительно прямой σ = ½. Поэтому использование функционального уравнения является основополагающим для изучения дзета-функции на всей комплексной плоскости. Функциональное уравнение для дзета-функции Римана принимает простую форму, где Z(s) — это ζ(s), умноженное на гамма-фактор, включающий гамма-функцию. Это интерпретируется как «дополнительный» фактор в произведении Эйлера для дзета-функции, соответствующий бесконечному простому числу. Аналогичная форма функционального уравнения справедлива и для дзета-функции Дедекинда числового поля K, с соответствующим гамма-фактором, зависящим только от вложений K (в алгебраических терминах, от тензорного произведения K с полем вещественных чисел). Существует аналогичное уравнение для L-функций Дирихле, но в этом случае они связываются попарно: с χ — примитивным характером Дирихле, χ* — его комплексным сопряжением, Λ — L-функцией, умноженной на гамма-фактор, и ε — комплексным числом с абсолютной величиной 1, имеющим вид, где G(χ) — сумма Гаусса, построенная на основе χ. Это уравнение имеет одинаковую функцию с обеих сторон только в том случае, если χ является вещественным характером, принимающим значения в {0, 1, −1}. Тогда ε должно быть равно 1 или −1, а случай значения −1 подразумевает наличие нуля Λ(s) при s = ½. Согласно теории (фактически, теории Гаусса) сумм Гаусса, значение всегда равно 1, поэтому такого простого нуля не может существовать (функция симметрична относительно этой точки).
σ > 1 and σ < 0,
and also changes a case with
0 < σ < 1
in the critical strip to another such case, reflected in the line σ = ½. Therefore, use of the functional equation is basic, in order to study the zeta function in the whole complex plane. The functional equation in question for the Riemann zeta function takes the simple form
where Z(s) is ζ(s) multiplied by a gamma factor, involving the gamma function. This is now read as an 'extra' factor in the Euler product for the zeta function, corresponding to the infinite prime. Just the same shape of functional equation holds for the Dedekind zeta function of a number field K, with an appropriate gamma factor that depends only on the embeddings of K (in algebraic terms, on the tensor product of K with the real field). There is a similar equation for the Dirichlet L functions, but this time relating them in pairs:
with χ a primitive Dirichlet character, χ* its complex conjugate, Λ the L function multiplied by a gamma factor, and ε a complex number of absolute value 1, of shape
where G(χ) is a Gauss sum formed from χ. This equation has the same function on both sides if and only if χ is a real character, taking values in {0,1,−1}. Then ε must be 1 or −1, and the case of the value −1 would imply a zero of Λ(s) at s = ½. According to the theory (of Gauss, in effect) of Gauss sums, the value is always 1, so no such simple zero can exist (the function is even about the point).
Теория функциональных уравнений
Единую теорию таких функциональных уравнений дал Эрих Гекке, а затем Джон Тейт вновь развил эту теорию в своей диссертации. Гекке обнаружил обобщённые характеры числовых полей, ныне известные как символы Гекке, для которых его доказательство (основанное на тета-функциях) также оказалось применимо. Эти характеры и связанные с ними L-функции теперь понимаются как тесно связанные с комплексным умножением, подобно тому, как символы Дирихле связаны с циклотомическими полями. Существуют также функциональные уравнения для локальных дзета-функций, возникающие на фундаментальном уровне как (аналог) двойственности Пуанкаре в этальной когомологии. Предполагается, что произведение Эйлера дзета-функции Хассе — Вейля для алгебраического многообразия V над числовым полем K, получаемое посредством сведения по простым идеалам для получения локальных дзета-функций, обладает глобальным функциональным уравнением; однако в настоящее время это считается недостижимым, за исключением частных случаев. Определение можно непосредственно вывести из теории этальной когомологии, но в общем случае для получения функционального уравнения, по-видимому, требуется некоторое предположение, исходящее из теории автоморфных представлений. Гипотеза Таниямы — Симуры была частным случаем этой общей теории. Благодаря установлению связи между гамма-фактором и теорией Ходжа, а также детальному изучению ожидаемого ε-фактора, теория, в эмпирическом смысле, достигла довольно развитого состояния, хотя доказательства остаются незавершёнными.