Кіріспе
Шынайы, үздіксіз функциялар отбасының біркелкі конвергентті кіші тізбесі болғанда Арзела-Асколи теоремасы математикалық талдаудың негізгі нәтижесі болып табылады. Бұл теорема жабық және шектелген аралықта анықталған нақты мәнді үздіксіз функциялар отбасының кез келген тізбесінің біркелкі конвергентті кіші тізбесі болатынын анықтау үшін қажетті және жеткілікті шарттарды ұсынады. Басты шарты – функциялар отбасының тең үздіксіздігі. Теорема математикадағы көптеген дәлелдердің негізі болып табылады, оның ішінде қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясындағы Пеаноның барлыққа толу теоремасы, күрделі талдаудағы Монтель теоремасы, гармоникалық талдаудағы Питер-Вейль теоремасы және интегралды операторлардың ықшамдығына қатысты түрлі нәтижелер. Тең үздіксіздік ұғымын 19 ғасырдың соңында итальяндық математиктер Чезаре Арзела және Джулио Асколи енгізді. Теореманың әлсіз түрін , ықшамдық үшін жеткілікті шартты белгілеген, ал қажетті шартты белгілеген және нәтижені алғаш рет нақты түсіндірген. Теореманың одан әрі жалпылануы , домені ықшам метрикалық кеңістік болатын нақты мәнді үздіксіз функциялар жиындары үшін дәлелденді. Теореманың қазіргі формулировкалары доменнің ықшам Хаусдорф кеңістігі болуына және диапазонның кез келген метрикалық кеңістік болуына мүмкіндік береді. Теореманың одан да жалпы формулировкалары бар, олар функциялар отбасының ықшам ашық топологияда ықшам болуы үшін ықшам түрде құрылған Хаусдорф кеңістігінен біркелкі кеңістікке қажетті және жеткілікті шарттарды ұсынады; қараңыз .
The Arzelà–Ascoli theorem is a fundamental result of mathematical analysis giving necessary and sufficient conditions to decide whether every sequence of a given family of real valued continuous functions defined on a closed and bounded interval has a uniformly convergent subsequence. The main condition is the equicontinuity of the family of functions. The theorem is the basis of many proofs in mathematics, including that of the Peano existence theorem in the theory of ordinary differential equations, Montel's theorem in complex analysis, and the Peter–Weyl theorem in harmonic analysis and various results concerning compactness of integral operators. The notion of equicontinuity was introduced in the late 19th century by the Italian mathematicians Cesare Arzelà and Giulio Ascoli. A weak form of the theorem was proven by , who established the sufficient condition for compactness, and by , who established the necessary condition and gave the first clear presentation of the result. A further generalization of the theorem was proven by , to sets of real valued continuous functions with domain a compact metric space Modern formulations of the theorem allow for the domain to be compact Hausdorff and for the range to be an arbitrary metric space. More general formulations of the theorem exist that give necessary and sufficient conditions for a family of functions from a compactly generated Hausdorff space into a uniform space to be compact in the compact open topology; see .
Дифференциалданған функциялар
Теореманың гипотезалары біркелкі шектелген туындылары бар дифференциалданатын функциялар {fn} тізбегімен орындалады. Шындығында, туындылардың біркелкі шектелуі орташа мән теоремасы бойынша, барлық x және y үшін,
мұнда K – тізбектегі функциялардың туындыларының жоғарғы шегі және n-ден тәуелсіз. Демек, ε > 0 берілген болса, тізбектің тең үздіксіздігінің анықтамасын тексеру үшін . Бұл келесі салдарды дәлелдейді:
{fn} [a, b] аралығындағы нақты мәнді дифференциалданатын функциялардың біркелкі шектелген тізбегі болсын, сонда оның туындылары {fn′} біркелкі шектелген. Онда [a, b] аралығында біркелкі жақындасатын {fnk} кіші тізбегі бар. Егер екінші туындылар тізбегі де біркелкі шектелген болса, онда туындылар да біркелкі жақындасады (кіші тізбекке дейін), және т.б. Тағы бір жалпыламалық үздіксіз дифференциалданатын функциялар үшін де қолданылады. fn функциялары f′n туындыларымен үздіксіз дифференциалданады деп есептейік. fn′ біркелкі тең үздіксіз және біркелкі шектелген, ал {fn} тізбегі нүктелік шектелген (немесе тек бір нүктеде шектелген) болсын. Онда {fn} функциясының біркелкі түрде үздіксіз дифференциалданатын функцияға жақындасатын кіші тізбегі бар. Диагонализация аргументі әр ретінің туындылары біркелкі шектелген, шексіз дифференциалданатын функциялардың жиынында біркелкі жақындасатын кіші тізбек бар екенін көрсету үшін де қолданылуы мүмкін, оның барлық туындылары да біркелкі жақындасады. Бұл, әсіресе, үлестірулер теориясында маңызды.
Евклидтік кеңістіктер
Арцела-Асколи теоремасы, жалпы алғанда, егер fn функциялары d өлшемді Евклид кеңістігінде 'R'ᵈ мәндерін алса, оның дәлелдеуі өте қарапайым: тек 'R' бағаланған Арцела-Асколи теоремасының d рет қолданылуы бірінші координата бойынша біркелкі жинақталуға ие болатын ішкі тізбекті шығаруға мүмкіндік береді, содан кейін бірінші екі координата бойынша біркелкі жинақталуға ие болатын ішкі тізбектің ішкі тізбегі және т.б. Жоғарыдағы мысалдар Евклид кеңістігіндегі мәндері бар функциялар жағдайына оңай жалпыланады.
Қажеттілік
Арзела-Асколи теоремасының көптеген тұжырымдары функциялар жинағының кейбір топологияда (салыстырмалы түрде) компактты болуы үшін жеткілікті шарттарды келтіреді, бірақ бұл шарттар көбінесе қажетті де болады. Мысалы, егер F жиыны C(X) -де компактты болса, онда ол C(X) -дегі біркелкі норма бойынша шектеулі болады, және әсіресе нүкте бойынша шектеулі болады, мұнда C(X) – тығыз Хаусдорф кеңістігіндегі нақты мәнді үздіксіз функциялардың Банах кеңістігі. N(ε, U) жиыны F жинағындағы барлық функциялардың жиыны болсын, олардың X-тың ашық ішкі жиыны U-дағы осцилляциясы ε-дан кем:
Белгілі бір x∈X және ε үшін, N(ε, U) жиындары F жинағының ашық жабуын құрайды, U x-тің барлық ашық маңдары бойынша өзгере отырып. Шекті жабуды таңдау тең үздіксіздікке әкеледі.