Введение

О том, когда семейство действительных непрерывных функций имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Теорема Арзела–Асколи — это фундаментальный результат математического анализа, предоставляющий необходимые и достаточные условия для определения того, имеет ли каждая последовательность данного семейства действительных непрерывных функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале, равномерно сходящуюся подпоследовательность. Основным условием является равнонепрерывность семейства функций. Теорема является основой многих доказательств в математике, включая теорему о существовании Пеано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теорему Монтеля в комплексном анализе и теорему Питера — Вейля в гармоническом анализе, а также различные результаты, касающиеся компактности интегральных операторов. Понятие равнонепрерывности было введено в конце XIX века итальянскими математиками Чезаре Арзела и Джулио Асколи. Слабая форма теоремы была доказана , который установил достаточное условие для компактности, и , который установил необходимое условие и дал первое четкое изложение результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано , для множеств действительных непрерывных функций с областью определения, являющейся компактным метрическим пространством. Современные формулировки теоремы допускают, чтобы область определения была компактным хаусдорфовым пространством, а область значений — произвольным метрическим пространством. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство функций из компактно порожденного хаусдорфова пространства в равномерное пространство было компактным в компактно-открытой топологии; см.

Дифференцируемые функции

Гипотезы теоремы удовлетворяются равномерно ограниченной последовательностью { f n } дифференцируемых функций с равномерно ограниченными производными. Действительно, равномерная ограниченность производных, в силу теоремы о среднем значении, влечет, что для всех x и y,

где K – супремум производных функций в последовательности и не зависит от n. Таким образом, для любого ε > 0, выберем δ > 0, чтобы проверить определение равномерной непрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие:

Пусть {fn} – равномерно ограниченная последовательность дифференцируемых функций, принимающих вещественные значения на [a, b], таких что производные {fn′} равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность {fnk}, которая равномерно сходится на [a, b]. Если, кроме того, последовательность вторых производных также равномерно ограничена, то и производные сходятся равномерно (до некоторой подпоследовательности) и так далее. Другое обобщение справедливо для функций, непрерывно дифференцируемых. Предположим, что функции f n непрерывно дифференцируемы с производными f′n. Предположим, что fn′ равномерно равнонепрерывны и равномерно ограничены, и что последовательность { f n } ограничена по точке (или просто ограничена в одной точке). Тогда существует подпоследовательность { f n }, равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции. Аргумент диагонализации также можно использовать для доказательства того, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные которых каждого порядка равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также сходятся равномерно. Это особенно важно в теории обобщенных функций.

Евклидово пространство

Теорема Арзела-Асколи справедлива в более общем случае, если функции fn принимают значения в d-мерном евклидовом пространстве R^(d), и доказательство очень простое: достаточно d раз применить версию теоремы Арзела-Асколи для функций, принимающих значения в R, чтобы выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся в первой координате, затем подпоследовательность, равномерно сходящуюся в первых двух координатах, и так далее. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.

Необходимость

В то время как большинство формулировок теоремы Арзела-Асколи утверждают достаточные условия для компактности (или относительной компактности) семейства функций в некоторой топологии, эти условия, как правило, также необходимы. Например, если множество F компактно в C(X), пространстве Банаха вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C(X) и, в частности, поточечно ограничено. Пусть N(ε, U) – множество всех функций в F, чья осцилляция на открытом подмножестве U ⊂ X меньше ε:

Для фиксированного x ∈ X и ε, множества N(ε, U) образуют открытое покрытие F при варьировании U по всем открытым окрестностям x. Выбор конечного подпокрытия тогда обеспечивает равномерную непрерывность.