Кіріспе
Бірінші реттік біртекті сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің ең үлкен жиынтығын табу туралы. Математикада Фробень теоремасы, бірінші реттік біртекті сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулердің артық анықталған жүйесінің тәуелсіз шешімдерінің ең үлкен жиынтығын табу үшін қажетті және жеткілікті шарттарды ұсынады. Қазіргі геометриялық тұрғыдан алғанда, векторлық өрістер отбасы берілгенде, теорема берілген векторлық өрістермен жазылған жанама шоғырларға ие максималды интегралдық көптүрліліктермен жапырақтандырудың болуы үшін қажетті және жеткілікті интегралдану шарттарын береді. Теорема, қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін бар болу теоремасын жалпылайды, ол бір векторлық өріс әрқашан интегралдық қисықтарды тудыратынын кепілдейді; Фробень, r векторлық өрістердің интегралдық қисықтары r өлшемді интегралдық көптүрліліктегі координаттық торларға біріктірілетін үйлесімділік шарттарын ұсынады. Теорема дифференциалдық топология мен көптүрліліктердегі есептеудің негізін құрайды. Контакт геометриясы Фробень теоремасының болжамдарын ең көп бұзатын 1-формаларды зерттейді. Мысалы оң жақта көрсетілген.
In mathematics, Frobenius' theorem gives necessary and sufficient conditions for finding a maximal set of independent solutions of an overdetermined system of first order homogeneous linear partial differential equations. In modern geometric terms, given a family of vector fields, the theorem gives necessary and sufficient integrability conditions for the existence of a foliation by maximal integral manifolds whose tangent bundles are spanned by the given vector fields. The theorem generalizes the existence theorem for ordinary differential equations, which guarantees that a single vector field always gives rise to integral curves; Frobenius gives compatibility conditions under which the integral curves of r vector fields mesh into coordinate grids on r dimensional integral manifolds. The theorem is foundational in differential topology and calculus on manifolds. Contact geometry studies 1 forms that maximally violates the assumptions of Frobenius' theorem. An example is shown on the right.
Бір нысанды нұсқа
3D кеңістіктегі бөлшектің траекториясын табу керек делік, бірақ траектория формуласын білмейміз. Оның орнына, оның траекториясы теңдеуді қанағаттандыратынын білеміз, мұндағы – тегіс функциялар. Осылайша, біздің жалғыз сенімділігіміз – егер уақыттың белгілі бір сәтінде бөлшектің орны болса, онда оның сол сәттегі жылдамдығы тегістемедегі теңдеумен шектелген жазықтықта болады. Басқаша айтқанда, 3D кеңістіктегі әрбір нүктеде «жергілікті жазықтық» салуға болады және бөлшектің траекториясы әрқашан осы жергілікті жазықтыққа жанасуы керек. Егер екі теңдеу болса, онда әрбір нүктеде екі жергілікті жазықтықты салуға болады, олардың қиылысуы әдетте түзу болады, бұл кез келген нүктеден басталатын қисықты бірегей түрде шешуге мүмкіндік береді. Басқаша айтқанда, екі 1-форма арқылы доменді қисықтарға жіктеуге болады. Егер тек бір теңдеу болса, онда доменді беттерге жіктеуге тырысуға болады, онда белгілі бір беттен басталатын қисық сол беттің ішінде қалуға мәжбүр болады. Әйтпесе, кез келген нүктеден басталатын қисық домендегі кез келген нүктеге жете алады. Кішкентай жазықтықтардың бұлтынан бастап, оларды толық бетті құру үшін біріктіруді көзге елестете аласыз. Ең басты қауіп – егер жазықтықтарды екеулеп біріктірсек, циклға түсіп, бастапқы нүктеге қайта оралып, бірақ сәл ығысып қалуы мүмкін. Мұндай жағдайда 2 өлшемді бет емес, 3 өлшемді дене аламыз. Мұның мысалы оң жақтағы суретте көрсетілген. Егер 1-форма интегралданатын болса, онда контурлар өзіне-өзі жабылады және әр бет 2 өлшемді болады. Фробениус теоремасы бойынша, бұл тек доменнің барлық жерінде орындалады, мұнда белгілеу 1-форма туралы мақалада анықталған. Аксиомалық термодинамиканы дамыту барысында Каратеодори егер ашық жиынтықта интегралданатын 1-форма болса, онда жиынтықтағы кейбір скалярлық функциялар үшін екенін дәлездеді. Бұл әдетте аксиомалық термодинамикадағы Каратеодори теоремасы деп аталады. Бұны интуитивті түрде келесідей дәлелдеуге болады: теңдеуге сәйкес кішкентай жазықтықтарды құрастырып, оларды жіктеуге біріктіріп, содан кейін әр бетке жіктемеде скалярлық белгі тағайындаңыз. Енді әрбір нүкте үшін нүктесі бар беттің скалярлық белгісі деп анықтаңыз. Енді, дәл сол жазықтықтарды қамтитын 1-форма бар. Алайда, оның барлық жерде «тегіс қалыңдығы» бар, ал «тегіс емес қалыңдығы» болуы мүмкін. Бұл скалярлық масштабтау арқылы түзетіледі, нәтижесі оң жақта көрсетілген.
In other words, we can draw a "local plane" at each point in 3D space, and we know that the particle's trajectory must be tangent to the local plane at all times. If we have two equationsthen we can draw two local planes at each point, and their intersection is generically a line, allowing us to uniquely solve for the curve starting at any point. In other words, with two 1 forms, we can foliate the domain into curves. If we have only one equation , then we might be able to foliate into surfaces, in which case, we can be sure that a curve starting at a certain surface must be restricted to wander within that surface. If not, then a curve starting at any point might end up at any other point in One can imagine starting with a cloud of little planes, and quilting them together to form a full surface. The main danger is that, if we quilt the little planes two at a time, we might go on a cycle and return to where we began, but shifted by a small amount. If this happens, then we would not get a 2 dimensional surface, but a 3 dimensional blob. An example is shown in the diagram on the right. If the one form is integrable, then loops exactly close upon themselves, and each surface would be 2 dimensional. Frobenius' theorem states that this happens precisely when over all of the domain, where The notation is defined in the article on one forms. During his development of axiomatic thermodynamics, Carathéodory proved that if is an integrable one form on an open subset of , then for some scalar functions on the subset. This is usually called Carathéodory's theorem in axiomatic thermodynamics. One can prove this intuitively by first constructing the little planes according to , quilting them together into a foliation, then assigning each surface in the foliation with a scalar label. Now for each point , define to be the scalar label of the surface containing point
Now, is a one form that has exactly the same planes as However, it has "even thickness" everywhere, while might have "uneven thickness". This can be fixed by a scalar scaling by , giving This is illustrated on the right.
Бірнеше бір нысанды
Теорема өзінің ең қарапайым түрінде бірінші реттік сызықтық гомогенді бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің жүйесінің тәуелсіз шешімдерінің максималды жиынтығын табу мәселесін қарастырады. [[Үнемі дифференциалданатын функциялар жиынтығы болсын, r < n, және матрицаның 'R'^n-нің кез келген нүктесінде бағаланғанда r дәрежесі бар). C^(2) функциясы u : 'R'^n → 'R' үшін келесі бөлшектік дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық:
be a collection of [[continuously differentiable functions, with r < n, and such that the matrix has rank r when evaluated at any point of 'R'^(n). Consider the following system of partial differential equations for a C^(2) function u : 'R'^(n) → 'R':
One seeks conditions on the existence of a collection of solutions u1, , un−r such that the gradients ∇u1, , ∇un−r are linearly independent. The Frobenius theorem asserts that this problem admits a solution locally if, and only if, the operators Lk satisfy a certain integrability condition known as involutivity. Specifically, they must satisfy relations of the form
for 1 ≤ i, j ≤ r, and all C^(2) functions u, and for some coefficients ckij(x) that are allowed to depend on x. In other words, the commutators [Li, Lj] must lie in the linear span of the Lk at every point. The involutivity condition is a generalization of the commutativity of partial derivatives. In fact, the strategy of proof of the Frobenius theorem is to form linear combinations among the operators Li so that the resulting operators do commute, and then to show that there is a coordinate system yi for which these are precisely the partial derivatives with respect to y1, , yr.
Біз u1, ..., un−r шешімдерінің жиынтығының болуы үшін шарттар іздейміз, сонда u1, ..., un−r градиенттері сызықтық тәуелсіз болады. Фробен теоремасы бұл мәселенің жергілікті түрде шешімі бар екенін, егер және тек қана Lk операторлары инволютивтілік деп аталатын белгілі бір интегралдану шартын қанағаттандырса растайды. Нақтырақ айтқанда, олар 1 ≤ i, j ≤ r және барлық C^(2) функциялары u үшін, сондай-ақ кейбір ckij(x) коэффициенттері үшін (x-тен тәуелді болуы мүмкін) келесі қатынастарды қанағаттандыруы керек:
be a collection of [[continuously differentiable functions, with r < n, and such that the matrix has rank r when evaluated at any point of 'R'^(n). Consider the following system of partial differential equations for a C^(2) function u : 'R'^(n) → 'R':
One seeks conditions on the existence of a collection of solutions u1, , un−r such that the gradients ∇u1, , ∇un−r are linearly independent. The Frobenius theorem asserts that this problem admits a solution locally if, and only if, the operators Lk satisfy a certain integrability condition known as involutivity. Specifically, they must satisfy relations of the form
for 1 ≤ i, j ≤ r, and all C^(2) functions u, and for some coefficients ckij(x) that are allowed to depend on x. In other words, the commutators [Li, Lj] must lie in the linear span of the Lk at every point. The involutivity condition is a generalization of the commutativity of partial derivatives. In fact, the strategy of proof of the Frobenius theorem is to form linear combinations among the operators Li so that the resulting operators do commute, and then to show that there is a coordinate system yi for which these are precisely the partial derivatives with respect to y1, , yr.
Басқаша айтқанда, [Li, Lj] коммутаторлары әр нүктеде Lk операторларының сызықтық кеңістігінде жатуы керек. Инволютивтілік шарты – бұл ішінара туындылардың коммутативтілігінің жалпылауы. Шын мәнінде, Фробен теоремасын дәлелдеу стратегиясы – Li операторларының арасында сызықтық комбинациялар құру, нәтижесінде алынған операторлар коммутациялайды, содан кейін y1, ..., yr қатысты бұл дәл жартылай туындылар болатын yi координаттар жүйесінің бар екенін көрсету.
be a collection of [[continuously differentiable functions, with r < n, and such that the matrix has rank r when evaluated at any point of 'R'^(n). Consider the following system of partial differential equations for a C^(2) function u : 'R'^(n) → 'R':
One seeks conditions on the existence of a collection of solutions u1, , un−r such that the gradients ∇u1, , ∇un−r are linearly independent. The Frobenius theorem asserts that this problem admits a solution locally if, and only if, the operators Lk satisfy a certain integrability condition known as involutivity. Specifically, they must satisfy relations of the form
for 1 ≤ i, j ≤ r, and all C^(2) functions u, and for some coefficients ckij(x) that are allowed to depend on x. In other words, the commutators [Li, Lj] must lie in the linear span of the Lk at every point. The involutivity condition is a generalization of the commutativity of partial derivatives. In fact, the strategy of proof of the Frobenius theorem is to form linear combinations among the operators Li so that the resulting operators do commute, and then to show that there is a coordinate system yi for which these are precisely the partial derivatives with respect to y1, , yr.
Талдаудан геометрияға
Жүйе анықталғаннан да артық болса да, әдетте шексіз көп шешімдер болады. Мысалы, дифференциалдық теңдеулер жүйесі бірнеше шешімге мүмкіндік береді. Дегенмен, бұл шешімдердің құрылымы жеткілікті, оларды толық сипаттауға болады. Бірінші байқау, егер f1 және f2 екі түрлі шешім болса, f1 және f2 деңгейлік беттерінің үстіне жабысуы керек. Шындығында, осы жүйе үшін деңгейлік беттердің бәрі 'R'^(3) кеңістігіндегі C тұрақтысы үшін жазықтықтар түрінде болады. Екінші байқау, деңгейлік беттер белгілі болғаннан кейін, барлық шешімдерді кездейсоқ функциялар арқылы беруге болады. Деңгейлік беттегі f шешімінің мәні анықтама бойынша тұрақты болғандықтан, C(t) функциясын былай анықтаңыз: Керісінше, егер C(t) функциясы берілген болса, онда осы өрнекте берілген f функциясы бастапқы теңдеудің шешімі болады. Осылайша, деңгейлік беттер отбасының болуына байланысты, бастапқы теңдеудің шешімдері бір айнымалының кездейсоқ функцияларымен бір-бірге сәйкес келеді. Фробен теоремасы (1) теңдеуінің жалпы жағдайы үшін де осындай сәйкестікті орнатуға мүмкіндік береді. u1, …, un−r шешімдері градиенттердегі тәуелсіздік шартын қанағаттандыратын (1) мәселенің шешімдері болсын. (u1, …, un−r) деңгейлік жиынтықтарын 'R'^(n−r) кеңістігіндегі мәндері бар функциялар ретінде қарастырайық. Егер v1, …, vn−r осы шешімдердің тағы бір жиынтығы болса, онда (кейбір сызықтық алгебра және орташа мән теоремасын қолданып) оның деңгейлік жиынтықтардың бірдей отбасы бар екенін, бірақ әр жиынтық үшін тұрақтылардың басқаша таңдалуын көрсетуге болады. Осылайша, (1) теңдеуінің тәуелсіз шешімдері бірегей болмаса да, (1) теңдеуі деңгейлік жиынтықтардың бірегей отбасын анықтайды. Мысал сияқты, (1) теңдеуінің жалпы шешімдері u деңгейлік жиынтықтар отбасындағы (үзіліссіз дифференциалданатын) функциялармен бір-бірге сәйкес келеді. (1) теңдеуінің ең үлкен тәуелсіз шешімдер жиынтығына сәйкес келетін деңгейлік жиынтықтар интегралдық көптүрліліктер деп аталады, өйткені барлық интегралдық көптүрліліктер жиынтығындағы функциялар белгілі бір мағынада интеграция тұрақтыларына сәйкес келеді. Осы интеграция тұрақтыларының бірі белгілі болғаннан кейін, тиісті шешім де белгілі болады.
clearly permits multiple solutions. Nevertheless, these solutions still have enough structure that they may be completely described. The first observation is that, even if f1 and f2 are two different solutions, the level surfaces of f1 and f2 must overlap. In fact, the level surfaces for this system are all planes in 'R'^(3) of the form , for C a constant. The second observation is that, once the level surfaces are known, all solutions can then be given in terms of an arbitrary function. Since the value of a solution f on a level surface is constant by definition, define a function C(t) by:
Conversely, if a function C(t) is given, then each function f given by this expression is a solution of the original equation. Thus, because of the existence of a family of level surfaces, solutions of the original equation are in a one to one correspondence with arbitrary functions of one variable. Frobenius' theorem allows one to establish a similar such correspondence for the more general case of solutions of (1). Suppose that u1, , un−r are solutions of the problem (1) satisfying the independence condition on the gradients. Consider the level sets of (u1, , un−r) as functions with values in 'R'^(n−r). If v1, , vn−r is another such collection of solutions, one can show (using some linear algebra and the mean value theorem) that this has the same family of level sets but with a possibly different choice of constants for each set. Thus, even though the independent solutions of (1) are not unique, the equation (1) nonetheless determines a unique family of level sets. Just as in the case of the example, general solutions u of (1) are in a one to one correspondence with (continuously differentiable) functions on the family of level sets. The level sets corresponding to the maximal independent solution sets of (1) are called the integral manifolds because functions on the collection of all integral manifolds correspond in some sense to constants of integration. Once one of these constants of integration is known, then the corresponding solution is also known.
Фробен теоремасы қазіргі тілмен
Фробен теоремасын қазіргі тілмен ықшамдап тұжырымдауға болады. Фробеннің теоремасының бастапқы нұсқасы Пфаффиандық жүйелер арқылы тұжырымдалған, бірақ оны бүгінде дифференциалдық формалар тіліне аудару мүмкін. Басқаша, біршама түсінікті нұсқада векторлық өрістер қолданылады.
Векторлық өрістерді пайдалана отырып құрастыру
Векторлық өріс тұжырымында теорема мынаны күйейді: көпқырлының тангенциалдық бунделінің суббунделі интегралданатын (немесе инволютивті) болады, егер және ғана егер ол реттелген жапырақтан туындаса. Осы контексте Фробеніус теоремасы интегралдануды жапыраққа байланыстырады; теореманы тұжырымдау үшін екі ұғым да нақты анықталуы керек. Біріншіден, көпқырлыдағы кез келген тегіс векторлық өріс қисықтар отбасын, оның интегралдық қисықтарын (интервалдар үшін) анықтайды. Бұл – бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі, оның шешілуі Пикар-Линделоф теоремасымен қамтамасыз етіледі. Егер векторлық өріс егде болмаса, онда ол көпқырлының тангенциалдық бунделінің бір өлшемді суббунделін анықтайды, ал интегралдық қисықтар оның реттелген жапырағын құрайды. Осылайша, бір өлшемді суббунделдер әрқашан интегралданады. Егер суббундельдің өлшемі бірден артық болса, шарт қою қажет. Суббундель тангенциалдық бундельдің интегралданатын (немесе инволютивті) болады, егер кез келген екі векторлық өріс және мәндерін қабылдаса, олардың Ли жақшасы да сол мәндерді қабылдаса. Интегралдану ұғымын тек жергілікті түрде анықтау жеткілікті; яғни, векторлық өрістердің және олардың интегралдануының болуы тек көпқырлының ішкі жиындарында анықталуы керек. Жапыраққа бірнеше анықтама бар. Біз мынаны қолданамыз:
Several definitions of foliation exist. Here we use the following:
Анықтама. n өлшемді көпқырлы M-нің p өлшемді, Cr класты жапырағы – M-нің ажыратылған байланысқан кіші көпқырлылықтардың жиынтығының ({Lα}α∈A) ыдырауы, олар жапырақтың жапырақтары деп аталады, және келесі қасиетке ие: M-дегі әрбір нүкте үшін U көршілесі және x=(x1, ⋅⋅⋅, xn) : U→Rn жергілікті, Cr класты координаттар жүйесі бар, сонда әрбір жапырақ Lα үшін U ∩ Lα компоненттері xp+1=тұрақты, ⋅⋅⋅, xn=тұрақты теңдеулермен сипатталады. Жапырақ {Lα}α∈A арқылы белгіленеді. Кез келген жапырақшалау интегралданатын суббунделді анықтайды, себебі егер және жапырақшалаудың жапырағы болса, онда ол интегралданады. Фробеніус теоремасы керісін де тұжырымдайды:
Жоғарыдағы анықтамаларға сәйкес, Фробеніус теоремасы суббундель интегралданады, егер және ғана егер суббундель реттелген жапырақтан туындаса.
Дифференциалдық нысандарды қалыптастыру
U-ді M көптүстігінде ашық жиын деп есептейік, Ω^(1)(U) – U-де тегіс, дифференциалданатын 1-формалар кеңістігі, ал F – r рангі бар Ω^(1)(U) субмодулі, мұнда ранг U-де тұрақты мәнге ие. Фробен теоремасы F интегралданатындығы үшін және тек қана U-дегі әрбір p үшін Fp тұқымы r нақты дифференциалдық формалармен туындаса ғана орындалады деп мәлімдейді. Геометриялық тұрғыдан алғанда, теорема бойынша r рангі бар 1-формалардың интегралданатын модулі r кодименсиялық жапырақтандырумен (foliation) бірдей. Кіріспеде берілген векторлық өрістер тұрғысынан берілген анықтамаға сәйкестік дифференциалдық формалар мен Ли туындылары арасындағы тығыз байланыс арқасында туындайды. Фробен теоремасы векторлық өрістер мен жапырақтандыруларды зерттеудің негізгі құралдарының бірі болып табылады. Теореманың екі түрі бар: бірі – таратулармен (distributions) жұмыс істейтін, яғни тангенс бундельдің TM тегіс кіші бундельдері D-мен жұмыс істейтін; екіншісі – M-дегі барлық формалардың Ω(M) дәрежелі сақинасының кіші бундельдерімен жұмыс істейтін. Бұл екі түр дуалдықпен байланысты. Егер D – M-де тегіс тангенстік тарату болса, онда D-нің аннигиляторы I(D) барлық формалардан тұрады (әрбір үшін), сондықтан барлық үшін I(D) жиыны Ω(M)-де субсақина және, шын мәнінде, идеал құрайды. Бұдан әрі, сыртқы туындының анықтамасын пайдаланып, егер және тек қана D инволютивті болса, I(D) сыртқы дифференциация бойынша жабық екенін (яғни дифференциалдық идеал) көрсетуге болады. Осылайша, Фробен теоремасы I(D) сыртқы дифференциация бойынша жабық, егер және тек қана D интегралданатын болса деген эквивалентті түрге ие болады.
for all The set I(D) forms a subring and, in fact, an ideal in Ω(M). Furthermore, using the definition of the exterior derivative, it can be shown that I(D) is closed under exterior differentiation (it is a differential ideal) if and only if D is involutive. Consequently, the Frobenius theorem takes on the equivalent form that I(D) is closed under exterior differentiation if and only if D is integrable.
Жалпылау
Теореманы әр түрлі тәсілдермен жалпылауға болады.
Банахтың коллекторлары
Фробен теоремасының шексіз өлшемді нұсқасы да Банах көптүрліліктерінде қолданылады. Мәлімдемесі шекті өлшемді нұсқаға ұқсас. M кем дегенде C2 класындағы Банах көптүрлігі болсын. E, M-нің тангенттік бунделінің кіші бунделі болсын. E бунделі инволютивті болып есептеледі, егер p маңында анықталған кез келген p ∈ M нүктесі және E-нің X және Y қималарының жұбы үшін, p нүктесінде есептелген X және Y-дің Ли скобкасы Ep-де жатса:
Екінші жағынан, E интегралданатын болып есептеледі, егер әрбір p ∈ M үшін p-ні қамтитын суға батырылған φ : N → M суреттемесі болса, онда φ суреттемесінің дифференциалы TN-нің φ⁻¹E-мен изоморфизмі болады.
Фробен теоремасы, E кіші бунделінің интегралданатынын, оның инволютивті екенімен ғана байланысты екенін айтады.
Жоғары дәрежелі нысандар
Айғақ жоғары дәрежелі формаларға жалпыланбайды, бірақ Дарбукс теоремасы және Картан-Кэхлер теоремасы сияқты бірқатар ішінара нәтижелер бар.
Тарих
Фердинанд Георг Фробеньус атымен аталғандықтан, теореманы алғаш рет Альфред Клебш және Федор Деана дәлелдеген. Деана теорема үшін жеткілікті шарттарды бірінші болып белгіледі, ал Клебш қажетті шарттарды дамытты. Фробеньус теореманы Пфаффиан жүйелеріне қолдануға жауапты, соның арқасында дифференциалдық топологияда оны пайдалануға мүмкіндік ашылды.
Қолданбалар
Классикалық механикада жүйелік шектеулер теңдеулерінің интегралдануы жүйенің голономикалық немесе голономикалық емес екенін анықтайды. Микроэкономикалық теорияда Фробеньев теоремасы сұраныс функцияларының интегралдану мәселесіне шешімнің бар екенін дәлелдеуге қолданылуы мүмкін.