Введение

О поиске максимального множества решений системы однородных линейных ПДУ первого порядка

В математике теорема Фробениуса предоставляет необходимые и достаточные условия для нахождения максимального множества линейно независимых решений переопределённой системы однородных линейных частных дифференциальных уравнений первого порядка. В современных геометрических терминах, для заданного семейства векторных полей, теорема даёт необходимые и достаточные условия интегрируемости для существования фолиации максимальными интегральными многообразиями, касательные пучки которых порождаются данными векторными полями. Теорема обобщает теорему существования для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая гарантирует, что одно векторное поле всегда порождает интегральные кривые; Фробениус даёт условия совместимости, при которых интегральные кривые r векторных полей образуют координатные сетки на r-мерных интегральных многообразиях. Теорема является основополагающей в дифференциальной топологии и исчислении на многообразиях. Контактная геометрия изучает 1-формы, максимально нарушающие предположения теоремы Фробениуса. Пример показан справа.

Единая версия

Предположим, что мы хотим найти траекторию частицы в подмножестве 3D пространства, но формула траектории нам неизвестна. Вместо этого мы знаем лишь то, что траектория удовлетворяет , где – гладкие функции. Таким образом, мы уверены лишь в том, что если в некоторый момент времени частица находится в точке , то её скорость в этот момент ограничена плоскостью с уравнением . Иными словами, в каждой точке 3D пространства можно провести "локальную плоскость", и мы знаем, что траектория частицы должна быть касательной к этой плоскости в любой момент времени. Если у нас есть два уравнения , то в каждой точке можно провести две локальные плоскости, и их пересечение, как правило, является линией, что позволяет однозначно определить кривую, исходящую из любой точки. Другими словами, с помощью двух 1-форм мы можем расслоить область на кривые. Если у нас есть только одно уравнение , то мы, возможно, сможем расслоить область на поверхности, и в этом случае мы можем быть уверены, что кривая, начинающаяся на определённой поверхности, будет ограничена перемещением внутри этой поверхности. В противном случае кривая, начинающаяся в любой точке, может закончиться в любой другой точке. Можно представить себе облако маленьких плоскостей, которые мы склеиваем вместе, чтобы сформировать полную поверхность. Основная опасность заключается в том, что если мы будем склеивать маленькие плоскости по две за раз, мы можем замкнуться в цикл и вернуться в исходную точку, но со сдвигом. Если это произойдёт, мы получим не двумерную поверхность, а трёхмерное тело. Пример этого показан на диаграмме справа. Если 1-форма интегрируема, то петли точно замыкаются, и каждая поверхность будет двумерной. Теорема Фробениуса утверждает, что это происходит тогда и только тогда, когда над всей областью, где обозначение определено в статье об 1-формах. В ходе разработки аксиоматической термодинамики Каратеодори доказал, что если является интегрируемой 1-формой на открытом подмножестве , то для некоторых скалярных функций на этом подмножестве. Это обычно называют теоремой Каратеодори в аксиоматической термодинамике. Это можно интуитивно доказать, сначала построив маленькие плоскости согласно , склеив их вместе в расслоение, а затем присвоив каждой поверхности в расслоении скалярную метку. Теперь для каждой точки определим как скалярную метку поверхности, содержащей эту точку.

Теперь – это 1-форма, которая имеет те же плоскости, что и . Однако она имеет "равномерную толщину" повсюду, в то время как может иметь "неравномерную толщину". Это можно исправить, применив скалярное масштабирование , получив . Это проиллюстрировано на рисунке справа.

Многократные однообразные формы

В своей наиболее элементарной форме теорема решает проблему нахождения максимального множества линейно независимых решений регулярной системы линейных однородных частных дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть

будет набором непрерывно дифференцируемых функций, с r < n, и таким образом, что матрица имеет ранг r в любой точке Rⁿ. Рассмотрим следующую систему частных дифференциальных уравнений для функции u: Rⁿ → R:

Ищут условия на существование набора решений u₁, …, uₙ₋ᵣ, таких, что градиенты ∇u₁, …, ∇uₙ₋ᵣ линейно независимы. Теорема Фробениуса утверждает, что эта проблема имеет локальное решение тогда и только тогда, когда операторы Lₖ удовлетворяют определенному условию интегрируемости, известному как инволютивность. В частности, они должны удовлетворять соотношениям вида

для 1 ≤ i, j ≤ r, и всех функций u класса C², и для некоторых коэффициентов ckij(x), которые могут зависеть от x. Иными словами, коммутаторы [Li, Lj] должны принадлежать линейной оболочке операторов Lₖ в каждой точке. Условие инволютивности является обобщением коммутативности частных производных. Фактически, стратегия доказательства теоремы Фробениуса заключается в построении линейных комбинаций операторов Li таким образом, чтобы полученные операторы коммутировали, а затем в доказательстве существования системы координат yi, для которой эти операторы являются именно частными производными по y₁, …, yᵣ.

От анализа к геометрии

Даже если система является переопределенной, в ней обычно бесконечно много решений. Например, система дифференциальных уравнений

очевидно допускает несколько решений. Тем не менее, эти решения все еще обладают достаточной структурой, чтобы их можно было полностью описать. Первое замечание состоит в том, что даже если f1 и f2 – два различных решения, поверхности уровня f1 и f2 должны пересекаться. Фактически, поверхности уровня для этой системы – это все плоскости в R³ вида , где C – константа. Второе замечание заключается в том, что как только поверхности уровня известны, все решения можно представить в терминах произвольной функции. Поскольку значение решения f на поверхности уровня по определению постоянно, определим функцию C(t) следующим образом:

Обратно, если задана функция C(t), то каждая функция f, заданная этим выражением, является решением исходного уравнения. Таким образом, благодаря существованию семейства поверхностей уровня, решения исходного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с произвольными функциями одной переменной. Теорема Фробениуса позволяет установить аналогичное соответствие для более общего случая решений (1). Предположим, что u1, …, un−r – решения задачи (1), удовлетворяющие условию независимости градиентов. Рассмотрим множества уровней (u1, …, un−r) как функции со значениями в R^(n−r). Если v1, …, vn−r – другая такая коллекция решений, можно показать (используя некоторые приемы линейной алгебры и теорему о среднем значении), что она имеет то же семейство поверхностей уровня, но, возможно, с другим выбором констант для каждого множества. Таким образом, даже если независимые решения (1) не уникальны, уравнение (1) тем не менее определяет уникальное семейство поверхностей уровня. Как и в случае с примером, общие решения u уравнения (1) находятся во взаимно однозначном соответствии с (непрерывно дифференцируемыми) функциями на семействе поверхностей уровня. Множества уровней, соответствующие максимальным независимым множествам решений (1), называются интегральными многообразиями, поскольку функции на совокупности всех интегральных многообразий в некотором смысле соответствуют константам интегрирования. Если одна из этих констант интегрирования известна, то соответствующее решение также известно.

Теорема Фробениуса на современном языке

Теорему Фробениуса можно переформулировать более лаконично, используя современный язык. Изначальная формулировка теоремы Фробениуса была дана в терминах пфаффовых систем, которые сегодня можно представить на языке дифференциальных форм. Альтернативная формулировка, несколько более интуитивная, использует векторные поля.

Формулирование с использованием векторных полей

В формулировке векторного поля теорема гласит, что подпучок тангенциального расслоения многообразия является интегрируемым (или инволютивным), если и только если он порожден регулярным листвованием. В этом контексте теорема Фробениуса связывает интегрируемость с листвованием; для формулировки теоремы оба понятия должны быть четко определены. Начнем с того, что произвольное гладкое векторное поле на многообразии определяет семейство кривых, его интегральные кривые (для интервалов). Это решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимость которых гарантируется теоремой Пикара — Линделёфа. Если векторное поле нигде не обращается в нуль, то оно определяет одномерный подпучок тангенциального расслоения, а интегральные кривые образуют регулярное листвование. Таким образом, одномерные подпучки всегда интегрируемы. Если размерность подпучка больше единицы, необходимо наложить условие. Подпучок тангенциального расслоения называется интегрируемым (или инволютивным), если для любых двух векторных полей и, принимающих значения в , скобка Ли также принимает значения в . Это понятие интегрируемости нужно определять лишь локально; то есть существование векторных полей и их интегрируемость нужно определять только на подмножествах . Существует несколько определений листвования. Здесь мы используем следующее:

Определение. p-мерное листвование класса Cr n-мерного многообразия M — это разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий {Lα}α∈A, называемых листьями листвования, обладающее следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и систему локальных координат класса Cr x=(x1, ⋅⋅⋅, xn) : U→Rn, такую что для каждого листа Lα компоненты U ∩ Lα описываются уравнениями xp+1=const, ⋅⋅⋅, xn=const. Листвование обозначается ={Lα}α∈A. Очевидно, любое листвование определяет интегрируемый подпучок, поскольку если и является листом листвования, проходящим через , то он интегрируем. Теорема Фробениуса утверждает, что обратное также верно:

Учитывая вышеприведенные определения, теорема Фробениуса утверждает, что подпучок является интегрируемым тогда и только тогда, когда он порожден регулярным листвованием .

Формулирование дифференциальных форм

Пусть U – открытое множество в многообразии M, Ω^(1)(U) – пространство гладких дифференцируемых 1-форм на U, и F – подмодуль Ω^(1)(U) ранга r, причем ранг постоянен на U. Теорема Фробениуса утверждает, что F интегрируема тогда и только тогда, когда для каждой точки p в U стебель Fp порождается r точными дифференциальными формами. Геометрически, теорема утверждает, что интегрируемый модуль 1-форм ранга r эквивалентен r-мерному листообразованию (foliation) коразмерности r. Соответствие определению в терминах векторных полей, данному во введении, следует из тесной связи между дифференциальными формами и производными Ли. Теорема Фробениуса – один из основных инструментов для изучения векторных полей и листообразований. Существуют две формулировки теоремы: одна, работающая с распределениями, то есть с гладкими подпучками D касательного расслоения TM; и другая, работающая с подпучками градуированного кольца Ω(M) всех форм на M. Эти две формулировки связаны двойственностью. Если D – гладкое тангенциальное распределение на M, то аннигилятор D, I(D), состоит из всех форм (для любого) таких, что

для всех . Множество I(D) образует подкольцо и, фактически, идеал в Ω(M). Более того, используя определение внешней производной, можно показать, что I(D) замкнуто относительно внешней дифференциации (является дифференциальным идеалом) тогда и только тогда, когда D инволютивно. Следовательно, теорема Фробениуса принимает эквивалентную форму: I(D) замкнуто относительно внешней дифференциации тогда и только тогда, когда D интегрируемо.

Обобщения

Теорему можно обобщить различными способами.

Манипуляторы Банаха

Бесконечномерная версия теоремы Фробениуса также справедлива для банаховых многообразий. Утверждение по существу такое же, как и в конечномерном случае. Пусть M – банахово многообразие класса не ниже C². Пусть E – подпучок касательного расслоения M. Пучок E называется инволютивным, если для каждой точки p ∈ M и любой пары сечений X и Y пучка E, определенных в окрестности точки p, скобка Ли сечений X и Y, вычисленная в точке p, принадлежит Ep:

С другой стороны, E называется интегрируемым, если для каждой точки p ∈ M существует погруженное подмногообразие φ : N → M, образ которого содержит p, такое что дифференциал φ является изоморфизмом TN и φ⁻¹E.

Теорема Фробениуса утверждает, что подпучок E интегрируем тогда и только тогда, когда он инволютивен.

Формы высшей степени

Утверждение не распространяется на формы более высокой степени, хотя существует ряд частных результатов, таких как теорема Дарбу и теорема Картана — Кэлера.

История

Несмотря на то, что теорема названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса, она была впервые доказана Альфредом Клебшем и Федором Деаной. Деана первым установил достаточные условия для теоремы, а Клебш разработал необходимые условия. Фробениус применил теорему к системам Пфаффа, тем самым открыв путь для её использования в дифференциальной топологии.

Приложения

В классической механике интегральность уравнений связей системы определяет, является ли система голономной или неголономной. В микроэкономической теории теорема Фробениуса может быть использована для доказательства существования решения задачи об интегрируемости функций спроса.