Кіріспе
Гейджерлік өріс циклінің операторы
Кванттық өріс теориясында Уилсон циклдары – жабық циклдар бойынша гейджерлік айнымалыларды параллель көшіруден туындайтын гейджерлік инвариант операторлар. Олар теорияның барлық гейджерлік ақпаратын кодтайды, бұл циклдер арқылы гейджерлік теорияларды толық сипаттайтын циклдік бейнелеулерді құруға мүмкіндік береді. Таза гейджерлік теорияда олар шектеу үшін тәртіп операторларының рөлін атқарады, және аймақтық заң деп белгілі бір қатынасты қанағаттандырады. 1974 жылы Кеннет Г. Уилсон ұсынған бұл циклдар, торлық гейджерлік теориясындағы негізгі параметрлер болып табылатын байланыстар мен плакеттерді құру үшін қолданылды. Уилсон циклдары – цикл операторларының кең класына жатады, олардың басқа да маңызды мысалдары – Уилсон циклдарының магниттік дуалдары болып табылатын 't Hooft циклдары және Уилсон циклдарының термиялық түрі болып табылатын Поляков циклдары.
Хилберт кеңістігі операторлары
Вильсон циклдерін қарастырудың тағы бір жолы – оларды Минковский метрикалық кеңістігіндегі күйлердің Хилберт кеңістігінде әрекет ететін операторлар ретінде қарастыру.
Тапсырыс операторы
Уилсонның уақытша сызықтары шексіз ауыр тұрақты кварктар құратын конфигурацияға сәйкес келетіндіктен, екі уақыт компонентінің ұзындығы және екі кеңістік компонентінің ұзындығы бар тікбұрышты циклмен байланысты Уилсон циклі, белгілі бір арақашықтықтағы кварк-антикварк жұбы ретінде қарастырылуы мүмкін. Үлкен уақыт аралығында Уилсон циклінің вакуумдық күтілімді мәні кварктар арасындағы потенциалды анықтайтын ең төменгі энергия деңгейін бөліп шығарады. Энергиясы жоғары жағдайлар уақыт өте келе экспоненциалды түрде әлсірейді, сондықтан күтілімді мән келесідей болады:
making the Wilson loop useful for calculating the potential between quark pairs. This potential must necessarily be a monotonically increasing and concave function of the quark separation. Since spacelike Wilson loops are not fundamentally different from the temporal ones, the quark potential is really directly related to the pure Yang–Mills theory structure and is a phenomenon independent of the matter content. Elitzur's theorem ensures that local non gauge invariant operators cannot have a non zero expectation values. Instead one must use non local gauge invariant operators as order parameters for confinement. The Wilson loop is exactly such an order parameter in pure Yang–Mills theory, where in the confining phase its expectation value follows the area law
for a loop that encloses an area This is motivated from the potential between infinitely heavy test quarks which in the confinement phase is expected to grow linearly where is known as the string tension. Meanwhile, in the Higgs phase the expectation value follows the perimeter law
where is the perimeter length of the loop and is some constant. The area law of Wilson loops can be used to demonstrate confinement in certain low dimensional theories directly, such as for the Schwinger model whose confinement is driven by instantons.
,
making the Wilson loop useful for calculating the potential between quark pairs. This potential must necessarily be a monotonically increasing and concave function of the quark separation. Since spacelike Wilson loops are not fundamentally different from the temporal ones, the quark potential is really directly related to the pure Yang–Mills theory structure and is a phenomenon independent of the matter content. Elitzur's theorem ensures that local non gauge invariant operators cannot have a non zero expectation values. Instead one must use non local gauge invariant operators as order parameters for confinement. The Wilson loop is exactly such an order parameter in pure Yang–Mills theory, where in the confining phase its expectation value follows the area law
for a loop that encloses an area This is motivated from the potential between infinitely heavy test quarks which in the confinement phase is expected to grow linearly where is known as the string tension. Meanwhile, in the Higgs phase the expectation value follows the perimeter law
where is the perimeter length of the loop and is some constant. The area law of Wilson loops can be used to demonstrate confinement in certain low dimensional theories directly, such as for the Schwinger model whose confinement is driven by instantons.
сондықтан Уилсон циклі кварк жұптары арасындағы потенциалды есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Бұл потенциал кварктар арасындағы қашықтыққа байланысты монотонды өсіп, ішкі қисықтыққа ие болуы керек. Кеңістіктік Уилсон циклдері уақытша циклдерден түбегейлі ерекшеленбегендіктен, кварк потенциалы тікелей таза Янг-Миллс теориясының құрылымымен байланысты және материяның құрамына тәуелді емес құбылыс. Элитзур теоремасы жергілікті, өлшеуге инвариант емес операторлардың нөлдік емес күтілімді мәндеріне ие болмайтынын қамтамасыз етеді. Оның орнына, шектеу үшін параметрлер ретінде жергілікті емес, өлшеуге инвариант операторларды қолдану керек. Уилсон циклы – таза Янг-Миллс теориясындағы осындай параметр, онда шектеу фазасында оның күтілімді мәні аудандық заңға сәйкес келеді:
making the Wilson loop useful for calculating the potential between quark pairs. This potential must necessarily be a monotonically increasing and concave function of the quark separation. Since spacelike Wilson loops are not fundamentally different from the temporal ones, the quark potential is really directly related to the pure Yang–Mills theory structure and is a phenomenon independent of the matter content. Elitzur's theorem ensures that local non gauge invariant operators cannot have a non zero expectation values. Instead one must use non local gauge invariant operators as order parameters for confinement. The Wilson loop is exactly such an order parameter in pure Yang–Mills theory, where in the confining phase its expectation value follows the area law
for a loop that encloses an area This is motivated from the potential between infinitely heavy test quarks which in the confinement phase is expected to grow linearly where is known as the string tension. Meanwhile, in the Higgs phase the expectation value follows the perimeter law
where is the perimeter length of the loop and is some constant. The area law of Wilson loops can be used to demonstrate confinement in certain low dimensional theories directly, such as for the Schwinger model whose confinement is driven by instantons.
ауданды қоршайтын цикл үшін. Бұл шексіз ауыр сынақ кварктары арасындағы потенциалдан туындайды, ол шектеу фазасында сызықтық түрде өседі деп күтіледі, мұнда ол «шығақ кернеуі» деп аталады. Ал Хиггс фазасында күтілімді мән периметрлік заңдылықты сақтайды:
making the Wilson loop useful for calculating the potential between quark pairs. This potential must necessarily be a monotonically increasing and concave function of the quark separation. Since spacelike Wilson loops are not fundamentally different from the temporal ones, the quark potential is really directly related to the pure Yang–Mills theory structure and is a phenomenon independent of the matter content. Elitzur's theorem ensures that local non gauge invariant operators cannot have a non zero expectation values. Instead one must use non local gauge invariant operators as order parameters for confinement. The Wilson loop is exactly such an order parameter in pure Yang–Mills theory, where in the confining phase its expectation value follows the area law
for a loop that encloses an area This is motivated from the potential between infinitely heavy test quarks which in the confinement phase is expected to grow linearly where is known as the string tension. Meanwhile, in the Higgs phase the expectation value follows the perimeter law
where is the perimeter length of the loop and is some constant. The area law of Wilson loops can be used to demonstrate confinement in certain low dimensional theories directly, such as for the Schwinger model whose confinement is driven by instantons.
,
making the Wilson loop useful for calculating the potential between quark pairs. This potential must necessarily be a monotonically increasing and concave function of the quark separation. Since spacelike Wilson loops are not fundamentally different from the temporal ones, the quark potential is really directly related to the pure Yang–Mills theory structure and is a phenomenon independent of the matter content. Elitzur's theorem ensures that local non gauge invariant operators cannot have a non zero expectation values. Instead one must use non local gauge invariant operators as order parameters for confinement. The Wilson loop is exactly such an order parameter in pure Yang–Mills theory, where in the confining phase its expectation value follows the area law
for a loop that encloses an area This is motivated from the potential between infinitely heavy test quarks which in the confinement phase is expected to grow linearly where is known as the string tension. Meanwhile, in the Higgs phase the expectation value follows the perimeter law
where is the perimeter length of the loop and is some constant. The area law of Wilson loops can be used to demonstrate confinement in certain low dimensional theories directly, such as for the Schwinger model whose confinement is driven by instantons.
мұнда – циклдің периметрі, ал – тұрақты шама. Уилсон циклдерінің аудандық заңы белгілі бір төмен өлшемді теорияларда шектеуді тікелей көрсету үшін қолданылуы мүмкін, мысалы, Швингер моделі үшін, оның шектеуі инстантондармен анықталады.
making the Wilson loop useful for calculating the potential between quark pairs. This potential must necessarily be a monotonically increasing and concave function of the quark separation. Since spacelike Wilson loops are not fundamentally different from the temporal ones, the quark potential is really directly related to the pure Yang–Mills theory structure and is a phenomenon independent of the matter content. Elitzur's theorem ensures that local non gauge invariant operators cannot have a non zero expectation values. Instead one must use non local gauge invariant operators as order parameters for confinement. The Wilson loop is exactly such an order parameter in pure Yang–Mills theory, where in the confining phase its expectation value follows the area law
for a loop that encloses an area This is motivated from the potential between infinitely heavy test quarks which in the confinement phase is expected to grow linearly where is known as the string tension. Meanwhile, in the Higgs phase the expectation value follows the perimeter law
where is the perimeter length of the loop and is some constant. The area law of Wilson loops can be used to demonstrate confinement in certain low dimensional theories directly, such as for the Schwinger model whose confinement is driven by instantons.
Жатырлық пішін
Желілі өріс теориясында Уилсон сызықтары мен циклдері желідегі өлшем өрістерін құрудағы негізгі рөл атқарады. Желідегі ең кішкентай Уилсон сызықтары, екі іргелес тор нүктелері арасындағы сызықтар, сілтемелер деп аталады, ал тор нүктесінен басталатын бір сілтеме белгілі бір бағытта жүреді. Төрт сілтеме бір-біріне тігіліп, төртбұрыш құрайды, оны плакетка деп атайды, ал олардың іздері ең кішкентай Уилсон циклін құрайды. Осы плакеткалар Вильсон әрекеті деп аталатын торлық өлшемдік әрекетті құру үшін қолданылады. Үлкен Уилсон циклдары белгілі бір цикл бойындағы сілтеме айнымалыларының көбейтіндісі ретінде өрнектеледі. Бұл Уилсон циклдары конфайнментті (тұтқындалуды) және кварктардың потенциалын сандық түрде зерттеу үшін қолданылады. Вильсон циклдарының сызықтық комбинациялары клейбол күйлерін тудыратын интерполяциялық операторлар ретінде де қолданылады. Клейбол массаларын осы интерполяторлар арасындағы корреляциялық функциядан алуға болады. Уилсон циклдарының торлық формуласы, сондай-ақ, кварк циклдері ескерілмейтін сөндірілген жуықтаманы ескере отырып, күшті байланыс фазасында конфайнменттің аналитикалық демонстрациясына мүмкіндік береді. Бұл Уилсон әрекетін плакеткалардың іздерінің қуат қатары ретінде кеңейту арқылы жасалады, онда өлшеу теориясындағы Уилсон циклінің күтілетін мәніндегі бірінші нөлдік емес мүше, кері байланыс тұрақтысы және тор аралығы болатын пішіндегі аудан заңын тудырады. Бұл аргумент абельдік және абельдік емес жағдайлар үшін де жарамды болғанымен, компактты электродинамика тек күшті байланыста ғана конфайнментті көрсетеді, Куломб фазасына фазалық өтумен, бұл теорияны әлсіз байланыста конфайнментсіз қалдырады. Мұндай фазалық өту нөлдік температурадағы өлшеу теориялары үшін болмайды деп есептеледі, олар байланыс тұрақтысының барлық мәндерінде конфайнментті көрсетеді.
These Wilson loops are used to study confinement and quark potentials numerically. Linear combinations of Wilson loops are also used as interpolating operators that give rise to glueball states. The glueball masses can then be extracted from the correlation function between these interpolators. The lattice formulation of the Wilson loops also allows for an analytic demonstration of confinement in the strongly coupled phase, assuming the quenched approximation where quark loops are neglected. This is done by expanding out the Wilson action as a power series of traces of plaquettes, where the first non vanishing term in the expectation value of the Wilson loop in an gauge theory gives rise to an area law with a string tension of the form
where is the inverse coupling constant and is the lattice spacing. While this argument holds for both the abelian and non abelian case, compact electrodynamics only exhibits confinement at strong coupling, with there being a phase transition to the Coulomb phase at , leaving the theory deconfined at weak coupling. Such a phase transition is not believed to exist for gauge theories at zero temperature, instead they exhibit confinement at all values of the coupling constant.
Қайта қалыпқа келтіру
Уилсон циклдері өлшегіш өрістердің операторлары болғандықтан, негізгі Янг–Миллз теориясы өрістері мен байланыстарының реттелуі мен қайта нормалауы Уилсон циклдеріне қосымша қайта нормалау түзетулерін қажет етуіне кедергі келтірмейді. Қайта нормаланған Янг–Миллз теориясында Уилсон циклдерінің қайта нормалау әдісі қарастырылып отырған циклдің геометриясына байланысты. Негізгі ерекшеліктері: тегіс, қиылыспайтын қисық: Бұл тек контурға пропорционалды сызықтық дивергенцияларға ие болуы мүмкін, оларды мультипликативтік қайта нормалау арқылы жоюға болады. Кесу нүктелері бар қиылыспайтын қисық: Әрбір кесу нүктесі кесу бұрышына тәуелді қосымша жергілікті мультипликативтік қайта нормалау коэффициентін тудырады. Өзімен-өзі қиылысатын циклдер: Бұл толық циклмен және кіші циклдермен байланысты Уилсон циклдері арасында операторлардың араласуына алып келеді. Жарық жылдамдығымен жуық сегменттер: Олар қосымша логарифмдік дивергенцияларды тудырады.
Smooth non intersecting curve: This can only have linear divergences proportional to the contour which can be removed through multiplicative renormalization. Non intersecting curve with cusps: Each cusp results in an additional local multiplicative renormalization factor that depends on the cusp angle Self intersections: This leads to operator mixing between the Wilson loops associated with the full loop and the subloops. Lightlike segments: These give rise to additional logarithmic divergences.
Шашырау амплитудасы
Вильсон циклдары шашырату амплитудалары теориясында маңызды рөл атқарады, онда олар мен шашырату амплитудаларының ерекше түрлері арасындағы дуалдықтар жиынтығы табылды. Бұл алғаш рет күшті байланыста AdS/CFT сәйкестігі арқылы ұсынылды. Мысалы, суперсимметриялық Янг-Миллс теориясында максималды спираль бұзу амплитудалары ағаш деңгейі компонентіне және цикл деңгейіндегі түзетуге жіктеледі. Бұл цикл деңгейіндегі түзету бөлшектердің спиральдығына тәуелді емес, бірақ ол үлкен шекте белгілі бір көпбұрышты Вильсон циклдарымен дуалды екені анықталды, сондай-ақ шекті мүшелерге дейін. Бұл дуалдық бастапқыда тек максималды спираль бұзу жағдайында ұсынылса да, Вильсон циклының тиісті суперсимметриялық обобщениелерін анықтау арқылы оны барлық спиральдық конфигурацияларға кеңейтуге болатын аргументтер бар.
Сызық теориясының тығыздықтары
Ықшамдалған теорияларда нөлдік режимдегі өлшегіш өрістің күйлері, жергілікті жағынан таза өлшегіш конфигурациялары бола тұра, жаһандық тұрғыдан вакуумнан өзгеше, ықшамдалған бағыттағы жабық Вильсон сызықтары арқылы параметрленеді. Бұлардың ықшамдалған ашық жол теориясында болуы T-дуализм бойынша, Вильсон сызықтарымен арақашықтығы анықталатын, бір-бірімен сәйкес келмейтін D-брандардан тұратын теорияға эквивалентті. Вильсон сызықтары орбифолдты ықшамдауда да маңызды рөл атқарады, олардың болуы өлшегіш симметриясының бұзылуын жақсырақ бақылауға мүмкіндік береді, соңғы бұзылмаған өлшегіш топты анықтауға көмектеседі және ықшамдаудан кейін қалған материя мультиплеттерінің санын реттеу механизмін ұсынады. Осы қасиеттері супержол теорияларын ықшамдауда Вильсон сызықтарын маңызды етеді.
Топологиялық өріс теориясы
Топологиялық өріс теориясында Уилсон циклдерінің күтілетін мәні циклдің тегіс деформацияларында өзгermейді, себебі өріс теориясы метрикаға тәуелді емес. Осы себепті Уилсон циклдері осы теориялардағы маңызды өлшемдер болып табылады және кеңістіктің жаһандық қасиеттерін есептеу үшін қолданылады. Олардың өлшемдері түйін теориясымен тығыз байланысты, ал циклдердің көбейтіндісінің күтілетін мәні кеңістіктің құрылымына және циклдердің қалай тоғысқандығына ғана байланысты. Бұл Эдвард Виттен жасаған танымал байланысқа әкелді, ол Черн-Симонс теориясындағы Уилсон циклдерін пайдаланып, олардың бөлу функциясын түйін теориясының Джонс полиномдарымен байланыстырды.