Введение

Оператор петли калибровочного поля

В квантовой теории поля циклы Вильсона — это калибровочно-инвариантные операторы, возникающие в результате параллельного переноса калибровочных переменных вдоль замкнутых петель. Они кодируют всю калибровочную информацию теории, позволяя строить петлевые представления, которые полностью описывают калибровочные теории в терминах этих петель. В чистой калибровочной теории они играют роль операторов порядка для конфайнмента, удовлетворяя так называемому закону площади. Впервые сформулированные Кеннетом Г. Уилсоном в 1974 году, они использовались для построения связей и плакеток, которые являются фундаментальными параметрами в теории решетчатой калибровки. Циклы Вильсона относятся к более широкому классу петлевых операторов, другие известные примеры которого — петли 't Hooft, являющиеся магнитными дуалами циклов Вильсона, и петли Полякова, представляющие собой тепловую версию циклов Вильсона.

Операторы гильбертовой пространства

Альтернативный взгляд на петли Вильсона заключается в рассмотрении их как операторов, действующих на гильбертовом пространстве состояний с метрикой Минковского.

Оператор ордеров

Поскольку временные линии Уилсона соответствуют конфигурации, созданной бесконечно тяжелыми стационарными кварками, петля Уилсона, связанная с прямоугольной петлей с двумя временными компонентами длины и двумя пространственными компонентами длины , может быть интерпретирована как пара кварк-антикварк при фиксированном расстоянии. При больших временах вакуумное среднее петли Уилсона выделяет состояние с минимальной энергией, которое является потенциалом между кварками. Возбужденные состояния с энергией экспоненциально подавляются со временем, и поэтому среднее значение ведет себя как

, что делает петлю Уилсона полезной для вычисления потенциала между парами кварков. Этот потенциал должен быть монотонно возрастающей и вогнутой функцией расстояния между кварками. Поскольку пространственные петли Уилсона не принципиально отличаются от временных, кварковый потенциал напрямую связан со структурой чистой теории Янга-Миллса и является феноменом, независимым от содержания материи. Теорема Элицура гарантирует, что локальные неинвариантные операторы не могут иметь ненулевое среднее значение. Вместо этого необходимо использовать нелокальные калибровочно-инвариантные операторы в качестве параметров порядка для конфайнмента. Петля Уилсона является именно таким параметром порядка в чистой теории Янга-Миллса, где в конфайнментной фазе ее среднее значение следует закону площади:

для петли, охватывающей площадь . Это обусловлено потенциалом между бесконечно тяжелыми пробными кварками, который в конфайнментной фазе, как ожидается, будет расти линейно: , где известно как напряжение струны. Между тем, в фазе Хиггса среднее значение следует закону периметра:

, где – длина периметра петли, а – некоторая константа. Закон площади для петель Уилсона может быть использован для непосредственной демонстрации конфайнмента в некоторых низкоразмерных теориях, например, в модели Швингера, конфайнмент в которой обусловлен инстантонами.

Формулировка решетки

В теории решетчатого поля линии и петли Вильсона играют фундаментальную роль в формулировании калибровочных полей на решетке. Самые маленькие линии Вильсона на решетке, расположенные между двумя соседними точками решетки, известны как связи (линки), причем одна связь начинается с точки решетки и идет в направлении, обозначенном . Четыре связи, образующие один квадрат, известны как плакеты, а их след формирует наименьшую петлю Вильсона. Именно эти плакеты используются для построения решетчатого действия, известного как действие Вильсона. Более крупные петли Вильсона выражаются как произведения переменных связей вдоль некоторой петли, обозначаемой как .

Эти петли Вильсона используются для численного изучения конфайнмента и кварковых потенциалов. Линейные комбинации петель Вильсона также используются в качестве интерполирующих операторов, приводящих к состояниям клейболов (glueball). Массы клейболов затем могут быть извлечены из корреляционной функции между этими интерполяторами. Решетчатая формулировка петель Вильсона также позволяет провести аналитическое доказательство конфайнмента в сильносвязанной фазе, при условии использования приближения гашения, где кварковые петли пренебрежимо малы. Это достигается путем разложения действия Вильсона в ряд по степеням следов плакеток, где первый ненулевой член в среднем значении петли Вильсона в -калибровочной теории приводит к закону площади с напряжением струны вида ,

где – обратная константа связи, а – шаг решетки. Хотя этот аргумент применим как к абелевым, так и к неабелевым случаям, компактная электродинамика проявляет конфайнмент только при сильном взаимодействии, при этом происходит фазовый переход к кулоновской фазе при , оставляя теорию деконфайнментной при слабом взаимодействии. Считается, что такого фазового перехода не существует для -калибровочных теорий при нулевой температуре, вместо этого они демонстрируют конфайнмент при всех значениях константы связи.

Ренормализация

Поскольку петли Вильсона являются операторами калибровочных полей, регуляризация и перенормировка полей и констант связи базовой теории Янга–Миллса не исключает необходимости внесения дополнительных поправок перенормировки в петли Вильсона. В перенормированной теории Янга–Миллса конкретный способ перенормировки петель Вильсона зависит от геометрии рассматриваемой петли. Основные характеристики таковы:
Гладкая непересекающаяся кривая: она может иметь только линейные расходимости, пропорциональные длине контура, которые можно устранить посредством мультипликативной перенормировки. Непересекающаяся кривая с куспидами: каждый куспид приводит к дополнительному локальному мультипликативному фактору перенормировки, зависящему от угла при куспиде. Самопересечения: это приводит к смешению операторов между петлями Вильсона, соответствующими полной петле, и подпетлям. Светоподобные отрезки: они порождают дополнительные логарифмические расходимости.

Амплитуды рассеивания

Вильсонские петли играют роль в теории амплитуд рассеяния, где обнаружен ряд двойственностей между ними и особыми типами амплитуд рассеяния. Впервые эти двойственности были предложены в области сильного взаимодействия с использованием соответствия AdS/CFT. Например, в сверхсимметричной теории Янга-Миллса амплитуды с максимальным нарушением спиральности факторизуются на компонент на дереве и поправку на уровне петли. Эта поправка на уровне петли не зависит от спиральности частиц, но было показано, что она двойственна некоторым многоугольным вильсоновым петлям в пределе больших значений, с точностью до конечных членов. Хотя эта двойственность изначально была предложена только для случая максимального нарушения спиральности, существуют аргументы в пользу её обобщения на все конфигурации спиральности путем определения соответствующих сверхсимметричных обобщений вильсоновой петли.

Компактификации теории струн

В компактифицированных теориях состояния калибровочного поля нулевого режима, которые локально представляют собой чистые калибровочные конфигурации, но глобально не эквивалентны вакууму, параметризуются замкнутыми линиями Уилсона в компактном направлении. Присутствие этих линий в компактифицированной открытой теории струн эквивалентно, в соответствии с T-дуальностью, теории с некоинцидентными D-бранами, расстояния между которыми определяются линиями Уилсона. Линии Уилсона также играют роль в орбитальных компактификациях, где их присутствие обеспечивает более точный контроль над спонтанным нарушением калибровочной симметрии, позволяя лучше определить окончательную неразрушенную группу калибровок, а также предоставляя механизм для контроля числа оставшихся после компактификации мультиплетов материи. Эти свойства делают линии Уилсона важными при компактификации теорий суперструн.

Топологическая теория поля

В топологической теории поля ожидаемое значение вильсоновых петель не изменяется при гладких деформациях петли, поскольку теория поля не зависит от метрики. По этой причине вильсоновы петли являются ключевыми наблюдаемыми в этих теориях и используются для вычисления глобальных свойств многообразия. В многомерных пространствах они тесно связаны с теорией узлов, при этом ожидаемое значение произведения петель зависит только от структуры многообразия и от способа переплетения петель. Это привело к знаменитой связи, установленной Эдвардом Виттеном, который использовал вильсоновы петли в теории Черна — Саймонса для установления связи между их функцией распределения и полиномами Джонса теории узлов.