Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
1-ғасырдағы неопифагорлық философ, математик және музыка теориясының маманы
1st century AD Neopythagorean philosopher, mathematician, and music theorist
Никомах Герасский (; шамамен 60 – шамамен 120 ж.б.) – Сирияның римдік провинциясындағы Гераса қаласынан (қазіргі Иордания, Иордания) шыққан ежелгі грек философы. Көптеген пифагоршылар сияқты Никомах та сандардың мистикалық қасиеттері туралы жазған, ең белгілі еңбектері – «Арифметикаға кіріспе» және «Гармония нұсқауы», олар рим дәуірінде ежелгі грек математикасы және ежелгі грек музыкасы туралы маңызды мәліметтер көзі болды. Никомахтың арифметикаға арналған еңбегі кейінгі антик кезеңде неоплатондық білім беруде стандартты оқулыққа айналды, ал Ямблих және Иоанн Филопон сияқты философтар оған түсіндірмелер жазды. Боэцийдің Никомахтың арифметика және музыкаға арналған еңбектерінің латынша аудармасы орта ғасырлық білім берудегі стандартты оқулықтардың бірі болды.
Nicomachus of Gerasa (; c. 60 – c. 120 AD) was an Ancient Greek Neopythagorean philosopher from Gerasa, in the Roman province of Syria (now Jerash, Jordan). Like many Pythagoreans, Nicomachus wrote about the mystical properties of numbers, best known for his works Introduction to Arithmetic and Manual of Harmonics, which are an important resource on Ancient Greek mathematics and Ancient Greek music in the Roman period. Nicomachus' work on arithmetic became a standard text for Neoplatonic education in Late antiquity, with philosophers such as Iamblichus and John Philoponus writing commentaries on it. A Latin paraphrase by Boethius of Nicomachus's works on arithmetic and music became standard textbooks in medieval education.
Өмір
Никомахтың өмірі туралы көп мәлімет белгілі емес, бірақ ол Гераса қаласынан шыққан пифагоршы болғаны ғана айтылады. Оның «Гармония нұсқаулығы» ақсүйек әйелге арналған, оның сұрауымен Никомах бұл кітапты жазған, бұл оның белгілі бір дәрежедегі құрметті ғалым болғанын көрсетеді. Ол одан да кеңейтілген еңбек жазу ниеті мен жиі сапарлардың уақыт жетіспеуіне себеп болатынын айтады. Оның шамамен өмір сүрген мерзімі (б.з. 100 жылдары) тек оның еңбегінде қай авторларға сілтеме жасағаны және кімдер кейіннен оған сілтеме жасады деген деректерге сүйене отырып бағаланады. Ол «Гармония нұсқаулығында» Трасиллды еске алады, ал оның «Арифметикаға кіріспесі» 2-ші ғасырдың ортасында Апулеймен латын тіліне аударылған. Алайда, ол Смирналық Теоның арифметикалық еңбегіне немесе Птолемейдің музыкалық еңбегіне ешқандай сілтеме жасамайды, бұл олардың кейінгі замандастары болғанын немесе одан кейін өмір сүргенін көрсетеді.
Little is known about the life of Nicomachus except that he was a Pythagorean who came from Gerasa. His Manual of Harmonics was addressed to a lady of noble birth, at whose request Nicomachus wrote the book, which suggests that he was a respected scholar of some status. He mentions his intent to write a more advanced work, and how the journeys he frequently undertakes leave him short of time. The approximate dates in which he lived (c. 100 AD) can only be estimated based on which other authors he refers to in his work, as well as which later mathematicians who refer to him. He mentions Thrasyllus in his Manual of Harmonics, and his Introduction to Arithmetic was apparently translated into Latin in the mid 2nd century by Apuleius,while he makes no mention at all of either Theon of Smyrna's work on arithmetic or Ptolemy's work on music, implying that they were either later contemporaries or lived in the time after he did.
Философия
Тарихшылар Никомахты сандарды математикалық емес, мистикалық қасиеттерге ие деп қарауға бейімділігіне байланысты неопифагоршыл деп санайды. Оның еңбектерінде Филолай, Архитас және Андрокид сияқты авторлардың пифагорлық әдебиеттері кеңінен келтірілген. Ол сандар туралы, әсіресе жай сандар мен толық сандардың маңыздылығы туралы көп жазды және арифметиканың музыка, геометрия және астрономия сияқты басқа математикалық ғылымдардан бұрынғысы екенін, олардың себебі болып табылатынын айтады. Никомах материалдық емес, толыққанды түсінік ретіндегі "құдайлық сан" мен материалдық заттарды өлшейтін "ғылыми" сан арасында ажырату жасайды. Никомах грек-римдік көбейту кестелерінің ең ерте мысалдарының бірін жасады; ең көне грек көбейту кестесі біздің заманымыздың I ғасырына жататын балауыз тақташада табылды (қазір Британ мұражайында сақталуда).
Historians consider Nicomachus a Neopythagorean based on his tendency to view numbers as having mystical properties rather than their mathematical properties, citing an extensive amount of Pythagorean literature in his work, including works by Philolaus, Archytas, and Androcydes. He writes extensively on numbers, especially on the significance of prime numbers and perfect numbers and argues that arithmetic is ontologically prior to the other mathematical sciences (music, geometry, and astronomy), and is their cause. Nicomachus distinguishes between the wholly conceptual immaterial number, which he regards as the 'divine number', and the numbers which measure material things, the 'scientific' number. Nicomachus provided one of the earliest Greco Roman multiplication tables; the oldest extant Greek multiplication table is found on a wax tablet dated to the 1st century AD (now found in the British Museum).
Метафизика
Никомах Пифагордың шәкірті саналғанымен, Джон М. Диллонның пікірінше, Никомахтың философиясы "қазіргі заманғы Платонизм спектріне ыңғайлы түрде сыяды". Арифметика туралы еңбегінде Никомах Платонның "Тимей" шығармасынан Формалардың түсінікті әлемі мен сезімтал әлемді ажырату үшін цитата келтіреді, бірақ ол пифагорлық ерекшеліктерді де жасайды, мысалы, тақ және жұп сандар арасындағы айырмашылықты. Гадтық Модерат сияқты көптеген неопифагорлықтардан өзгеше, Никомах материялық әлемге әсер ететін Демиург пен жоғарғы бірінші принцип қызметін атқаратын Бірлік арасында ешқандай ажырату жасамайды. Никомах үшін Құдай, жоғарғы бірінші принцип ретінде, демиург және Интеллект (nous) болып табылады, сонымен қатар Никомах оны монад деп атайды, барлық нақты нәрселердің туындаған әлеуеті.
Although Nicomachus is considered a Pythagorean, John M. Dillon says that Nicomachus's philosophy "fits comfortably within the spectrum of contemporary Platonism." In his work on arithmetic, Nicomachus quotes from Plato's Timaeus to make a distinction between the intelligible world of Forms and the sensible world, however, he also makes more Pythagorean distinctions, such as between Odd and even numbers. Unlike many other Neopythagoreans, such as Moderatus of Gades, Nicomachus makes no attempt to distinguish between the Demiurge, who acts on the material world, and The One which serves as the supreme first principle. For Nicomachus, God as the supreme first principle is both the demiurge and the Intellect (nous), which Nicomachus also equates to being the monad, the potentiality from which all actualities are created.
Шығармалары
Никомахтың екі еңбегі, "Арифметикаға кіріспе" және "Гармония нұсқауы" толық күйде сақталған, ал тағы екеуі, "Арифметика теологиясы" және "Пифагор өмірі" еңбектері кейінгі авторлардың фрагменттері, конспектілері және қорытындылары арқылы бізге жеткен. Фиотий екі кітаптан тұратын "Арифметика теологиясы" (Θεολογούμενα ἀριθμητικῆς) еңбегінде сандардың пифагорлық мистикалық қасиеттері туралы айтады. Осы атпен екі ғасырдан кейін Ямблихқа жатқызылатын, бірақ Никомахтың еңбегінен көшірілген немесе қайта жазылған материалдарды қамтитын еңбек те бар. Никомахтың "Пифагор өмірі" Порфирий мен Ямблихтың "Пифагор өмірі" еңбектерін жазудағы маңызды дереккөздердің бірі болды. Никомахтың өзі "Арифметикаға кіріспе" еңбегінде сілтеме жасаған "Геометрияға кіріспе" еңбегі сақталмаған. Оның жоғалған белгілі еңбектерінің ішінде Никомахтың өзі уәде еткен және Евтокий Архимедтің шар мен цилиндріне түсіндірме бергенде айтқан музыка туралы тағы бір үлкен еңбек бар.
Two of Nicomachus' works, the Introduction to Arithmetic and the Manual of Harmonics are extant in a complete form, and two others, a work on Theology of Arithmetic and a Life of Pythagoras survive in fragments, epitomes, and summaries by later authors. The Theology of Arithmetic (Θεολογούμενα ἀριθμητικῆς), on the Pythagorean mystical properties of numbers in two books is mentioned by Photius. There is an extant work sometimes attributed to Iamblichus under this title written two centuries later which contains a great deal of material thought to have been copied or paraphrased from Nicomachus' work. Nicomachus's Life of Pythagoras was one of the main sources used by Porphyry and Iamblichus, for their (extant) Lives of Pythagoras. An Introduction to Geometry, referred to by Nicomachus himself in the Introduction to Arithmetic, has not survived. Among his known lost work is another larger work on music, promised by Nicomachus himself, and apparently referred to by Eutocius in his comment on the sphere and cylinder of Archimedes.
Арифметикаға кіріспе
Арифметикаға кіріспе () – Никомахтың математика саласындағы қазірге дейін сақталған жалғыз еңбегі. Бұл еңбекте философиялық проза да, негізгі математикалық идеялар да кездеседі. Никомах Платонға жиі сілтеме жасайды және философияны математиканы жеткілікті меңгерген жағдайда ғана мүмкін екенін жазады. Никомах табиғи сандар мен негізгі математикалық идеялардың мәңгілік және өзгермейтін, абстрактілі бір әлемде болатынын сипаттайды. Еңбек екі кітаптан тұрады, біріншісі – жиырма үш, екіншісі – жиырма тоғыз тараудан. Никомахтың баяндамасы бірнеше ғасыр бұрынғы Евклидтің баяндамасына қарағанда әлдеқайда қатаң емес. Пікірлер әдетте бір мысалмен түсіндіріліп, көрсетіледі, бірақ логикалық қорытынды арқылы дәлелденбейді. Кейбір жағдайларда бұл нақты қателіктерге әкеледі. Мысалы, (a b) ∶ (b c) ∷ c ∶ a қатынасынан 1=ab=2bc деген қорытынды жасауға болады, себебі бұл a=6, b=5 және c=3 болғанда ғана дұрыс. Боэцийдің "De institutione arithmetica" еңбегінің көп бөлігі осы еңбектің латын тіліне аудармасы болып табылады.
Introduction to Arithmetic (, ) is the only extant work on mathematics by Nicomachus. The work contains both philosophical prose and basic mathematical ideas. Nicomachus refers to Plato quite often, and writes that philosophy can only be possible if one knows enough about mathematics. Nicomachus also describes how natural numbers and basic mathematical ideas are eternal and unchanging, and in an abstract realm. The work consists of two books, twenty three and twenty nine chapters, respectively. Nicomachus's presentation is much less rigorous than Euclid centuries earlier. Propositions are typically stated and illustrated with one example, but not proven through inference. In some instances this results in patently false assertions. For example, he states that from (a b) ∶ (b c) ∷ c ∶ a it can be concluded that 1=ab=2bc, only because this is true for a=6, b=5 and c=3. Boethius' De institutione arithmetica is in large part a Latin translation of this work.
Гармониканың нұсқаулығы
Manuale Harmonicum (Ἐγχειρίδιον ἁρμονικῆς, Encheiridion Harmonikes) – Аристоксен мен Евклидтің дәуірінен бері музыкалық теория бойынша жазылған ең алғашқы маңызды трактат. Бұл, пифагордың темірші шеберханасының сыртында дыбық биіктігі сандық пропорциялармен анықталады деген аңызының ең ерте сақталған жазбасы. Никомах сонымен қатар музыка мен ғаламның ретінің "көктер музыкасы" арқылы байланысы туралы ең тереңінен сипаттайды. Никомахтың музыканы түсінудегі құлақ пен дауыстың рөлі туралы талқылауы, әдетте бір-біріне қарсы деп есептелетін Аристоксен мен Пифагордың көзқарастарын біріктіреді. Теориялық мәселелерді талқылау барысында Никомах өз заманының музыкалық аспаптарын да сипаттап, құнды мәліметтер береді. "Нұсқаулықтан" басқа, музыкаға қатысты бастапқыда көбірек материалды қамтыған жұмыстың он бөлігі сақталған.
Manuale Harmonicum (Ἐγχειρίδιον ἁρμονικῆς, Encheiridion Harmonikes) is the first important music theory treatise since the time of Aristoxenus and Euclid. It provides the earliest surviving record of the legend of Pythagoras's epiphany outside of a smithy that pitch is determined by numeric ratios. Nicomachus also gives the first in depth account of the relationship between music and the ordering of the universe via the "music of the spheres." Nicomachus's discussion of the governance of the ear and voice in understanding music unites Aristoxenian and Pythagorean concerns, normally regarded as antitheses. In the midst of theoretical discussions, Nicomachus also describes the instruments of his time, also providing a valuable resource. In addition to the Manual, ten extracts survive from what appear to have originally been a more substantial work on music.
Ежелгі дәуір
Никомахтың "Арифметикаға кіріспе" еңбегі неоплатоникалық мектептердегі стандартты оқулық болды, ал оған Ямблих (3-ғасыр) және Иоанн Филопон (6-ғасыр) түсіндірмелер жазды. Боэцийдің "Арифметика" (лат. De Institutione Arithmetica) – "Арифметикаға кіріспе" кітабының латын тіліндегі парафразы және толық емес аудармасы. "Гармония туралы нұсқаулық" та Боэцийдің De institutione musica атты латын трактатының негізіне айналды.
The Introduction to Arithmetic of Nicomachus was a standard textbook in Neoplatonic schools, and commentaries on it were written by Iamblichus (3rd century) and John Philoponus (6th century). The Arithmetic (in Latin: De Institutione Arithmetica) of Boethius was a Latin paraphrase and a partial translation of the Introduction to Arithmetic. The Manual of Harmonics also became the basis of the Boethius' Latin treatise titled De institutione musica.
Ортағасырлық еуропалық философия
Боэцийдің арифметика және музыка саласындағы еңбектері либералды өнерлердің Quadrivium бөлігінің маңызды құрамы болды және орта ғасырларда кеңінен тарады.
The work of Boethius on arithmetic and music was a core part of the Quadrivium liberal arts and had a great diffusion during the Middle Ages.
Никомах теоремасы
Арифметикаға кіріспе кітабының 20-тарауының соңында Никомах, егер біреу тақ сандардың тізімін жазса, біріншісі – 1-дің кубі, келесі екеуінің қосындысы – 2-нің кубі, келесі үшеуінің қосындысы – 3-тің кубі және т.б. Ол бұдан әрі бармайды, бірақ осыдан алғашқы n кубтардың қосындысы алғашқы тақ сандардың қосындысына тең екені шығады, яғни 1-ден бастап 2n-1-ге дейінгі тақ сандар. Бұл сандардың орташасы n, және олардың саны 2n, сондықтан олардың қосындысы n². Көптеген ерте математиктер Никомах теоремасын зерттеді және дәлелдеді.
At the end of Chapter 20 of his Introduction to Arithmetic, Nicomachus points out that if one writes a list of the odd numbers, the first is the cube of 1, the sum of the next two is the cube of 2, the sum of the next three is the cube of 3, and so on. He does not go further than this, but from this it follows that the sum of the first n cubes equals the sum of the first odd numbers, that is, the odd numbers from 1 to The average of these numbers is obviously , and there are of them, so their sum is Many early mathematicians have studied and provided proofs of Nicomachus's theorem.
Гармониканың нұсқаулығы
Эндрю Баркер, редактор, грек музыкалық жазбалары, 2-том: Гармониялық және акустикалық теория (Кембридж: Кембридж университетінің баспасы, 1989), 245–69 беттер.
Andrew Barker, editor, Greek Musical Writings vol 2: Harmonic and Acoustic Theory (Cambridge: Cambridge University Press, 1989), pp. 245–69.