Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда гиперкэхлерлік көптік – үш интегралданған дерлік күрделі құрылымдармен жабдықталған Риман көптігі, олар Риман метрикасына қатысты Кэхлер болып табылады және кватерниондық қатынастарды қанағаттандырады. Бұл ерекше жағдайда, ол гиперкүрделі көптік болып табылады. Барлық гиперкэхлерлік көптіктер Риччи-жазық және осылайша Калаби-Яу көптіктер болып табылады. Гиперкэхлерлік көптіктерді 1979 жылы Эухенио Калаби анықтаған.
In differential geometry, a hyperkähler manifold is a Riemannian manifold endowed with three integrable almost complex structures that are Kähler with respect to the Riemannian metric and satisfy the quaternionic relations In particular, it is a hypercomplex manifold. All hyperkähler manifolds are Ricci flat and are thus Calabi–Yau manifolds. Hyperkähler manifolds were defined by Eugenio Calabi in 1979.
Ерте тарих
Марсель Бергердің 1955 жылғы Риманн голономиялық топтарды жіктеу туралы мақаласы алғаш рет Sp(n)·Sp(1) голономиясы бар симметриялық емес көпқырлылықтардың болуы мәселесін көтерді. 1960 жылдардың ортасында Эдмонд Бонан мен Крайнс атты ғалымдардың пионерлік жұмысында қызықты нәтижелер дәлелденді, олар мұндай кез келген көпқырлылықтың 4 параллель форманы қабылдайтынын тәуелсіз түрде көрсетті. Көптен күткен күшті Лефшец теоремасының аналогы 1982 жылы жарияланды:
Marcel Berger's 1955 paper on the classification of Riemannian holonomy groups first raised the issue of the existence of non symmetric manifolds with holonomy Sp(n)·Sp(1). Interesting results were proved in the mid 1960s in pioneering work by Edmond Bonan and Kraines who have independently proven that any such manifold admits a parallel 4 form The long awaited analog of strong Lefschetz theorem was published in 1982 :
Голономия тұрғысынан баламалы анықтама
Тиісінше, гиперкэхлер көптігі – бұл өлшемді Риман көптігі, оның голономиялық тобы компактты симплектикалық топ Sp(n)-ге кіреді. Кунихико Кодайраның күрделі беттердің жіктелуіне сәйкес, кез келген компактты гиперкэхлер 4-көптігі K3 беті немесе компактты торус болып табылады (4 (нақты) өлшемдегі кез келген Калаби-Яу көптігі гиперкэхлер көптігі болып табылады, себебі арнайы унитарлық топ симплектикалық топқа изоморфты). Бовильдің тапқанынша, компактты гиперкэхлерлік 4-тараптағы k нүктенің Гильберт схемасы 4k өлшемді гиперкэхлерлік тарап болып табылады. Бұл екі түрлі мысалдарға әкеледі: K3 бетіндегі нүктенің Гильберт схемасы және жалпыланған Куммер түрлері. "H"/G-ге асимптотикалық жақындасатын, мұндағы "H" кватерниондарды білдіреді және G – Sp(1)-дің шекті кіші тобы, асимптотикалық жергілікті Эвклидтік немесе ALE кеңістіктері деп аталады. Бұл кеңістіктер және әртүрлі асимптотикалық мінез-құлықтарды қамтитын түрлі жалпыламалар физикада гравитациялық инстантондар деп зерттеледі. Гиббонс-Хокинг ансацы шеңберлік әрекетке қатысты инвариантты мысалдар береді. Көптеген компактты емес гиперкэхлер көптіктерінің мысалдары белгілі бір өлшеу теориясы теңдеулерінің шешімдерінің модульдік кеңістіктері ретінде пайда болады, олар анти-өзіндік дуалдық Янг-Милл теңдеулерінің өлшемдік қысқартуынан туындайды: инстантон модульдік кеңістіктері, монополь модульдік кеңістіктері, Найджел Хичиннің Риман беттеріндегі өзіндік дуалдық теңдеулерінің шешімдерінің кеңістіктері, Нахм теңдеулерінің шешімдерінің кеңістігі. Тағы бір мысалдар класы – Накаджима кохиверінің түрлері, олар бейнелеу теориясында маңызды рөл атқарады.
Equivalently, a hyperkähler manifold is a Riemannian manifold of dimension whose holonomy group is contained in the compact symplectic group Sp(n). Due to Kunihiko Kodaira's classification of complex surfaces, we know that any compact hyperkähler 4 manifold is either a K3 surface or a compact torus (Every Calabi–Yau manifold in 4 (real) dimensions is a hyperkähler manifold, because [[Special unitary group is isomorphic to [[Symplectic group.) As was discovered by Beauville, the Hilbert scheme of k points on a compact hyperkähler 4 manifold is a hyperkähler manifold of dimension 4k. This gives rise to two series of compact examples: Hilbert schemes of points on a K3 surface and generalized Kummer varieties. Non compact, complete, hyperkähler 4 manifolds which are asymptotic to 'H'/G, where 'H' denotes the quaternions and G is a finite subgroup of Sp(1), are known as asymptotically locally Euclidean, or ALE, spaces. These spaces, and various generalizations involving different asymptotic behaviors, are studied in physics under the name gravitational instantons. The Gibbons–Hawking ansatz gives examples invariant under a circle action. Many examples of noncompact hyperkähler manifolds arise as moduli spaces of solutions to certain gauge theory equations which arise from the dimensional reduction of the anti self dual Yang–Mills equations: instanton moduli spaces, monopole moduli spaces, spaces of solutions to Nigel Hitchin's self duality equations on Riemann surfaces, space of solutions to Nahm equations. Another class of examples are the Nakajima quiver varieties, which are of great importance in representation theory.
Кохомология
кез келген компактты гиперкэхлерлік көпқырлының когомологиясы Ходж құрылымын сақтай отырып, тордың когомологиясына енгізіледін көрсетеді.
show that the cohomology of any compact hyperkähler manifold embeds into the cohomology of a torus, in a way that preserves the Hodge structure.