Введение
В дифференциальной геометрии гиперкехлерово многообразие — это риманово многообразие, наделённое тремя интегрируемыми почти комплексными структурами, которые являются келеровыми относительно римановой метрики и удовлетворяют кватернионным соотношениям. В частности, это гиперкомплексное многообразие. Все гиперкехлеровы многообразия плоские по Риччи и, следовательно, являются многообразиями Калаби — Яу. Гиперкехлеровы многообразия были определены Эухенио Калаби в 1979 году.
Ранняя история
В работе Марселя Бергера 1955 года о классификации римановых голономических групп впервые был поставлен вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp(n)·Sp(1). Интересные результаты были получены в середине 1960-х годов в новаторских работах Эдмонда Бонана и Крайнеса, которые независимо друг от друга доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму. Долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца был опубликован в 1982 году:
Эквивалентное определение с точки зрения голономии
Эквивалентно, гиперкэлерово многообразие – это риманово многообразие размерности, чья голономическая группа содержится в компактной симплектической группе Sp(n). Благодаря классификации комплексных поверхностей Кунихико Кодайры, мы знаем, что любое компактное гиперкэлерово 4-многообразие является либо поверхностью K3, либо компактным тором (каждое многообразие Калаби–Яу в 4 (реальных) измерениях является гиперкэлеровым многообразием, поскольку специальная унитарная группа изоморфна симплектической группе). Как было обнаружено Бовилем, схема Гильберта из k точек на компактном гиперкэлеровом 4-многообразии является гиперкэлеровым многообразием размерности 4k. Это порождает два ряда компактных примеров: схемы Гильберта точек на поверхности K3 и обобщенные многообразия Куммера. Некомпактные, полные гиперкэлеровы 4-многообразия, асимптотически приближающиеся к H/G, где H обозначает кватернионы, а G – конечная подгруппа Sp(1), известны как асимптотически локально евклидовы, или ALE пространства. Эти пространства, а также различные обобщения, включающие различное асимптотическое поведение, изучаются в физике под названием гравитационных инстантонов. Анзац Гиббонса–Хокинга дает примеры, инвариантные относительно кругового действия. Многие примеры некомпактных гиперкэлеровых многообразий возникают как пространства модулей решений определенных уравнений теории калибровки, возникающих при понижении размерности антисамодвойных уравнений Янга–Миллса: пространства модулей инстантонов, пространства модулей монополей, пространства решений уравнений самодвойственности Найджела Хитчина на римановых поверхностях, пространство решений уравнений Нама. Другим классом примеров являются многообразия Накадзима, которые имеют большое значение в теории представлений.
Кохомология
показывают, что кохомологии любого компактного гиперкэлерова многообразия можно вложить в кохомологии тора, сохраняя структуру Ходжа.