Музыкалық жүйедегі дыбықтар қатынасын модельдейтін дыбық класс кеңістігі, дыбық кеңістігі және аккорд кеңістігі туралы мақала. MIDI стандарттары да қарастырылған.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бұл мақалада сипатталған кеңістік – музыкалық жүйедегі ноталардың кластары арасындағы қатынастарды модельдейтін ноталар кластары кеңістігі. Бұл модельдер көбінесе графтар, топтар немесе торлар түрінде болады. Ноталар кластары кеңістігімен тығыз байланысты нота кеңістігі, ол ноталардың кластарынан гөрі нақты ноталарды көрсетеді, сондай-ақ аккордтар арасындағы қатынастарды модельдейтін аккорд кеңістігі.
The spaces described in this article are pitch class spaces which model the relationships between pitch classes in some musical system. These models are often graphs, groups or lattices. Closely related to pitch class space is pitch space, which represents pitches rather than pitch classes, and chordal space, which models relationships between chords.
Дөңгелек пішін кластық кеңістік
Ең қарапайым питч кеңістігі моделі – нақты сызық. Мысалы, MIDI Tuning Standard-та негізгі жиіліктер f, келесі теңдеуге сәйкес p сандарына шамаланған:
The simplest pitch space model is the real line. In the MIDI Tuning Standard, for example, fundamental frequencies f are mapped to numbers p according to the equation
Бұл октавалардың мөлшері 12-ге, жартытонның (пианино пернетақтасындағы жанындағы тон арасындағы қашықтық) мөлшері 1-ге тең болатын сызықтық кеңістік құрайды, ал A440 саны 69-ға (демек, ортаңғы C саны 60-қа) тағайындалады. Дөңгелек питч кластық кеңістігін жасау үшін біз p және p + 12 питчтерін сәйкестендіреміз немесе "бірге біріктіреміз". Соның нәтижесінде үздіксіз, дөңгелек пішіндегі сынып кеңістігі пайда болады, математиктер оны Z/12Z деп атайды.
This creates a linear space in which octaves have size 12, semitones (the distance between adjacent keys on the piano keyboard) have size 1, and A440 is assigned the number 69 (meaning middle C is assigned the number 60). To create circular pitch class space we identify or "glue together" pitches p and p + 12. The result is a continuous, circular pitch class space that mathematicians call Z/12Z.
Генераторлардың шеңберлері
Биіктік кластары кеңістігінің басқа да модельдері, мысалы, бесіншілер шеңбері, толық бесінші арқылы байланысқан биіктік кластары арасындағы ерекше қатынасты сипаттауға тырысады. Тең темпераментте, он екі тізбекті бесіншілік нақты жеті октаваға тең келеді, сондықтан биіктік кластары тұрғысынан өзіне-өзі жабылып, шеңбер құрайды. Біз бесіншінің биіктік класы он екі биіктік класы кеңістігін тудырады немесе оның генераторы болып табылады дейміз. Октаваны n тең бөлікке бөліп, m және n өзара жай болатын, яғни ортақ бөлгіші жоқ m < n бүтін санын таңдасақ, ұқсас шеңберлер аламыз, олардың барлығы шекті циклдік топтардың құрылымын иеленеді. Екі биіктік класы генератормен ерекшеленсе, олардың арасына сызық жүргізу арқылы генераторлар шеңберін циклдық граф ретінде, дұрыс көпбұрыш пішінде бейнелейміз.
Other models of pitch class space, such as the circle of fifths, attempt to describe the special relationship between pitch classes related by perfect fifth. In equal temperament, twelve successive fifths equate to seven octaves exactly, and hence in terms of pitch classes closes back to itself, forming a circle. We say that the pitch class of the fifth generates – or is a generator of – the space of twelve pitch classes. By dividing the octave into n equal parts, and choosing an integer m<n such that m and n are relatively prime – that is, have no common divisor – we obtain similar circles, which all have the structure of finite cyclic groups. By drawing a line between two pitch classes when they differ by a generator, we can depict the circle of generators as a cycle graph, in the shape of a regular polygon.
Генераторлар тізбегі
Сызықтық темперамент – октава мен тағы бір интервал арқылы жасалатын екінші дәрежелі тұрақты темперамент, ол әдетте "генератор" деп аталады. Ең көп танымал мысалы – метон темпераменты, оның генераторы – түзетілген метон квінтесі. Кез келген сызықтық темпераменттің дыбыс қатарларын генераторлардың шексіз тізбегі бойымен орналасқан ретінде көрсетуге болады; мысалы, метон үшін бұл F C G D A және т.б. Бұл сызықтық модуляциялық кеңістікті анықтайды.
A linear temperament is a regular temperament of rank two generated by the octave and another interval, commonly called "the" generator. The most familiar example by far is meantone temperament, whose generator is a flattened, meantone fifth. The pitch classes of any linear temperament can be represented as lying along an infinite chain of generators; in meantone for instance this would be F C G D A
etc. This defines a linear modulatory space.
Модуляциялық цилиндрлік кеңістіктер
Екінші дәрежедегі, сызықтық емес темпераменттің бір генераторы бар, ол октаваның үлесі, және кезең деп аталады. Мұндай темпераменттің модуляциялық кеңістігін шеңбердегі генераторлардың n тізбегі ретінде бейнелеуге болады, бұл цилиндр құрайды. Мұнда n – октавадағы кезеңдер саны. Мысалы, диасхизмалық темперамент – диасхизманы, яғни 2048/2025-ті басаңдататын темперамент. Оны жарты октава арақашықтықтағы сәл (3,25-3,55 центке дейін) өткір келетін бесіншілердің екі тізбегі ретінде көрсетуге болады, оларды шеңберге перпендикуляр және оның қарама-қарсы жағында орналасқан екі тізбек ретінде бейнелеуге болады. Осындай модуляциялық кеңістіктің цилиндр тәрізді көрінісі кезең октаваның кішірек үлесі болғанда анық байқалады; мысалы, энеалимальдық темперамент шеңбердегі кіші үштіктердің тоғыз тізбегінен тұратын модуляциялық кеңістікке ие (онда үштіктер 0,02-0,03 центке дейін өткір болуы мүмкін).
A temperament of rank two which is not linear has one generator which is a fraction of an octave, called the period. We may represent the modulatory space of such a temperament as n chains of generators in a circle, forming a cylinder. Here n is the number of periods in an octave. For example, diaschismic temperament is the temperament which tempers out the diaschisma, or 2048/2025. It can be represented as two chains of slightly (3.25 to 3.55 cents) sharp fifths a half octave apart, which can be depicted as two chains perpendicular to a circle and at opposite side of it. The cylindrical appearance of this sort of modulatory space becomes more apparent when the period is a smaller fraction of an octave; for example, ennealimmal temperament has a modulatory space consisting of nine chains of minor thirds in a circle (where the thirds may be only 0.02 to 0.03 cents sharp.)
Жеті шекті модуляциялық кеңістік
Осыған ұқсас, біз жеті лимитті таза интонация үшін модуляциялық кеңістікті 3a 5b 7c-ні сәйкес келетін кубтық тор арқылы анықтай аламыз. Бірақ, оны алтыбұрышты тордың үш өлшемді аналогы ретінде көрсеткенде, әлдеқайда түсінікті картина пайда болады. Бұл A3 деп аталатын тор, ол бет-орталық кубтық торға немесе D3 тең. Абстрактілі түрде, оны 3a 5b 7c-ге байланысты бүтін сандардың үштігі (a, b, c) ретінде анықтауға болады, мұнда қашықтық өлшемі әдеттегі Евклид қашықтығы емес, векторлық кеңістік нормасынан туындаған Евклид қашықтығы болып табылады.
In similar fashion, we can define a modulatory space for seven limit just intonation, by representing 3a 5b 7c in terms of a corresponding cubic lattice. Once again, however, a more enlightening picture emerges if we represent it instead in terms of the three dimensional analog of the hexagonal lattice, a lattice called A3, which is equivalent to the face centered cubic lattice, or D3. Abstractly, it can be defined as the integer triples (a, b, c), associated to 3a 5b 7c, where the distance measure is not the usual Euclidean distance but rather the Euclidean distance deriving from the vector space norm
Осы картинада жеті лимитті тоналды алмастың он екі біртекті емес элементтері 1-дің айналасында кубоктаэдр пішінде орналасқан.
In this picture, the twelve non unison elements of the seven limit tonality diamond are arranged around 1 in the shape of a cuboctahedron.