Введение

Пространства, описанные в этой статье, – это пространства классов высоты звука, моделирующие взаимосвязи между классами высоты звука в той или иной музыкальной системе. Эти модели часто представляются в виде графов, групп или решёток. Тесно связанным с пространством классов высоты звука является пространство высоты звука, которое представляет отдельные высоты звука, а не их классы, и аккордовое пространство, моделирующее взаимосвязи между аккордами.

Круговое пространство класса шага

Простейшая модель пространства высоты тона — это действительная прямая. Например, в стандарте настройки MIDI фундаментальные частоты f отображаются на числа p в соответствии с уравнением

Это создает линейное пространство, в котором октавы имеют размер 12, полутоны (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а ноте A440 присваивается число 69 (что означает, что средней ноте C присваивается число 60). Чтобы создать круглое пространство классов высоты тона, мы отождествляем или "склеиваем" высоты тона p и p + 12. В результате получается непрерывное, круговое пространство классов высоты тона, которое математики называют Z/12Z.

Круги генераторов

Другие модели пространства классов высоты, такие как круг квинт, пытаются описать особую связь между классами высоты, связанными чистой квинтой. В равном темперировании двенадцать последовательных квинт равны ровно семи октавам, и, следовательно, с точки зрения классов высоты система замыкается на себя, образуя круг. Мы говорим, что класс высоты квинты порождает – или является порождающим – пространство двенадцати классов высоты. Разделив октаву на n равных частей и выбрав целое число m < n, такое, что m и n взаимно просты – то есть не имеют общих делителей – мы получаем подобные круги, все из которых имеют структуру конечных циклических групп. Проводя линию между двумя классами высоты, когда они различаются на порождающий элемент, мы можем изобразить круг порождающих в виде циклического графа в форме правильного многоугольника.

Цепи генераторов

Линейный темперамент — это регулярный темперамент второго ранга, порождаемый октавой и другим интервалом, обычно называемым "порождающим". Наиболее известный пример — это меантонный темперамент, порождающим интервалом которого является уменьшенная квинта. Классы высоты звука любого линейного темперамента можно представить как расположенные вдоль бесконечной цепи порождающих интервалов; в меантонном, например, это будет F C G D A и т.д. Это определяет линейное модулирующее пространство.

Модуляторные цилиндрические пространства

Темперамент второго ранга, не являющийся линейным, имеет один генератор, представляющий собой долю октавы, называемую периодом. Модуляторное пространство такого темперамента можно представить как n цепей генераторов в окружности, образующих цилиндр, где n – количество периодов в октаве. Например, диахизматический темперамент – это темперамент, который устраняет диахизму, то есть интервал 2048/2025. Его можно представить как две цепи слегка (на 3,25–3,55 цента) повышенных квинт, отстоящих друг от друга на полуоктаву, которые можно изобразить как две цепи, перпендикулярные окружности и расположенные по разные стороны от неё. Цилиндрическая форма такого типа модуляторного пространства становится более заметной, когда период составляет меньшую долю октавы; например, у эннеалимального темперамента модуляторное пространство состоит из девяти цепей малых терций в окружности (где терция может быть повышена всего на 0,02–0,03 цента).

Семиграничное модуляционное пространство

Аналогичным образом, мы можем определить модуляторное пространство для семипредельной простоинтонации, представляя 3a 5b 7c в терминах соответствующей кубической решетки. Однако, вновь, более ясная картина возникает, если представить его в терминах трехмерного аналога гексагональной решетки, решетки, называемой A3, которая эквивалентна гранецентрированной кубической решетке, или D3. Абстрактно, она может быть определена как целочисленные тройки (a, b, c), связанные с 3a 5b 7c, где мера расстояния – не обычное евклидово расстояние, а евклидово расстояние, вытекающее из нормы векторного пространства.

В этой модели двенадцать не унисонных элементов семипредельного тонального алмаза расположены вокруг 1 в форме кубоктаэдра.