Кіріспе

Математикадағы функциялар, математикадағы гармоникалық функциялар

Математикада, математикалық физикада және стохастикалық процестер теориясында гармоникалық функция – U ашық жиынында екі рет үздіксіз дифференциалданатын функция, мұндағы U – \mathbb{R}^n кеңістігінің ашық ішкі жиыны, және ол Лаплас теңдеуін қанағаттандырады, яғни:

кез келген U нүктесінде. Бұл әдетте былай жазылады:

немесе

"Гармоника" терминінің этимологиясы

Гармониялық функция атауындағы "гармониялық" термині, тартылған жіптегі гармониялық қозғалыс жасайтын нүктеден шыққан. Осы қозғалыс түріне арналған дифференциалдық теңдеудің шешімі синус және косинус функциялары арқылы жазылуы мүмкін, осы функциялар гармоникалар деп аталады. Фурье анализі бірлік шеңберіндегі функцияларды осы гармоникалардың қатары түрінде кеңейтуді қамтиды. Бірлік n сферасындағы гармоникалардың жоғары өлшемді аналогтарын қарастыра отырып, сфералық гармоникаларға жетеміз. Бұл функциялар Лаплас теңдеуін қанағаттандырады, және уақыт өте келе "гармониялық" термині Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын барлық функцияларды атау үшін қолданыла бастады.

Қасиеттері

Берілген ашық жиынтық U-дегі гармоникалық функциялар жиынтығы Лаплас операторы Δ-ның ядросы ретінде қарастырылады, сондықтан ол \mathbb R\! үстіндегі векторлық кеңістік болып табылады: гармоникалық функциялардың сызықтық комбинациялары да гармоникалық болады. Егер f функциясы U-да гармоникалық болса, онда f функциясының барлық дербес туындылары да U-да гармоникалық функциялар болады. Лаплас операторы Δ және дербес туынды операторы осы функциялар класында бір-бірімен коммутациялайды. Гармоникалық функциялар, белгілі бір жағдайларда, голоморфтық функциялардың нақты аналогтары болып табылады. Барлық гармоникалық функциялар аналитикалық, яғни оларды жергілікті түрде қуат қатарлары түрінде көрсетуге болады. Бұл эллиптикалық операторлар туралы жалпы факт, ал Лаплас операторы оның маңызды мысалы болып табылады. Гармоникалық функциялардың жинақты тізбегінің біркелкі лиміті де гармоникалық болады. Бұл осылай болуының себебі – орташа мән қасиетін қанағаттандыратын кез келген үздіксіз функция гармоникалық болып табылады. (\infty,0) \times \mathbb R-дегі тізбекті қарастырайық, бұл тізбек гармоникалық және нөлдік функцияға біркелкі жақындайды; алайда, дербес туындылар нөлдік функцияның дербес туындысына біркелкі жақындамайтынын ескеру қажет. Бұл мысал лимит гармоникалық екенін көрсету үшін орташа мән қасиеттері мен үздіксіздікке сүйенудің маңыздылығын көрсетеді.

Күрделі функциялар теориясымен байланысы

Кез келген голоморфтық функцияның нақты және жорамал бөлігі \mathbb{R}^2-де гармоникалық функцияларды тудырады (бұлар гармоникалық конъюгат функциялар жұбы деп аталады). Керісінше, \mathbb{R}^2-нің ашық Ω ішкі жиынындағы кез келген гармоникалық функция u – голоморфтық функцияның жергілікті нақты бөлігі болып табылады. Бұл, күрделі функцияны жазғанда, ол Коши-Риман теңдеулерін қанағаттандырғандықтан, Ω-да голоморфты екені бірден көрінеді. Сондықтан, g жергілікті түрде f-тің туындысы болып табылады, ал u – f-тің тұрақтыға дейін нақты бөлігі, ал жоғарыдағы голоморфтық функциялармен сәйкестік тек екі нақты айнымалының функциялары үшін ғана сақталады. n айнымалыдағы гармоникалық функциялар да голоморфтық функцияларға тән көптеген қасиеттерге ие. Олар (нақты) аналитикалық; оларда максималдық принцип және орташа мән принципі бар; сингулярлықтарды жою туралы теорема, сондай-ақ Лиувилл теоремасы күрделі функциялар теориясындағы сәйкес теоремалармен салыстырылатын түрде олар үшін де қолданылады.

Гармониялық функциялардың қасиеттері

Гармоникалық функциялардың маңызды қасиеттерінің бір бөлігі Лаплас теңдеуінен шығарылуы мүмкін.

Гармоникалық функциялардың тұрақтылық теоремасы

Гармоникалық функциялар ашық жиынтықтарда шексіз дифференциалданады. Шындығында, гармоникалық функциялар нақты аналитикалық.

Ең жоғарғы принцип

Гармоникалық функциялар келесі максимум принципін қанағаттандырады: егер K, U-дың бос емес, жабық және шектеулі жиыны болса, онда K-ға шектелген f, K-ның шекарасында өзінің ең жоғарғы және ең төменгі мәніне жетеді. Егер U байланысқан болса, онда f тұрақты болған жағдайдан басқа, жергілікті максимумдары мен минимумдары болмайды. Осыған ұқсас қасиеттер субгармоникалық функциялар үшін де дәлелделуі мүмкін.

Ерекшеліктерді жою

Армоникалық функциялардың жекешеліктерді жою принципі келесідей. Егер f функциясы \R^n кеңістігіндегі нүктелі ашық ішкі жиынтықта анықталған және оның жекешелігі негізгі шешімнен (n > 2 болғанда) кем болса, яғни

онда f функциясын Ω жиынындағы армоникалық функцияға дейін кеңейтуге болады (кешен айнымалы функциялары үшін Риман теоремасымен салыстырыңыз).

Коллектордағы гармоникалық функциялар

Гармоникалық функцияларды кез келген Риманн көптүрлілігінде Лаплас-Белтрами операторы Δ арқылы анықтауға болады. Осы контексте, егер функция

Эвклид кеңістігіндегі домендердегі гармоникалық функциялардың көптеген қасиеттері осы жалпы жағдайға көшеді, оның ішінде орташа мән теоремасы (геодезиялық шарлар бойынша), максимум принципі және Харнак теңсіздігі. Орташа мән теоремасын қоспағанда, бұл екінші реттік жалпы сызықтық эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеулерге қатысты нәтижелердің оңай салдары болып табылады.

Субгармониялық функциялар

C^(2) функциясы, егер Δf ≥ 0 орындалса, субгармониялық деп аталады. Бұл шарт максималды принциптің орындалуын қамтамасыз етеді, бірақ гармониялық функциялардың басқа да қасиеттері бұзылуы мүмкін. Көбірек айтқанда, функция субгармониялық болып табылады, егер және тек қана егер оның анықталу облысындағы кез келген шардың ішінде оның графигі, шардың шекаралық мәндерін интерполяциялайтын гармониялық функциясынан төмен жатса.

Гармониялық нысандар

Гармоникалық функцияларды зерттеудің бір жалпылауы — Риманн көптүрліліктеріндегі гармоникалық формаларды зерттеу, және ол кохомологияны зерттеумен байланысты. Сондай-ақ, жалпыланған Дирихле энергиясы функционалының тұрақсыз нүктелері болып табылатын гармоникалық векторлық функцияларды немесе екі Риманн көптүрлілігінің гармоникалық бейнелеулерін анықтау мүмкін (бұл гармоникалық функцияларды ерекше жағдай ретінде қамтиды, бұл нәтиже Дирихле принципі деп аталады). Гармоникалық бейнелеудің осы түрі минималды беттер теориясында кездеседі. Мысалы, қисық, яғни нақты сандар жиығының (\R) аралығынан Риманн көптүрлілігіне дейінгі бейнелеу, егер және тек қана ол геодезиялық болса, ғана гармоникалық бейнелеу болып табылады.