Введение

Функции в математике
гармонические функции в математике

В математике, математической физике и теории стохастических процессов гармоническая функция — это дважды непрерывно дифференцируемая функция, где U — открытое подмножество \mathbb{R}^n, удовлетворяющая уравнению Лапласа, то есть,

повсюду на U. Это обычно записывается как

или

Этимология термина "гармонический"

Описатель "гармонический" в названии гармонической функции происходит от точки на натянутой струне, совершающей гармонические колебания. Решение дифференциального уравнения для этого типа движения может быть записано с использованием синусов и косинусов, которые в связи с этим и называются гармониками. Анализ Фурье включает разложение функций на единичной окружности в ряд этих гармоник. Рассматривая аналоги гармоник на единичной n-сфере в более высоких размерностях, мы приходим к сферическим гармоникам. Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, и со временем термин "гармоническая" стал использоваться для обозначения всех функций, удовлетворяющих этому уравнению.

Свойства

Множество гармонических функций на данном открытом множестве U можно рассматривать как ядро оператора Лапласа Δ и, следовательно, является векторным пространством над \mathbb R\! : линейные комбинации гармонических функций снова являются гармоническими. Если f — гармоническая функция на U, то все частные производные f также являются гармоническими функциями на U. Оператор Лапласа Δ и оператор частной производной коммутируют на этом классе функций. Гармонические функции во многих отношениях являются вещественными аналогами голоморфных функций. Все гармонические функции аналитичны, то есть их можно локально представить в виде степенных рядов. Это общий факт об эллиптических операторах, одним из основных примеров которых является лапласиан. Предел равномерно сходящейся последовательности гармонических функций также является гармоническим. Это верно, поскольку любая непрерывная функция, удовлетворяющая свойству среднего значения, является гармонической. Рассмотрим последовательность на ( \infty,0) \times \mathbb R, заданную этой последовательностью, которая является гармонической и равномерно сходится к нулевой функции; однако следует отметить, что частные производные не сходятся равномерно к нулевой функции (производной нулевой функции). Этот пример показывает важность опоры на свойство среднего значения и непрерывность при доказательстве того, что предел является гармоническим.

Связь с теорией сложных функций

Реальная и мнимая части любой голоморфной функции дают гармонические функции на \mathbb R^2 (такие функции называют парой гармонически сопряженных функций). И наоборот, любая гармоническая функция u на открытом подмножестве Ω множества \mathbb R^2 локально является реальной частью голоморфной функции. Это сразу видно, если заметить, что, записывая комплексную функцию g = u + iv, она голоморфна в Ω, поскольку удовлетворяет уравнениям Коши — Римана. Следовательно, g локально имеет первообразную f, и u является реальной частью f с точностью до константы, как и v является мнимой частью f с точностью до константы.

Хотя вышеуказанное соответствие с голоморфными функциями справедливо только для функций двух вещественных переменных, гармонические функции в n переменных по-прежнему обладают рядом свойств, типичных для голоморфных функций. Они (вещественно) аналитичны; для них справедливы принцип максимума и принцип среднего значения; для них также выполняется теорема об устранении особенностей и теорема Лиувиля, аналогичные соответствующим теоремам в теории комплексных функций.

Свойства гармонических функций

Некоторые важные свойства гармонических функций можно вывести из уравнения Лапласа.

Теорема о регулярности для гармонических функций

Гармонические функции бесконечно дифференцируемы в открытых множествах. Более того, гармонические функции являются вещественно аналитическими.

Принцип максимального

Гармонические функции удовлетворяют следующему принципу максимума: если K – непустое компактное подмножество U, то ограничение функции f на K достигает своего максимума и минимума на границе K. Если U связно, это означает, что функция f не может иметь локальных максимумов или минимумов, за исключением случая, когда f постоянна. Аналогичные свойства могут быть установлены для субгармонических функций.

Удаление сингулярности

Следующий принцип устранения сингулярностей справедлив для гармонических функций. Если f — гармоническая функция, определенная на точечном открытом подмножестве \R^n, которая имеет меньшую сингулярность в точке, чем фундаментальное решение (при n > 2), то есть

то f может быть продолжена до гармонической функции на Ω (сравните с теоремой Римана для функций комплексной переменной).

Гармонические функции на коллекторах

Гармонические функции могут быть определены на произвольном римановом многообразии, используя оператор Лапласа — Бельтрами Δ. В этом контексте функция называется гармонической, если Δf = 0.

Многие свойства гармонических функций на областях в евклидовом пространстве переносятся в эту более общую ситуацию, включая теорему о среднем значении (над геодезическими шарами), принцип максимума и неравенство Харнака. За исключением теоремы о среднем значении, эти свойства являются прямыми следствиями соответствующих результатов для общих линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка.

Субгармонические функции

Функция C^(2), удовлетворяющая Δf ≥ 0, называется субгармонической. Это условие гарантирует применимость принципа максимума, хотя другие свойства гармонических функций могут не выполняться. В более общем случае, функция является субгармонической тогда и только тогда, когда внутри любого шара в её области определения её график лежит ниже графика гармонической функции, интерполирующей её граничные значения на этом шаре.

Гармонические формы

Одним из обобщений изучения гармонических функций является изучение гармонических форм на римановых многообразиях, и оно связано с изучением когомологий. Также возможно определить гармонические функции, принимающие векторные значения, или гармонические отображения между двумя римановыми многообразиями, которые являются критическими точками обобщенного функционала энергии Дирихле (это включает в себя гармонические функции как частный случай, результат, известный как принцип Дирихле). Такие гармонические отображения возникают в теории минимальных поверхностей. Например, кривая, то есть отображение из интервала в ℝ в риманово многообразие, является гармоническим отображением тогда и только тогда, когда она является геодезической.