Ноэтерлік сақиналар және идеалдардың қасиеттері

Кіріспе

Математикада жақсы қасиеттері бар идеалдарға ие математикалық сақина. Математикада ноэтериандық сақина – сол және оң идеалдар бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандыратын сақина; егер тізбек шарты тек сол идеалдар немесе оң идеалдар үшін қанағаттандырылса, онда сақина тиісінше сол ноэтериандық немесе оң ноэтериандық деп аталады. Яғни, сол (немесе оң) идеалдардың кез келген өсу тізбегінде ең үлкен элемент болады; яғни, мұндай n бар:

Балама түрінде, егер кез келген сол идеал (тиісінше оң идеал) шекті түрде туындаса, онда сақина сол ноэтериандық (тиісінше оң ноэтериандық) болып табылады. Егер сақина сол және оң ноэтериандық болса, онда ол ноэтериандық сақина болып есептеледі. Ноэтериандық сақиналар коммутативтік және коммутативті емес сақиналар теориясындағы негізгі ұғымдардың бірі болып табылады, себебі математикада кездесетін көптеген сақиналар ноэтериандық болып келеді (әсіресе бүтін сандар сақинасы, полиномдық сақиналар және сандар теориясының сақиналарындағы алгебралық бүтін сандар сақиналары), ал сақиналарға қатысты көптеген жалпы теоремалар ноэтериандық қасиетке көп сүйенеді (мысалы, Ласкер-Ноэтер теоремасы және Крулл қиылысу теоремасы). Ноэтериандық сақиналар Эмми Ноэтердің есімімен аталады, бірақ бұл ұғымның маңыздылығын Дэвид Гильберт одан бұрын таныған, Гильберттің негіздік теоремасы (полиномдық сақиналар ноэтериандық екенін көрсетеді) және Гильберттің сизигия теоремасын дәлелдеу арқылы.

Қасиеттері

Егер R Ноэтериандық сақина болса, онда Гильберттің негіз теоремасы бойынша полиномиялық сақина Ноэтериандық болады. Индукция бойынша, Ноэтериандық сақина. Сонымен қатар, R[[X]], қуат қатарларының сақинасы, Ноэтериандық сақина болып табылады. Егер R Ноэтериандық сақина болса және I екі жақты идеал болса, онда R/I бөліктік сақинасы да Ноэтериандық болады. Басқаша айтқанда, Ноэтериандық сақинаның кез келген сюръективті сақина гомоморфизмінің бейнесі Ноэтериандық болады. Коммутативті Ноэтериандық сақина арқылы туындаған әрбір шекті коммутативтік алгебра Ноэтериандық болады. (Бұл екі алдыңғы қасиеттен туындайды.) Сақина R сол Ноэтериандық болады, егер және тек қана егер әрбір шекті түрде жасалған сол R модулі Ноэтериандық модуль болса. Егер коммутативті сақинада оған адал Ноэтериандық модуль болса, онда сақина Ноэтериандық сақина болады. (Экин–Нагата) Егер A сақинасы коммутативті Ноэтериандық сақина B-нің субрингі болса және B, A үстіндегі шекті жасалған модуль болса, онда A Ноэтериандық сақина болады. Сол сияқты, егер A сақинасы коммутативті Ноэтериандық сақина B-нің субрингі болса және B, A үстінде адал жазық болса (немесе жалпы алғанда A таза субринг ретінде көрінеді), онда A Ноэтериандық сақина болады (негіздеме үшін "адал жазық" мақаласын қараңыз). Коммутативті Ноэтериандық сақинаның кез келген локализациясы Ноэтериандық болады. Акизуки–Хопкинс–Левитски теоремасының салдары ретінде, әрбір сол Артиниян сақинасы сол Ноэтериандық болады. Тағы бір салдары – сол Артиниян сақинасы оң Артиниян болса ғана оң Ноэтериандық болады. "Оң" және "сол" сөздерін ауыстырғанда да ұқсас мәлімдемелер дұрыс. Сол Ноэтериандық сақина сол когерентті, ал сол Ноэтериандық домен сол Оре домені болып табылады. (Басс) Сақина (сол/оң) Ноэтериандық болады, егер және тек қана егер инъективті (сол/оң) модульдердің тікелей қосындысы инъективті болса. Сол инъективті модульдің сол Ноэтериандық модуль үстінен әрбір инъективті модульді ажыратылмайтын инъективті модульдердің тікелей қосындысы ретінде жіктеуге болады. Сондай-ақ төмендегі #Инъективті модульдерге қатысты түсініктемелерді қараңыз. Коммутативті Ноэтериандық сақинада тек шекті сандағы ең төменгі жай идеалдар бар. Сонымен қатар, жай идеалдарға қатысты төмендеу тізбек шарты орындалады. Коммутативті Ноэтериандық R доменінде әрбір элементті қайталанбайтын элементтерге жіктеуге болады (қысқаша айтқанда, R – жіктеу домені). Сондықтан, егер қосымша, жіктеу факторларды бірліктерге көбейтуге дейін бірегей болса, онда R – бірегей жіктеу домені.

If R is a Noetherian ring, then the polynomial ring is Noetherian by the Hilbert's basis theorem. By induction, is a Noetherian ring. Also, R[[X]], the power series ring, is a Noetherian ring. If R is a Noetherian ring and I is a two sided ideal, then the quotient ring R/I is also Noetherian. Stated differently, the image of any surjective ring homomorphism of a Noetherian ring is Noetherian. Every finitely generated commutative algebra over a commutative Noetherian ring is Noetherian. (This follows from the two previous properties.) A ring R is left Noetherian if and only if every finitely generated left R module is a Noetherian module. If a commutative ring admits a faithful Noetherian module over it, then the ring is a Noetherian ring. (Eakin–Nagata) If a ring A is a subring of a commutative Noetherian ring B such that B is a finitely generated module over A, then A is a Noetherian ring. Similarly, if a ring A is a subring of a commutative Noetherian ring B such that B is faithfully flat over A (or more generally exhibits A as a pure subring), then A is a Noetherian ring (see the "faithfully flat" article for the reasoning). Every localization of a commutative Noetherian ring is Noetherian. A consequence of the Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem is that every left Artinian ring is left Noetherian. Another consequence is that a left Artinian ring is right Noetherian if and only if it is right Artinian. The analogous statements with "right" and "left" interchanged are also true. A left Noetherian ring is left coherent and a left Noetherian domain is a left Ore domain. (Bass) A ring is (left/right) Noetherian if and only if every direct sum of injective (left/right) modules is injective. Every left injective module over a left Noetherian module can be decomposed as a direct sum of indecomposable injective modules. See also #Implication on injective modules below. In a commutative Noetherian ring, there are only finitely many minimal prime ideals. Also, the descending chain condition holds on prime ideals. In a commutative Noetherian domain R, every element can be factorized into irreducible elements (in short, R is a factorization domain). Thus, if, in addition, the factorization is unique up to multiplication of the factors by units, then R is a unique factorization domain.

Мысалдар

Кез келген өріс, оның ішінде рационалдық сандар, нақты сандар және кешенді сандар өрістері — ноэтериандық. (Өріс тек екі идеалға ие: өзі және (0).) Кез келген негізгі идеалдық сақина, мысалы, бүтін сандар, ноэтериандық, себебі әрбір идеал бір элементпен ғана жасалады. Бұған негізгі идеалдық домендер және Эвклидтік домендер кіреді. Дедекинд домені (мысалы, бүтін сандар сақинасы) — әрбір идеал ең көп дегенде екі элементпен жасалатын ноэтер домені. Аффиндік қисықтың координаталық сақинасы — Гильберт негіздер теоремасының салдарынан ноэтер сақинасы болып табылады. Шектеулі өлшемді Ли алгебрасының U-ды қоршап тұрған алгебрасы оң және сол ноэтериандық сақина болып табылады; бұл U-дың қатарласқан сатылаған сақинасы, яғни өріс үстіндегі көпмүшелік сақина (PBW теоремасы) болғандықтан, ноэтериандық. Сол себепті Вейль алгебрасы және дифференциалды операторлардың жалпы сақиналары ноэтериандық. Бүтін сандар немесе өріс үстіндегі шектеулі көп айнымалыдағы көпмүшеліктердің сақинасы ноэтерлік. Ноэтериандық емес сақиналар (бір жағынан) өте үлкен болады. Міне, ноэтериандық емес сақиналардың бірнеше мысалы: шексіз көп айнымалыдағы көпмүшеліктер сақинасы, X1, X2, X3 және т.б. Идеалдар тізбегі (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3) және т.б. өрбуге ұшырайды және тоқтамайды. Барлық алгебралық бүтін сандардың сақинасы ноэтериандық емес. Мысалы, ол (2), (21/2), (21/4), (21/8) сияқты негізгі идеалдардың шексіз өрбу тізбегін қамтиды. Нақты сандардан нақты сандарға дейінгі үздіксіз функциялар сақинасы ноэтериандық емес: In — барлық x ≥ n үшін f(x) = 0 болатын барлық үздіксіз функциялар f құрайтын идеал болсын. Идеалдар тізбегі I0, I1, I2 және т.б. — аяқталмайтын өрбу тізбегі. Сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарының сақинасы ноэтерлік емес. Дегенмен, ноэтериандық емес сақина ноэтериандық сақинаның ішкі сақинасы болуы мүмкін. Кез келген интегралды домен өрістің ішкі сақинасы болғандықтан, ноэтериандық емес кез келген интегралды домен мысал болады. Төмендегі мысал қарапайым: x және y/xn арқылы k өрісінде жасалған рационалды функциялар сақинасы k(x, y) өрісінің тек екі айнымалыдағы ішкі сақинасы болып табылады. Шындығында, оң ноэтериандық, бірақ сол ноэтериандық емес сақиналар бар, сондықтан сақинаның «өлшемін» осылайша өлшеуде сақтық тану керек. Мысалы, егер L — Q2 тобының Z-ге изоморфты ішкі тобы болса, онда R — Q2-ден өзіне f гомоморфизмдерінің сақинасы болсын, мұнда f(L) ⊆ L. Негізді таңдап, біз сол сақинаны R ретінде сипаттауға болады. Бұл сақина оң ноэтериандық, бірақ сол ноэтериандық емес; a = 0 және γ = 0 элементтерінен тұратын I ⊆ R жиыны сол жақ R модулі ретінде шекті түрде жасалмайтын сол жақ идеал болып табылады. Егер R — сол ноэтериандық сақина S-тың коммутативті ішкі сақинасы болса, ал S — сол R модулі ретінде шекті түрде жасалса, онда R ноэтериандық. (S коммутативті болған ерекше жағдайда, бұл Экин теоремасы деп аталады.) Дегенмен, бұл R коммутативті болмаса дұрыс емес: алдыңғы абзацтағы R сақинасы сол ноэтериандық сақина S = Hom(Q2, Q2)-ның ішкі сақинасы болып табылады, ал S — сол R модулі ретінде шекті түрде жасалады, бірақ R сол ноэтериандық емес. Бірегей факторлау домені міндетті түрде ноэтерлік сақина емес. Ол әлсіз шартты ғана қанағаттандырады: негізгі идеалдарға қатысты өрбу шарты. Шексіз көп айнымалыдағы көпмүшеліктердің сақинасы ноэтериандық емес бірегей факторлау доменінің мысалы болып табылады. Бағалау сақинасы, егер ол негізгі идеалдық домен болмаса, ноэтериандық емес. Ол алгебралық геометрияда табиғи түрде пайда болатын, бірақ ноэтерлік емес сақинаның мысалын береді.

Any field, including the fields of rational numbers, real numbers, and complex numbers, is Noetherian. (A field only has two ideals — itself and (0).) Any principal ideal ring, such as the integers, is Noetherian since every ideal is generated by a single element. This includes principal ideal domains and Euclidean domains. A Dedekind domain (e. g., rings of integers) is a Noetherian domain in which every ideal is generated by at most two elements. The coordinate ring of an affine variety is a Noetherian ring, as a consequence of the Hilbert basis theorem. The enveloping algebra U of a finite dimensional Lie algebra is a both left and right Noetherian ring; this follows from the fact that the associated graded ring of U is a quotient of , which is a polynomial ring over a field (the PBW theorem); thus, Noetherian. For the same reason, the Weyl algebra, and more general rings of differential operators, are Noetherian. The ring of polynomials in finitely many variables over the integers or a field is Noetherian. Rings that are not Noetherian tend to be (in some sense) very large. Here are some examples of non Noetherian rings:

The ring of polynomials in infinitely many variables, X1, X2, X3, etc. The sequence of ideals (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3), etc. is ascending, and does not terminate. The ring of all algebraic integers is not Noetherian. For example, it contains the infinite ascending chain of principal ideals: (2), (21/2), (21/4), (21/8),
The ring of continuous functions from the real numbers to the real numbers is not Noetherian: Let In be the ideal of all continuous functions f such that f(x) = 0 for all x ≥ n. The sequence of ideals I0, I1, I2, etc., is an ascending chain that does not terminate. The ring of stable homotopy groups of spheres is not Noetherian. However, a non Noetherian ring can be a subring of a Noetherian ring. Since any integral domain is a subring of a field, any integral domain that is not Noetherian provides an example. To give a less trivial example,
The ring of rational functions generated by x and y&hairsp;/xn over a field k is a subring of the field k(x,y) in only two variables. Indeed, there are rings that are right Noetherian, but not left Noetherian, so that one must be careful in measuring the "size" of a ring this way. For example, if L is a subgroup of Q2 isomorphic to Z, let R be the ring of homomorphisms f from Q2 to itself satisfying f(L) ⊂ L. Choosing a basis, we can describe the same ring R as

This ring is right Noetherian, but not left Noetherian; the subset I ⊂ R consisting of elements with a = 0 and γ = 0 is a left ideal that is not finitely generated as a left R module. If R is a commutative subring of a left Noetherian ring S, and S is finitely generated as a left R module, then R is Noetherian. (In the special case when S is commutative, this is known as Eakin's theorem.) However, this is not true if R is not commutative: the ring R of the previous paragraph is a subring of the left Noetherian ring S = Hom(Q2, Q2), and S is finitely generated as a left R module, but R is not left Noetherian. A unique factorization domain is not necessarily a Noetherian ring. It does satisfy a weaker condition: the ascending chain condition on principal ideals. A ring of polynomials in infinitely many variables is an example of a non Noetherian unique factorization domain. A valuation ring is not Noetherian unless it is a principal ideal domain. It gives an example of a ring that arises naturally in algebraic geometry but is not Noetherian.

Негізгі теоремалар

Сақиналар теориясындағы көптеген маңызды теоремалар (әсіресе коммутативті сақиналар теориясы) сақиналардың Нотерлік екендігі туралы болжамдарға сүйенеді.

Коммутативтік жағдай

Коммутативті Ноэтериан сақинасында әрбір идеалдың бастапқы ыдырауы болады, яғни оны шекті көптеген бастапқы идеалдардың қиылысы ретінде жазуға болады (олардың радикалдарының бәрі ерекше), мұнда идеал Q егер ол дұрыс болса және егер xy ∈ Q болса, онда x ∈ Q немесе yⁿ ∈ Q болады, мұнда n – қандай да бір оң бүтін сан. Мысалы, егер элемент әртүрлі жай элементтердің дәрежелерінің көбейтіндісі болса, онда және бастапқы ыдырау – бүтін сандар мен полиномдардың жай көбейткіштерге жіктелуінің тікелей жалпыламасы. Ноэтериан сақинасы идеалдардың өсу тізбектері арқылы анықталады. Артин-Рис леммасы, керісінше, идеалдардың дәрежелерінен алынған идеалдардың кему тізбегі туралы ақпарат береді. Бұл Крулл қиылысу теоремасы сияқты басқа да маңызды теоремаларды дәлелдеуге қолданылатын техникалық құрал. Коммутативті сақиналардың өлшемдер теориясы Ноэтериан емес сақиналарда нашар жұмыс істейді; Круллдің негізгі идеал теоремасының өзі "Ноэтериандық" болжамға сүйенеді. Мұнда, шындығында, "Ноэтериандық" болжам көбінесе жеткіліксіз және оның орнына (Ноэтериандық) жалпы катенариялық сақиналар, белгілі бір өлшемдік теориялық болжамды қанағаттандыратындар жиі қолданылады. Қолдануда кездесетін Ноэтериан сақиналары көбінесе жалпы катенариялық болып табылады.

Инъекциялық модульдерге әсері

Сақина берілген кезде, сақинадағы инъекциялық модульдердің қасиеттері мен сақинаның Нотерлік сақина болып табылуы немесе болмауы арасында тығыз байланыс бар. Атап айтқанда, R сақинасы берілген болса, келесі шарттар эквивалентті: R сол жақ Нотерлік сақинасы. (Басс) Инъекциялық сол R модульдерінің кез келген тікелей қосындысы инъекциялық. (Faith–Walker) Әрбір инъекциялық сол R модулі үшін, оны құратын модульдердің тікелей қосындысы болатын кардинал саны бар (модуль, егер оның генераторлық жиынының кардиналдығы ең көп дегенде болатын болса, құрылған болып есептеледі). Сол R модулі H бар, осылайша кез келген сол R модулі H-тың көшірмелерінің тікелей қосындысына ендіріледі.

Бөлшекті бөліп көрсетуге келмейтін инъекциялық модульдің эндоморфизм сақинасы локальды, сондықтан Азумая теоремасы бойынша, сол жақ Нотерлік сақинада инъекциялық модульдің кез келген бөлшекті бөліп көрсетуі бір-біріне эквивалентті (Крулл–Шмидт теоремасының бір түрі).