Введение
Математическое кольцо с хорошо определёнными идеалами
In mathematics, a Noetherian ring is a ring that satisfies the ascending chain condition on left and right ideals; if the chain condition is satisfied only for left ideals or for right ideals, then the ring is said left Noetherian or right Noetherian respectively. That is, every increasing sequence of left (or right) ideals has a largest element; that is, there exists an n such that:
Equivalently, a ring is left Noetherian (respectively right Noetherian) if every left ideal (respectively right ideal) is finitely generated. A ring is Noetherian if it is both left and right Noetherian. Noetherian rings are fundamental in both commutative and noncommutative ring theory since many rings that are encountered in mathematics are Noetherian (in particular the ring of integers, polynomial rings, and rings of algebraic integers in number fields), and many general theorems on rings rely heavily on the Noetherian property (for example, the Lasker–Noether theorem and the Krull intersection theorem). Noetherian rings are named after Emmy Noether, but the importance of the concept was recognized earlier by David Hilbert, with the proof of Hilbert's basis theorem (which asserts that polynomial rings are Noetherian) and Hilbert's syzygy theorem.
В математике, нётерово кольцо — это кольцо, удовлетворяющее условию восходящей цепи для левых и правых идеалов; если условие цепи выполнено только для левых идеалов или для правых идеалов, то кольцо называется левым нётеровым или правым нётеровым, соответственно. Иными словами, любая возрастающая последовательность левых (или правых) идеалов имеет наибольший элемент; то есть, существует такое n, что:
In mathematics, a Noetherian ring is a ring that satisfies the ascending chain condition on left and right ideals; if the chain condition is satisfied only for left ideals or for right ideals, then the ring is said left Noetherian or right Noetherian respectively. That is, every increasing sequence of left (or right) ideals has a largest element; that is, there exists an n such that:
Equivalently, a ring is left Noetherian (respectively right Noetherian) if every left ideal (respectively right ideal) is finitely generated. A ring is Noetherian if it is both left and right Noetherian. Noetherian rings are fundamental in both commutative and noncommutative ring theory since many rings that are encountered in mathematics are Noetherian (in particular the ring of integers, polynomial rings, and rings of algebraic integers in number fields), and many general theorems on rings rely heavily on the Noetherian property (for example, the Lasker–Noether theorem and the Krull intersection theorem). Noetherian rings are named after Emmy Noether, but the importance of the concept was recognized earlier by David Hilbert, with the proof of Hilbert's basis theorem (which asserts that polynomial rings are Noetherian) and Hilbert's syzygy theorem.
Эквивалентно, кольцо является левым нётеровым (соответственно, правым нётеровым), если каждый левый идеал (соответственно, правый идеал) конечно порождён. Кольцо является нётеровым, если оно одновременно левое и правое нётерово. Нётеровы кольца фундаментальны как в коммутативной, так и в некоммутативной теории колец, поскольку многие кольца, встречающиеся в математике, являются нётеровыми (в частности, кольцо целых чисел, полиномиальные кольца и кольца алгебраических целых чисел в числовых полях), и многие общие теоремы о кольцах в значительной степени опираются на нётерово свойство (например, теорема Ласкера — Нётер и теорема Крулла об пересечениях). Нётеровы кольца названы в честь Эмми Нётер, но важность этой концепции была признана ранее Давидом Гильбертом, с доказательством теоремы о базисе Гильберта (которая утверждает, что полиномиальные кольца являются нётеровыми) и теоремы о сизигиях Гильберта.
In mathematics, a Noetherian ring is a ring that satisfies the ascending chain condition on left and right ideals; if the chain condition is satisfied only for left ideals or for right ideals, then the ring is said left Noetherian or right Noetherian respectively. That is, every increasing sequence of left (or right) ideals has a largest element; that is, there exists an n such that:
Equivalently, a ring is left Noetherian (respectively right Noetherian) if every left ideal (respectively right ideal) is finitely generated. A ring is Noetherian if it is both left and right Noetherian. Noetherian rings are fundamental in both commutative and noncommutative ring theory since many rings that are encountered in mathematics are Noetherian (in particular the ring of integers, polynomial rings, and rings of algebraic integers in number fields), and many general theorems on rings rely heavily on the Noetherian property (for example, the Lasker–Noether theorem and the Krull intersection theorem). Noetherian rings are named after Emmy Noether, but the importance of the concept was recognized earlier by David Hilbert, with the proof of Hilbert's basis theorem (which asserts that polynomial rings are Noetherian) and Hilbert's syzygy theorem.
Свойства
Если R — ноэтерианское кольцо, то кольцо многочленов является ноэтерианским по теореме Гильберта о базисе. По индукции, R[X] — ноэтерианское кольцо. Также R[[X]], кольцо формальных степенных рядов, является ноэтерианским кольцом. Если R — ноэтерианское кольцо и I — двусторонний идеал, то факторкольцо R/I также ноэтерианское. Иначе говоря, образ любого сюръективного гомоморфизма ноэтерианского кольца является ноэтерианским. Каждая конечно порожденная коммутативная алгебра над коммутативным ноэтерианским кольцом является ноэтерианской. (Это следует из двух предыдущих свойств.) Кольцо R является левым ноэтерианским тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный левый R-модуль является ноэтерианским модулем. Если коммутативное кольцо допускает верный ноэтерианский модуль, то кольцо является ноэтерианским кольцом. (Eakin–Nagata) Если кольцо A является подкольцом коммутативного ноэтерианского кольца B, причем B является конечно порожденным модулем над A, то A является ноэтерианским кольцом. Аналогично, если кольцо A является подкольцом коммутативного ноэтерианского кольца B, причем B верно плоское над A (или, в более общем случае, представляет A как чистое подкольцо), то A является ноэтерианским кольцом (см. статью «верно плоское» для обоснования). Каждая локализация коммутативного ноэтерианского кольца является ноэтерианской. Следствием теоремы Акидзуки — Хопкинса — Левитцки является то, что каждое левое артиново кольцо является левым ноэтерианским. Другое следствие заключается в том, что левое артиново кольцо является правым ноэтерианским тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым. Аналогичные утверждения с заменой «правый» и «левый» также верны. Левое ноэтерианское кольцо является левокогерентным, а левое ноэтерианское область — левой областью Оре. (Bass) Кольцо является (левым/правым) ноэтерианским тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных (левых/правых) модулей является инъективной. Каждый левый инъективный модуль над левым ноэтерианским модулем может быть разложен в прямую сумму неразложимых инъективных модулей. См. также раздел «Следствия для инъективных модулей» ниже. В коммутативном ноэтерианском кольце существует лишь конечное число минимальных простых идеалов. Кроме того, условие убывающей цепи выполняется для простых идеалов. В коммутативной ноэтерианской области R каждый элемент может быть разложен на неразложимые элементы (короче говоря, R является областью факторизации). Таким образом, если, кроме того, факторизация единственна с точностью до умножения множителей на обратимые элементы, то R является областью однозначной факторизации.
Примеры
Любое поле, включая поля рациональных чисел, действительных чисел и комплексных чисел, является ноэтерианским. (Поле имеет только два идеала — само себя и (0).) Любое основное идеальное кольцо, такое как кольцо целых чисел, является ноэтерианским, поскольку каждый идеал порождается одним элементом. Это включает в себя основные идеальные области и области Евклида. Домен Дедекинда (например, кольца целых чисел) — это домен Ноэтера, в котором каждый идеал порождается не более чем двумя элементами. Координатное кольцо аффинного многообразия является ноэтерианским кольцом, как следствие теоремы Гильберта о базисе. Обволакивающая алгебра U конечномерной алгебры Ли является как левым, так и правым кольцом Ноэтера; это следует из того, что ассоциированное градуированное кольцо U является фактор-кольцом , которое является многочленным кольцом над полем (теорема PBW); таким образом, ноэтерианским. По той же причине алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов являются ноэтерианскими. Кольцо многочленов от конечно многих переменных над кольцом целых чисел или полем является ноэтерианским. Кольца, которые не являются ноэтерианскими, как правило, очень велики. Вот некоторые примеры неноэтерианских колец:
The ring of polynomials in infinitely many variables, X1, X2, X3, etc. The sequence of ideals (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3), etc. is ascending, and does not terminate. The ring of all algebraic integers is not Noetherian. For example, it contains the infinite ascending chain of principal ideals: (2), (21/2), (21/4), (21/8),
The ring of continuous functions from the real numbers to the real numbers is not Noetherian: Let In be the ideal of all continuous functions f such that f(x) = 0 for all x ≥ n. The sequence of ideals I0, I1, I2, etc., is an ascending chain that does not terminate. The ring of stable homotopy groups of spheres is not Noetherian. However, a non Noetherian ring can be a subring of a Noetherian ring. Since any integral domain is a subring of a field, any integral domain that is not Noetherian provides an example. To give a less trivial example,
The ring of rational functions generated by x and y /xn over a field k is a subring of the field k(x,y) in only two variables. Indeed, there are rings that are right Noetherian, but not left Noetherian, so that one must be careful in measuring the "size" of a ring this way. For example, if L is a subgroup of Q2 isomorphic to Z, let R be the ring of homomorphisms f from Q2 to itself satisfying f(L) ⊂ L. Choosing a basis, we can describe the same ring R as
This ring is right Noetherian, but not left Noetherian; the subset I ⊂ R consisting of elements with a = 0 and γ = 0 is a left ideal that is not finitely generated as a left R module. If R is a commutative subring of a left Noetherian ring S, and S is finitely generated as a left R module, then R is Noetherian. (In the special case when S is commutative, this is known as Eakin's theorem.) However, this is not true if R is not commutative: the ring R of the previous paragraph is a subring of the left Noetherian ring S = Hom(Q2, Q2), and S is finitely generated as a left R module, but R is not left Noetherian. A unique factorization domain is not necessarily a Noetherian ring. It does satisfy a weaker condition: the ascending chain condition on principal ideals. A ring of polynomials in infinitely many variables is an example of a non Noetherian unique factorization domain. A valuation ring is not Noetherian unless it is a principal ideal domain. It gives an example of a ring that arises naturally in algebraic geometry but is not Noetherian.
Кольцо многочленов от бесконечно многих переменных, X1, X2, X3 и т.д. Последовательность идеалов (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3) и т.д. является возрастающей и не завершается. Кольцо всех алгебраических целых чисел не является ноэтерианским. Например, оно содержит бесконечную возрастающую цепь главных идеалов: (2), (21/2), (21/4), (21/8), …
Кольцо непрерывных функций от действительных чисел к действительным числам не является ноэтерианским: пусть In будет идеалом всех непрерывных функций f таких, что f(x) = 0 для всех x ≥ n. Последовательность идеалов I0, I1, I2 и т.д. является возрастающей цепью, которая не завершается. Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не является ноэтерианским. Однако неноэтерианское кольцо может быть подкольцом ноэтерианского кольца. Поскольку любая целостная область является подкольцом поля, любая целостная область, которая не является ноэтерианской, предоставляет пример. Чтобы привести менее тривиальный пример,
The ring of polynomials in infinitely many variables, X1, X2, X3, etc. The sequence of ideals (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3), etc. is ascending, and does not terminate. The ring of all algebraic integers is not Noetherian. For example, it contains the infinite ascending chain of principal ideals: (2), (21/2), (21/4), (21/8),
The ring of continuous functions from the real numbers to the real numbers is not Noetherian: Let In be the ideal of all continuous functions f such that f(x) = 0 for all x ≥ n. The sequence of ideals I0, I1, I2, etc., is an ascending chain that does not terminate. The ring of stable homotopy groups of spheres is not Noetherian. However, a non Noetherian ring can be a subring of a Noetherian ring. Since any integral domain is a subring of a field, any integral domain that is not Noetherian provides an example. To give a less trivial example,
The ring of rational functions generated by x and y /xn over a field k is a subring of the field k(x,y) in only two variables. Indeed, there are rings that are right Noetherian, but not left Noetherian, so that one must be careful in measuring the "size" of a ring this way. For example, if L is a subgroup of Q2 isomorphic to Z, let R be the ring of homomorphisms f from Q2 to itself satisfying f(L) ⊂ L. Choosing a basis, we can describe the same ring R as
This ring is right Noetherian, but not left Noetherian; the subset I ⊂ R consisting of elements with a = 0 and γ = 0 is a left ideal that is not finitely generated as a left R module. If R is a commutative subring of a left Noetherian ring S, and S is finitely generated as a left R module, then R is Noetherian. (In the special case when S is commutative, this is known as Eakin's theorem.) However, this is not true if R is not commutative: the ring R of the previous paragraph is a subring of the left Noetherian ring S = Hom(Q2, Q2), and S is finitely generated as a left R module, but R is not left Noetherian. A unique factorization domain is not necessarily a Noetherian ring. It does satisfy a weaker condition: the ascending chain condition on principal ideals. A ring of polynomials in infinitely many variables is an example of a non Noetherian unique factorization domain. A valuation ring is not Noetherian unless it is a principal ideal domain. It gives an example of a ring that arises naturally in algebraic geometry but is not Noetherian.
Кольцо рациональных функций, порожденных x и y/xn над полем k, является подкольцом поля k(x, y) от двух переменных. Действительно, существуют кольца, которые являются правоноэтерианскими, но не левоноэтерианскими, поэтому нужно быть осторожным при измерении "размера" кольца таким образом. Например, если L — подгруппа Q2, изоморфная Z, пусть R — кольцо гомоморфизмов f из Q2 в себя, удовлетворяющих условию f(L) ⊆ L. Выбрав базис, мы можем описать то же кольцо R как
The ring of polynomials in infinitely many variables, X1, X2, X3, etc. The sequence of ideals (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3), etc. is ascending, and does not terminate. The ring of all algebraic integers is not Noetherian. For example, it contains the infinite ascending chain of principal ideals: (2), (21/2), (21/4), (21/8),
The ring of continuous functions from the real numbers to the real numbers is not Noetherian: Let In be the ideal of all continuous functions f such that f(x) = 0 for all x ≥ n. The sequence of ideals I0, I1, I2, etc., is an ascending chain that does not terminate. The ring of stable homotopy groups of spheres is not Noetherian. However, a non Noetherian ring can be a subring of a Noetherian ring. Since any integral domain is a subring of a field, any integral domain that is not Noetherian provides an example. To give a less trivial example,
The ring of rational functions generated by x and y /xn over a field k is a subring of the field k(x,y) in only two variables. Indeed, there are rings that are right Noetherian, but not left Noetherian, so that one must be careful in measuring the "size" of a ring this way. For example, if L is a subgroup of Q2 isomorphic to Z, let R be the ring of homomorphisms f from Q2 to itself satisfying f(L) ⊂ L. Choosing a basis, we can describe the same ring R as
This ring is right Noetherian, but not left Noetherian; the subset I ⊂ R consisting of elements with a = 0 and γ = 0 is a left ideal that is not finitely generated as a left R module. If R is a commutative subring of a left Noetherian ring S, and S is finitely generated as a left R module, then R is Noetherian. (In the special case when S is commutative, this is known as Eakin's theorem.) However, this is not true if R is not commutative: the ring R of the previous paragraph is a subring of the left Noetherian ring S = Hom(Q2, Q2), and S is finitely generated as a left R module, but R is not left Noetherian. A unique factorization domain is not necessarily a Noetherian ring. It does satisfy a weaker condition: the ascending chain condition on principal ideals. A ring of polynomials in infinitely many variables is an example of a non Noetherian unique factorization domain. A valuation ring is not Noetherian unless it is a principal ideal domain. It gives an example of a ring that arises naturally in algebraic geometry but is not Noetherian.
Это кольцо правоноэтерианское, но не левоноэтерианское; подмножество I ⊆ R, состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, который не конечно порожден как левый R-модуль. Если R — коммутативное подкольцо левоноэтерианского кольца S, и S конечно порождено как левый R-модуль, то R является ноэтерианским. (В особом случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Эйкина.) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего абзаца является подкольцом левоноэтерианского кольца S = Hom(Q2, Q2), и S конечно порождено как левый R-модуль, но R не является левоноэтерианским. Область однозначной факторизации не обязательно является ноэтерианским кольцом. Она удовлетворяет более слабому условию: условию восходящей цепи на главных идеалах. Кольцо многочленов от бесконечно многих переменных является примером области однозначной факторизации, не являющейся ноэтерианской. Оценочное кольцо не является ноэтерианским, если оно не является областью однозначной факторизации. Оно предоставляет пример кольца, которое возникает естественным образом в алгебраической геометрии, но не является ноэтерианским.
The ring of polynomials in infinitely many variables, X1, X2, X3, etc. The sequence of ideals (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3), etc. is ascending, and does not terminate. The ring of all algebraic integers is not Noetherian. For example, it contains the infinite ascending chain of principal ideals: (2), (21/2), (21/4), (21/8),
The ring of continuous functions from the real numbers to the real numbers is not Noetherian: Let In be the ideal of all continuous functions f such that f(x) = 0 for all x ≥ n. The sequence of ideals I0, I1, I2, etc., is an ascending chain that does not terminate. The ring of stable homotopy groups of spheres is not Noetherian. However, a non Noetherian ring can be a subring of a Noetherian ring. Since any integral domain is a subring of a field, any integral domain that is not Noetherian provides an example. To give a less trivial example,
The ring of rational functions generated by x and y /xn over a field k is a subring of the field k(x,y) in only two variables. Indeed, there are rings that are right Noetherian, but not left Noetherian, so that one must be careful in measuring the "size" of a ring this way. For example, if L is a subgroup of Q2 isomorphic to Z, let R be the ring of homomorphisms f from Q2 to itself satisfying f(L) ⊂ L. Choosing a basis, we can describe the same ring R as
This ring is right Noetherian, but not left Noetherian; the subset I ⊂ R consisting of elements with a = 0 and γ = 0 is a left ideal that is not finitely generated as a left R module. If R is a commutative subring of a left Noetherian ring S, and S is finitely generated as a left R module, then R is Noetherian. (In the special case when S is commutative, this is known as Eakin's theorem.) However, this is not true if R is not commutative: the ring R of the previous paragraph is a subring of the left Noetherian ring S = Hom(Q2, Q2), and S is finitely generated as a left R module, but R is not left Noetherian. A unique factorization domain is not necessarily a Noetherian ring. It does satisfy a weaker condition: the ascending chain condition on principal ideals. A ring of polynomials in infinitely many variables is an example of a non Noetherian unique factorization domain. A valuation ring is not Noetherian unless it is a principal ideal domain. It gives an example of a ring that arises naturally in algebraic geometry but is not Noetherian.
Основные теоремы
Многие важные теоремы в теории колец (особенно в теории коммутативных колец) основываются на предположении, что кольца ноэтеровы.
Коммутативный случай
В коммутативном ноэтерианском кольце каждый идеал имеет первичное разложение, то есть его можно представить как пересечение конечного числа первичных идеалов (с различными радикалами), где идеал Q называется первичным, если он собственным и всякий раз, когда xy ∈ Q, либо x ∈ Q, либо yⁿ ∈ Q для некоторого положительного целого числа n. Например, если элемент является произведением степеней различных простых элементов, то и, следовательно, первичное разложение является прямым обобщением разложения целых чисел и многочленов на простые множители. Ноэтерианское кольцо определяется через восходящие цепочки идеалов. Лемма Артина — Риса, напротив, предоставляет некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, заданной степенями идеалов. Это технический инструмент, используемый для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема Крулла об пересечении. Теория размерности коммутативных колец ведет себя некорректно для неноэтерианских колец; даже самая фундаментальная теорема, основная теорема Крулла об идеалах, уже опирается на предположение о ноэтерианности. Здесь, на самом деле, предположения о ноэтерианности часто недостаточно, и вместо этого часто используются (ноэтерианские) универсально цепные кольца, удовлетворяющие определенному размерностному условию. Ноэтерианские кольца, встречающиеся в приложениях, в основном являются универсально цепными.
Влияние на инъекционные модули
При заданном кольце существует тесная связь между поведением инъективных модулей над этим кольцом и тем, является ли кольцо ноэтерианским или нет. А именно, для кольца R эквивалентны следующие утверждения: R является левым ноэтерианским кольцом (Басс). Каждая прямая сумма инъективных левых R-модулей инъективна (Фейт–Уокер). Существует кардинальное число κ такое, что каждый инъективный левый R-модуль является прямой суммой модулей, порожденных множеством кардинальности не более κ (модуль называется порожденным, если он имеет порождающее множество кардинальности не более κ). Существует левый R-модуль H, такой что каждый левый R-модуль может быть вложена в прямую сумму копий H.
R is a left Noetherian ring. (Bass) Each direct sum of injective left R modules is injective. (Faith–Walker) There exists a cardinal number such that each injective left module over R is a direct sum of generated modules (a module is generated if it has a generating set of cardinality at most ). There exists a left R module H such that every left R module embeds into a direct sum of copies of H.
Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъективного модуля является локальным, и, следовательно, теорема Азумаи утверждает, что над левым ноэтерианским кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно любому другому (вариант теоремы Крулла–Шмидта).