Кіріспе
Бастапқы мән проблемаларының шешімдерінің болуы және бірегейлігі Математикада, әсіресе дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде, Пикар–Линделоф теоремасы бастапқы мән проблемасының бірегей шешімі болатын жағдайлар жиынтығын анықтайды. Ол Пикардың болмыс теоремасы, Коши–Липшиц теоремасы немесе болмыс пен бірегейлік теоремасы деп те белгілі. Бұл теорема Эмиль Пикард, Эрнст Линделоф, Рудольф Липшиц және Огюстен Луи Коши есімдерімен аталған.
In mathematics, specifically the study of differential equations, the Picard–Lindelöf theorem gives a set of conditions under which an initial value problem has a unique solution. It is also known as Picard's existence theorem, the Cauchy–Lipschitz theorem, or the existence and uniqueness theorem. The theorem is named after Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz and Augustin Louis Cauchy.
Теорема
Келіңіздер, жабық тіктөртбұрыш болсын, және - ішкі аймағы. Келіңіздер, - функциясы -да үздіксіз және -да Липшиц үздіксіз болсын. Онда, ε > 0 болатын бір сан бар, сондықтан бастапқы шарттар мәселесі
интервалында бірегей шешімге ие.
Бірегей емес үлгі
Шешімдердің бірегейлігін түсіну үшін келесі мысалдарды қарастырайық. Дифференциалдық теңдеуде тұрақты нүкте болуы мүмкін. Мысалы, теңдеуі үшін стационарлық шешім болады, ол бастапқы шарты үшін алынады. Егер басқа бастапқы шарттан, яғни -ден бастасақ, y(t) шешімі стационарлық нүктеге ұмтылады, бірақ оған тек шексіз уақыт өткенде жетеді, сондықтан шешімдердің бірегейлігі (барлық шекті уақыт аралығында) кепілдендірілген. Дегенмен, егер стационарлық шешімге шекті уақыт ішінде қол жеткізілсе, бірегейлік бұзылады. Мысалы, теңдеуінің бастапқы шартына сәйкес кем дегенде екі шешімі бар: немесе . Сондықтан, жүйенің t = 0 уақытына дейінгі күйі, t = 0 уақытынан кейінгі күйімен толық анықталмайды. Бірегейлік теоремасы қолданылмайды, себебі функциясы нүктесінде шексіз көлбеуге ие, демек Липшиц үздіксіз емес, және теореманың шартын орындамайды.
so the previous state of the system is not uniquely determined by its state after t = 0. The uniqueness theorem does not apply because the function has an infinite slope at and therefore is not Lipschitz continuous, violating the hypothesis of the theorem.
Басқа теоремалар
Пикард-Линделоф теоремасы шешімнің бар екенін және оның бірегей екенін көрсетеді. Пеаноның бар болу теоремасы тек бар екенін ғана көрсетеді, бірегейлікті емес, бірақ ол тек f функциясы y-ке қатысты үздіксіз деп қарастырады, Липшиц үздіксіздігінің орнына. Мысалы, бастапқы шарты y(0) = 0 теңдеуінің оң жағы үздіксіз, бірақ Липшиц үздіксіз емес. Шындығында, бірегей болудың орнына, бұл теңдеудің кем дегенде үш шешімі бар: тіпті жалпырақ Каратеодоридің бар болу теоремасы, ол f функциясына қатысты нашар жағдайларда (жалпы мағынада) бар екенін дәлелдейді. Бұл жағдайлар жеткілікті болғанымен, бастапқы мән есебінің шешімінің бірегей болуы үшін қажетті және жеткілікті жағдайлар да бар, мысалы, Окамура теоремасы.
Even more general is Carathéodory's existence theorem, which proves existence (in a more general sense) under weaker conditions on f Although these conditions are only sufficient, there also exist necessary and sufficient conditions for the solution of an initial value problem to be unique, such as Okamura's theorem.
Жаһандық шешімнің болуы
Пикард-Линделоф теоремасы бастапқы шарттар берілген мәселелердің шешімдерінің жергілікті интервалда бірегей болатынын, және бұл интервал әр шешім үшін өзгеше болуы мүмкін екенін кепілдік береді. Шешімдердің осы жергілікті интервалдан тысқары қалай өзгеретіні f функциясының қасиеттеріне және f анықталған доменге байланысты. Егер f функциясы жаһандық Липшиц шартын қанағаттандырса, онда шешімдерді ұзартуға болады және олар бүкіл нақты сандар осында анықталған. Алайда, егер f функциясы тек тегіс болса, шешімдер t-нің кейбір мәндері үшін анықталмауы мүмкін. Мысалы, y(0) = 1 бастапқы шарты бар теңдеудің шешімі y(t) = 1/(1-t) болады, ол t = 1 нүктесінде анықталмайды. Бірақ, егер f функциясы тығыз тегіс көпқырлы доменде анықталған тегіс векторлық өріс болса, онда оның барлық траекториялары (интегралды қисықтары) кез келген уақытта бар болады.