Введение

Существование и единственность решений задач с начальными условиями

В математике, в частности в теории дифференциальных уравнений, теорема Пикара — Линделёфа предоставляет набор условий, при которых задача с начальными условиями имеет единственное решение. Она также известна как теорема о существовании Пикара, теорема Коши — Липшица или теорема о существовании и единственности. Теорема названа в честь Эмиля Пикара, Эрнста Линделёфа, Рудольфа Липшица и Огюстена Луи Коши.

Теорема

Пусть R — замкнутый прямоугольник с , внутренность которого обозначена через int(R). Пусть f — функция, непрерывная в R и удовлетворяющая условию Липшица в int(R). Тогда существует такое ε > 0, что начальная задача

имеет единственное решение на интервале .

Пример не-уникальности

Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры. Дифференциальное уравнение может иметь стационарную точку. Например, для уравнения , стационарным решением является , которое достигается при начальном условии. Начиная с другого начального условия , решение y(t) стремится к стационарной точке, но достигает её только в пределе бесконечного времени, поэтому уникальность решений (для всех конечных моментов времени) гарантирована. Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается за конечное время, уникальность нарушается. Это происходит, например, для уравнения , которое имеет по крайней мере два решения, соответствующих начальному условию , например: или . Таким образом, предыдущее состояние системы не определяется однозначно её состоянием после t = 0. Теорема об уникальности неприменима, поскольку функция имеет бесконечный наклон в точке и, следовательно, не является липшицевой, что нарушает условие теоремы.

Другие теоремы существования

Теорема Пикара — Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. Теорема о существовании Пеано показывает лишь существование, но не единственность, при этом предполагается лишь непрерывность функции f по y, а не её липшицевость. Например, правая часть уравнения с начальным условием y(0) = 0 непрерывна, но не является липшицевой. Действительно, вместо единственности, это уравнение имеет по крайней мере три решения:

Ещё более общая – теорема о существовании Каратеодори, которая доказывает существование (в более широком смысле) при более слабых условиях на f. Хотя эти условия являются лишь достаточными, существуют также необходимые и достаточные условия для единственности решения задачи Коши, например, теорема Окамуры.

Глобальное решение

Теорема Пикара — Линделёфа гарантирует, что решения задач с начальными условиями существуют и единственны на некотором локальном интервале, который может зависеть от каждого решения. Поведение решений за пределами этого локального интервала может меняться в зависимости от свойств функции f и области её определения. Если f глобально липшицева, то решения можно продолжить и они определены на всей вещественной прямой. Однако, если f лишь гладкая, решения могут быть не определены для некоторых значений t. Например, уравнение с начальным условием y(0) = 1 имеет решение y(t) = 1/(1 - t), которое не определено при t = 1. Тем не менее, если f — гладкое векторное поле, определённое на области, являющейся компактным гладким многообразием, то все его траектории (интегральные кривые) существуют для всех t.