Кіріспе
Жергілікті тербеліс мінез-құлқының өлшемі
Математикада, жалпы өзгеруі функцияның немесе өлшемнің кодоменасының (жергілікті немесе жаһандық) құрылымымен байланысты бірнеше сәл әртүрлі ұғымдарды анықтайды. Нақты мәнді үздіксіз функция f, [a, b] ⊂ R аралығында анықталған болса, оның анықталу аралығындағы жалпы өзгеруі – x ∈ [a, b] үшін x-ке f(x) параметрлік теңдеуімен сипатталатын қисықтың бір өлшемді доға ұзындығының өлшемі болып табылады. Жалпы өзгеруі шекті болатын функциялар шекті өзгеру функциялары деп аталады.
Тарихи мәлімет
Бір нақты айнымалының функциялары үшін толық вариация ұғымын алғаш рет Камилл Джордан енгізді. Ол бұл жаңа ұғымды үзіліссіз периодты функциялардың Фурье қатарларының жинақтылық теоремасын дәлелдеу үшін қолданды. Дегенмен, бірнеше айнымалының функцияларына бұл ұғымды кеңейту түрлі себептерге байланысты күрделі.
Векторлық мәндер бойынша өлшемдердің жалпы өзгеру нормасы
Осылайша анықталған өзгеріс оң шама болып табылады (қараңыз) және белгілі шама болғанда -мен анықталған өзгеріске сәйкес келеді: оның жалпы өзгерісі жоғарыда көрсетілгендей анықталады. Бұл анықтама векторлық шама болған жағдайда да қолданылады: онда өзгеріс келесі формуламен анықталады.
мұндағы жоғары шек жоғарыда көрсетілгендей алынады. Бұл анықтама берілген анықтамадан сәл жалпырақ, себебі ол кеңістіктің тек шекті бөліністерін қарастыруды талап етеді: осыдан ол шекті қосымша шамалардағы жалпы өзгерісті анықтау үшін де қолданылатыны көрінеді.
Дифференциалданған функциялардың жалпы өзгеруі
Функцияның толық өзгеруі анықтамалар мен функционалдардың ең үлкен мәні ретінде емес, берілген функцияны қолданатын интеграл түрінде көрсетілуі мүмкін.
Дәлел
Дәлелдеудің бірінші қадамы – Гаусс-Остроградский теоремасынан шығатын теңдікті дәлелдеу.
Бір шараның жалпы өзгеруі
Жалпы өзгеріс – шектелген өзгерістің өлшемдер кеңістігінде анықталған норма. Жиындардың σ-алгебрасындағы өлшемдер кеңістігі осы нормаға қатысты Банах кеңістігі болып табылады және "ca кеңістігі" деп аталады. Ол үлкен Банах кеңістігінің ішіне кіреді, ол "ba кеңістігі" деп аталады, ол шекті қосылатын (саналамалы қосылатынға қарама-қарсы) өлшемдерден тұрады, сондай-ақ бірдей нормамен. Нормаға байланысты қашықтық функциясы екі өлшем μ және ν арасындағы жалпы өзгеріс қашықтығын анықтайды. R-дегі шекті өлшемдер үшін, μ өлшемнің жалпы өзгерісі мен жоғарыда сипатталған функцияның жалпы өзгерісі арасындағы байланыс мынадай: μ белгілі болса, функцияны былай анықтаңыз:
Содан кейін, μ таңбалы өлшемнің жалпы өзгерісі функцияның жоғарыдағы мағынадағы жалпы өзгерісіне тең. Жалпы, таңбалы өлшемнің жалпы өзгерісі Джорданның ыдырау теоремасын қолдану арқылы анықталады:
кез келген өлшенетін кеңістіктегі μ таңбалы өлшемі үшін.
Қолданбалар
Жалпы өзгеріс – нақты бағаланған функциялар кеңістігінде (бір айнымалы функциялар үшін) немесе интегралданатын функциялар кеңістігінде (көп айнымалы функциялар үшін) анықталған, теріс емес нақты бағаланған функционал ретінде қарастырылуы мүмкін. Функционал ретінде жалпы өзгеріс математика мен инженерияның көптеген салаларында қолданылады, мысалы, оптималды басқару, сандық талдау және вариациялық есептеулерде, онда белгілі бір мәселенің шешімі оның мәнін ең төменге түсіруі керек. Мысал ретінде, жалпы өзгеріс функционалын қолдану келесі екі түрдегі мәселелерде кең таралған:
Numerical analysis of differential equations: it is the science of finding approximate solutions to differential equations. Applications of total variation to these problems are detailed in the article "total variation diminishing"
Image denoising: in image processing, denoising is a collection of methods used to reduce the noise in an image reconstructed from data obtained by electronic means, for example data transmission or sensing. "Total variation denoising" is the name for the application of total variation to image noise reduction; further details can be found in the papers of and A sensible extension of this model to colour images, called Colour TV, can be found in .
Дифференциалдық теңдеулерді сандық талдау: бұл дифференциалдық теңдеулерге жуық шешімдер табу ғылымы. Жалпы өзгерістің осы мәселелерге қолданылуы "Жалпы өзгерісті азайту" мақаласында егжей-тегжейлі сипатталған.
Numerical analysis of differential equations: it is the science of finding approximate solutions to differential equations. Applications of total variation to these problems are detailed in the article "total variation diminishing"
Image denoising: in image processing, denoising is a collection of methods used to reduce the noise in an image reconstructed from data obtained by electronic means, for example data transmission or sensing. "Total variation denoising" is the name for the application of total variation to image noise reduction; further details can be found in the papers of and A sensible extension of this model to colour images, called Colour TV, can be found in .
Кескінді шудан тазалау: бейне өңдеуде шудан тазалау – электрондық құралдармен алынған деректерден (мысалы, деректерді беру немесе сезіну арқылы) қалпына келтірілген кескіндідегі шуды азайту үшін қолданылатын әдістер жиынтығы. "Жалпы өзгеріспен шудан тазалау" – бұл бейнедегі шуды азайту үшін жалпы өзгерісті қолдану атауы; толыққанды мәліметтерді және түсті кескіндерге осы модельді кеңейтуді табуға болады.
Numerical analysis of differential equations: it is the science of finding approximate solutions to differential equations. Applications of total variation to these problems are detailed in the article "total variation diminishing"
Image denoising: in image processing, denoising is a collection of methods used to reduce the noise in an image reconstructed from data obtained by electronic means, for example data transmission or sensing. "Total variation denoising" is the name for the application of total variation to image noise reduction; further details can be found in the papers of and A sensible extension of this model to colour images, called Colour TV, can be found in .
Тарихи сілтемелер
. . . . (Gallica сайтынан алуға болады). Борис Голубовтың пікірінше, бұл шектелген өзгеру функциялары туралы алғашқы мақала. Виталийдің жабу теоремасының алғашқы дәлелін ұсынатын мақала.
Қолданбалар
(сурет өңдеудегі шуды кетіру мәселелерінде жалпы өзгерісті қолдануға арналған жұмыс). Тони Ф. Чан және Джеки (Джианхонг) Шен (2005), Сурет өңдеу және талдау: Вариациялық, PDE, Wavelet және Стохастикалық әдістер, SIAM, (Рудин, Ошер және Фатеми бастаған қазіргі заманғы сурет өңдеудегі Тотальді Вариациялардың терең қарастырылуы және кең қолданылуы).