Введение

Мера локального колебательного поведения

В математике, полная вариация определяет несколько несколько различных понятий, связанных с (локальной или глобальной) структурой области значений функции или меры. Для вещественной непрерывной функции f, определенной на интервале [a, b] ⊂ R, её полная вариация на интервале определения является мерой длины дуги одномерной кривой, заданной параметрическим уравнением x ↦ f(x), для x ∈ [a, b]. Функции, полная вариация которых конечна, называются функциями ограниченной вариации.

Историческая записка

Концепция полной вариации для функций одной вещественной переменной была впервые введена Камилем Жорданом в его статье. Он использовал эту новую концепцию для доказательства теоремы о сходимости для рядов Фурье разрывных периодических функций, чья вариация ограничена. Однако, расширение этой концепции на функции более чем одной переменной не является простым по ряду причин.

Общая норма изменения векторальных величин

Таким образом, изменение, определенное таким образом, является положительной мерой (см.) и совпадает с определением, данным в , когда μ является знакомерой: его общая вариация определяется, как указано выше. Это определение также работает, если μ является векторной мерой: в этом случае вариация определяется следующей формулой

где супремум определяется, как указано выше. Это определение немного более общее, чем определение, данное в , поскольку оно требует рассмотрения только конечных разбиений пространства : это означает, что его также можно использовать для определения общей вариации на конечно-аддитивных мерах.

Общая вариация дифференцируемых функций

Общая вариация функции может быть выражена как интеграл, включающий данную функцию, а не как супремум функционалов, соответствующих определениям и .

Доказательство

Первый шаг в доказательстве — доказать равенство, вытекающее из теоремы Гаусса — Остроградского.

Общее изменение меры

Общая вариация — это норма, определенная на пространстве мер ограниченной вариации. Пространство мер на σ-алгебре множеств является пространством Банаха, называемым пространством ca, относительно этой нормы. Оно содержится в большем пространстве Банаха, называемом пространством ba, состоящим из конечно аддитивных (в отличие от счетно аддитивных) мер, также с той же нормой. Функция расстояния, связанная с этой нормой, порождает расстояние полной вариации между двумя мерами μ и ν. Для конечных мер на R связь между полной вариацией меры μ и полной вариацией функции, как описано выше, устанавливается следующим образом. Задана мера μ, определим функцию

Тогда полная вариация знакопеременной меры μ равна полной вариации функции в вышеуказанном смысле. В общем случае, полная вариация знакопеременной меры может быть определена с использованием теоремы о разложении Жордана следующим образом:

для любой знакопеременной меры μ на измеримом пространстве.

Приложения

Общая вариация может рассматриваться как неотрицательный функционал, принимающий действительные значения, определенный на пространстве функций, принимающих действительные значения (в случае функций одной переменной) или на пространстве интегрируемых функций (в случае функций нескольких переменных). Как функционал, общая вариация находит применение в различных областях математики и инженерии, таких как оптимальное управление, численный анализ и вариационное исчисление, где решение определенной задачи должно минимизировать ее значение. В качестве примера, использование функционала общей вариации широко распространено в следующих двух типах задач:

Численный анализ дифференциальных уравнений: это раздел науки, занимающийся поиском приближенных решений дифференциальных уравнений. Применение общей вариации к этим задачам подробно описано в статье "Total Variation Diminishing" (Уменьшение общей вариации).

Восстановление изображений (удаление шума): в обработке изображений, восстановление изображений – это совокупность методов, используемых для уменьшения шума в изображении, реконструированном из данных, полученных электронным путем, например, при передаче данных или измерении. "Total Variation Denoising" (Обезшумливание с использованием общей вариации) – это название для применения общей вариации к задаче снижения шума изображений; более подробную информацию можно найти в работах и . Разумное расширение этой модели для цветных изображений, известное как Colour TV, представлено в .

Исторические ссылки

(доступно в Gallica). Это, по словам Бориса Голубова, первая работа о функциях с ограниченной вариацией. В этой статье содержится первое доказательство теоремы Витали о покрытии.

Приложения

(работа, посвященная применению тотальной вариации для решения задач шумоподавления в обработке изображений). Тони Ф. Чан и Джеки (Джианхон) Шен (2005), Обработка изображений и анализ: вариационные, PDE, вейвлетные и стохастические методы, SIAM (с углубленным изложением и широким спектром применений тотальной вариации в современной обработке изображений, как это было начато Рудином, Ошером и Фатеми).