Кіріспе
Комплекстік жазықтықтағы жолдар бойынша белгілі бір интегралдарды есептеу әдісі. Комплекстік жазықтықтағы сызықтық интеграл.
the line integral in the complex plane
Комплекстік анализ математикалық саласында контурлық интеграл – бұл күрделі жазықтықтағы жолдар бойынша белгілі бір интегралдарды есептеу әдісі. Контурлық интеграл қалдықтар есебімен тығыз байланысты, ол күрделі анализдің бір әдісі. Контурлық интегралдардың бір қолданылуы – нақты айнымалы әдістерін ғана қолдану арқылы оңай есептелмейтін нақты сызық бойымен интегралдарды есептеу. Контурлық интеграл әдістеріне мыналар жатады: күрделі жазықтықтағы қисық бойындағы комплекс санды функцияны тікелей интегралдау; Коши интеграл формуласын қолдану; және қалдық теоремасын қолдану. Осы интегралдарды немесе қосындыларды табу үшін бір әдіс немесе осы әдістердің комбинациясы, немесе түрлі лимиттеу процестерін қолдануға болады.
direct integration of a complex valued function along a curve in the complex plane;
application of the Cauchy integral formula; and
application of the residue theorem. One method can be used, or a combination of these methods, or various limiting processes, for the purpose of finding these integrals or sums.
Күрделі жазықтықтағы қисықтар
Комплекстік талдауда контур — күрделі жазықтықтағы қисық түрі. Контурлық интеграцияда контурлар интегралды дұрыс анықтауға болатын қисықтардың нақты анықтамасын береді. Күрделі жазықтықтағы қисық — нақты сандар түзуінің жабық аралығынан күрделі жазықтыққа дейінгі үздіксіз функция ретінде анықталады:
Бұл қисық анықтамасы қисық туралы интуитивті түсінікпен сәйкес келеді, бірақ жабық аралықтан үздіксіз функциямен параметризацияны қамтиды. Бұл дәл анықтама интеграция үшін пайдалы болуы үшін қисықтың қандай қасиеттерге ие болуы керектігін қарастыруға мүмкіндік береді. Келесі тармақшаларда біз интегралдауға болатын қисықтар жиынтығын шектейміз, тек шекті сандағы үздіксіз қисықтардан құралған және бағытталған қисықтарды ғана қамтимыз. Сонымен қатар, біз қисықтардың бөліктерінің бір-бірімен қиылысуына жол бермейміз және әр бөліктің шекті (нөлдік емес) үздіксіз туындысы болуын талап етеміз. Бұл талаптар бізден тек қаламмен, мысалы, қаламды көтермей, тек жаңа бөлігін салу үшін тоқтаған, бірқалыпты және тұрақты қозғалыстармен салынатын қисықтарды қарастыруды талап етеді.
This definition of a curve coincides with the intuitive notion of a curve, but includes a parametrization by a continuous function from a closed interval. This more precise definition allows us to consider what properties a curve must have for it to be useful for integration. In the following subsections we narrow down the set of curves that we can integrate to include only those that can be built up out of a finite number of continuous curves that can be given a direction. Moreover, we will restrict the "pieces" from crossing over themselves, and we require that each piece have a finite (non vanishing) continuous derivative. These requirements correspond to requiring that we consider only curves that can be traced, such as by a pen, in a sequence of even, steady strokes, which stop only to start a new piece of the curve, all without picking up the pen.
Бағытталған тегіс қисықтар
Контурлар көбінесе бағытталған тегіс қисықтар түрінде анықталады. Бұл, контурдың құралатын тегіс қисықтың "бөлігінің" нақты анықтамасын береді. Тегіс қисық – әрбір нүкте бір рет қана өтетін (z бірге-бірге сәйкес келеді), және мүмкін, соңғы нүктелері сәйкес келетін қисық. Егер соңғы нүктелері сәйкес келсе, қисық жабық деп аталады, және функция барлық жерде бірге-бірге болуы керек, ал туындысы анықталған нүктеде үздіксіз болуы тиіс. Жабық емес тегіс қисық көбінесе тегіс доға деп аталады. Қисықтың параметризациясы қисық бойындағы нүктелердің табиғи ретін анықтайды: егер , онда алдында келеді. Бұл бағытталған тегіс қисық түсінігіне әкеледі. Қисықтарды нақты параметризацияға тәуелсіз қарастыру тиімді. Бұл, бір бағытталған тегіс қисықтардың эквиваленттілік кластарын қарастыру арқылы іске асырылуы мүмкін. Бағытталған тегіс қисық, кейбір тегіс қисықтың табиғи ретімен (параметризацияға сәйкес) бейнесі болатын, күрделі жазықтықтағы нүктелердің реттелген жиынтығы ретінде анықталады. Барлық нүктелердің реті, тегіс қисықтың табиғи реті емес екенін ескеру керек. Шындығында, берілген тегіс қисықтың тек екі реті ғана болады. Сондай-ақ, бір жабық қисықтың кез келген нүктесі оның соңғы нүктесі бола алады, ал тегіс доғаның соңғы нүктелері үшін тек екі таңдау бар.
Контурлары
Контурлар – контурлық интеграцияны анықтайтын қисықтар класы. Контур – бағытталған тегіс қисықтардың шекті тізбегінен құралған, бағыты бір жақты қисық. Бұл тізбектегі қисықтардың соңғы нүктесі келесі қисықтың бастапқы нүктесімен сәйкес болуын қажет етеді. Бұл барлық бағытталған тегіс қисықтарды қамтиды. Сондай-ақ, комплекс жазықтықтағы бір нүкте де контур болып есептеледі. Жаңа қисық құру үшін қисықтарды біріктіруді білдіру үшін көбінесе символ қолданылады. Осылайша, қисықтардан тұратын контурды былай жазуға болады:
Контурлық интегралдар
Күрделі функцияның контурлық интегралы — нақты мәнді функциялардың интегралының жалпылама түрі. Күрделі жазықтықтағы үздіксіз функциялар үшін контурлық интеграл сызықтық интегралға ұқсас түрде, ең алдымен интегралды бағытталған тегіс қисық бойымен нақты мәнді параметр арқылы интеграл ретінде анықтауға болады. Контурды бөліктерге бөлу арқылы, интервалды бөлу және Риман интегралы сияқты, көбірек жалпылама анықтама беруге болады. Екі жағдайда да контурдағы интеграл контур құрайтын бағытталған тегіс қисықтардағы интегралдардың қосындысы ретінде анықталады.
Риман интегралының жалпылауы ретінде
Риман интегралының күрделі айнымалы функцияларына жалпылауы, нақты сандардағы функциялар үшін берілген анықтамасымен толық үйлеседі. Бағытталған тегіс қисықтың бөлігі – қисықтағы нүктелердің шекті, реттелген жиынтығы ретінде анықталады. Қисық бойындағы интеграл – функция мәндерінің шекті сомаларының лимиті болып табылады, бұл мәндер бөліктің нүктелерінде алынады, ал бөліктің кез келген екі тікелей жатқан нүктелері арасындағы ең үлкен қашықтық (екі өлшемді кешенді жазықтықта), сондай-ақ тор деп аталатын шама, нөлге жақындайды.
Контурлық белгі
Қызықтап айтқанда, жарты шеңбердің басқа да сингулярлықты, −i-ні қамтуы мүмкін бе деген сұрақ туындауы мүмкін. Нақты ось бойымен интегралдың дұрыс бағытта жылжуын қамтамасыз ету үшін контур сағат тілі бойынша, яғни кері бағытта жүруі керек, бұл интегралдың жалпы таңбасын өзгертеді. Бұл, қалдықтар әдісін қатарлар арқылы қолдануға кедерес келтірмейді.
Көп айнымалы контурлы интегралдар
Көп өзгермелі контурлы интегралдарды (яғни, беттік интегралдарды, күрделі көлемдік интегралдарды және жоғары ретті интегралдарды) шешу үшін дивергенция теоремасын қолдану қажет. Қазіргі уақытта, және бір-бірімен алмастырылатын болады. Екеуі де белгіленген векторлық өрістің дивергенциясын көрсетеді. Бұл теорема былай тұжырымдалады:
Сонымен қатар, мәнін есептеу қажет, мұнда – -ның басқаша жазылу түрі. Кез келген өлшемдегі дивергенция мына түрде сипатталады:
2-ші мысал
Векторлық өрісті қарастырайық, және бұл жағдайда 4 параметр бар екенін ескерейік. Осы векторлық өріс мынамен шектелген:
To evaluate this, we must utilize the divergence theorem as stated before, and we must evaluate Let
Thus, we can evaluate a contour integral with We can use the same method to evaluate contour integrals for any vector field with as well.
Мұны анықтау үшін, бұрын айтылғандай, дивергенция теоремасын қолдануымыз керек, және біз есептеуіміз керек. Осылайша, біз контурлық интегралды есептеуге болады. Біз осы әдісті кез келген векторлық өріс үшін де контурлық интегралды есептеу үшін пайдалана аламыз.
To evaluate this, we must utilize the divergence theorem as stated before, and we must evaluate Let
Thus, we can evaluate a contour integral with We can use the same method to evaluate contour integrals for any vector field with as well.