Введение

Метод вычисления определенных интегралов по контурам в комплексной плоскости, контурный интеграл в комплексной плоскости.

В математической области комплексного анализа контурное интегрирование — это метод вычисления определенных интегралов по контурам в комплексной плоскости. Контурное интегрирование тесно связано с исчислением вычетов, являющимся методом комплексного анализа. Одно из применений контурных интегралов — вычисление интегралов по вещественной прямой, которые трудно найти, используя только методы вещественного анализа. Методы контурного интегрирования включают:
непосредственное вычисление комплексной функции вдоль кривой в комплексной плоскости;
применение формулы Коши; и
применение теоремы о вычетах. Для вычисления этих интегралов или сумм может использоваться один метод, комбинация этих методов или различные предельные переходы.

Кривые в сложной плоскости

В комплексном анализе контур — это тип кривой на комплексной плоскости. В контурном интегрировании контуры обеспечивают точное определение кривых, на которых интеграл может быть корректно определён. Кривая на комплексной плоскости определяется как непрерывная функция из замкнутого интервала вещественной прямой в комплексную плоскость:
Это определение кривой совпадает с интуитивным представлением о кривой, но включает параметризацию непрерывной функцией из замкнутого интервала. Это более точное определение позволяет нам рассмотреть, какими свойствами должна обладать кривая, чтобы она была пригодна для интегрирования. В следующих подразделах мы сузим множество кривых, которые мы можем интегрировать, включив в него только те, которые можно построить из конечного числа непрерывных кривых, которым можно задать направление. Кроме того, мы исключим возможность самопересечений для отдельных "фрагментов" кривой и потребуем, чтобы каждый фрагмент имел конечную (ненулевую) непрерывную производную. Эти требования соответствуют рассмотрению только тех кривых, которые можно прочертить, например, ручкой, последовательностью плавных, ровных линий, останавливаясь только для перехода к новому фрагменту кривой, при этом не отрывая ручку от бумаги.

Направленные гладкие кривые

Контуры часто определяются в терминах направленных гладких кривых. Они предоставляют точное определение "фрагмента" гладкой кривой, из которого состоит контур. Гладкая кривая – это кривая с ненулевой, непрерывной производной, такая что каждая точка пересекается только один раз (z является взаимно однозначным), за исключением случая, когда начальная и конечная точки совпадают. Если начальная и конечная точки совпадают, кривая называется замкнутой, и функция должна быть взаимно однозначной во всех остальных точках, а производная должна быть непрерывной в точке соединения. Гладкая кривая, которая не замкнута, часто называется гладкой дугой. Параметризация кривой обеспечивает естественный порядок точек на кривой: точка идет перед точкой , если . Это приводит к понятию направленной гладкой кривой. Наиболее целесообразно рассматривать кривые независимо от конкретной параметризации. Это можно сделать, рассматривая классы эквивалентности гладких кривых с одинаковым направлением. Направленная гладкая кривая может быть определена как упорядоченное множество точек на комплексной плоскости, являющееся образом некоторой гладкой кривой в ее естественном порядке (согласно параметризации). Следует отметить, что не всякая упорядоченность точек является естественным порядком гладкой кривой. На самом деле, для данной гладкой кривой существует только два таких порядка. Кроме того, для одной замкнутой кривой любая точка может быть конечной точкой, в то время как для гладкой дуги существует только два возможных выбора для ее конечных точек.

Контуры

Контуры — это класс кривых, на которых определяется контурное интегрирование. Контур — это ориентированная кривая, состоящая из конечной последовательности ориентированных гладких кривых, конечные точки которых согласованы, чтобы образовать единую ориентацию. Это требует, чтобы последовательность кривых была построена таким образом, чтобы конечная точка одной кривой совпадала с начальной точкой следующей для всех таких кривых. Это включает в себя все ориентированные гладкие кривые. Также отдельная точка на комплексной плоскости считается контуром. Символ часто используется для обозначения соединения кривых вместе с образованием новой кривой. Таким образом, контур, состоящий из кривых, можно записать как:

Контурные интегралы

Контурный интеграл комплексной функции является обобщением интеграла для функций вещественного переменного. Для непрерывных функций на комплексной плоскости контурный интеграл может быть определен по аналогии с криволинейным интегралом, сначала определяя интеграл вдоль ориентированной гладкой кривой через интеграл по вещественному параметру. Более общее определение можно дать в терминах разбиения контура по аналогии с разбиением интервала и интегралом Римана. В обоих случаях интеграл по контуру определяется как сумма интегралов по ориентированным гладким кривым, составляющим этот контур.

Как обобщение интеграла Римана

Обобщение интеграла Римана на функции комплексной переменной выполняется в полной аналогии с его определением для функций действительной переменной. Разбиение ориентированной гладкой кривой определяется как конечный упорядоченный набор точек на этой кривой. Интеграл по кривой — это предел конечных сумм значений функции, вычисленных в точках разбиения, при стремлении к нулю максимального расстояния между любыми двумя последовательными точками разбиения (в двумерной комплексной плоскости), также известного как шаг разбиения.

Контурная заметка

К слову, может возникнуть вопрос, не следует ли нам выбирать полукруг так, чтобы он включал другую сингулярность, охватывающую −i. Чтобы интеграл вдоль действительной оси двигался в правильном направлении, контур должен проходить по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, что меняет знак интеграла в целом. Это не повлияет на применение метода вычетов для рядов.

Многомерные интегралы контуров

Для решения многомерных контурных интегралов (то есть поверхностных интегралов, комплексных объемных интегралов и интегралов более высокого порядка) необходимо использовать теорему дивергенции. Пока что будем считать и взаимозаменяемыми. Оба обозначения будут представлять дивергенцию векторного поля, обозначаемого как . Эта теорема утверждает:

Кроме того, нам также потребуется вычислить , где – альтернационная запись для . Дивергенция в любом измерении может быть описана как

Пример 2

Пусть векторное поле, и отметим, что в данном случае имеется 4 параметра. Пусть это векторное поле ограничено следующим:

Для оценки этого необходимо воспользоваться теоремой дивергенции, как было указано ранее, и вычислить. Пусть, таким образом, мы можем вычислить контурный интеграл с. Таким же методом можно вычислить контурные интегралы для любого векторного поля с также.