Кіріспе

Коммутативтік алгебрадағы ұғым

Коммутативтік алгебрада, коммутативтік сақиналарды математикалық зерттеуде, адикалық топологиялар модульдің негізгі жиынындағы топологиялардың бір отбасы болып табылады, ол бүтін сандардағы p-адикалық топологияларды жалпылайды.

Анықтама

R коммутативті сақина және M – R модулі болсын. Онда R-дің кез келген идеалы 𝔞, M-де 𝔞-адикалық топология деп аталатын топологияны анықтайды, ол псевдометриялық арқылы сипатталады. Бұл топология үшін негіз отбасы болып табылады.

Қасиеттері

Топологияға қатысты, қосу және скалярлық көбейту модульдік амалдары үздіксіз болғандықтан, M топологиялық модульге айналады. Дегенмен, M міндетті түрде Хаусдорф бола бермейді; ол тек қана d нақты метрика болған жағдайда ғана Хаусдорф болады. Топологиядағы қалыпты терминологияға сәйкес, Хаусдорф кеңістігі сондай-ақ бөлінген деп аталады, сондықтан бұл жағдайда адикалық топология бөлінген деп аталады. Круллдің қиылысу теоремасы бойынша, егер R – интегралды домен немесе жергілікті сақина болатын Нотер сақинасы болса, онда ол R-дың кез келген дұрыс идеалы 𝔞 үшін орындалады. Осылайша, осы шарттарда, R-дың кез келген дұрыс идеалы 𝔞 және кез келген R модулі M үшін, M-дегі 𝔞-адикалық топология бөлінген болады. M-нің N субмодулі үшін, M/N-ге каноникалық гомоморфизм, 𝔞-адикалық топологиямен сәйкес келетін бөлік топологиясын тудырады. Осыған ұқсас нәтиже, N субмодулінің өзі үшін міндетті түрде дұрыс емес: субкеңістік топологиясының 𝔞-адикалық топология болуы қажет емес. Алайда, егер R Нотерлік және M шекті түрде туындаған болса, онда екі топология да сәйкес келеді. Бұл Артин-Рис леммасынан туындайды.

Аяқтау

M Хаусдорф болса, M метрикалық кеңістік ретінде толықтырылуы мүмкін; нәтижедегі кеңістік модульдік операцияларды үздіксіздік бойынша кеңейту арқылы алынған модульдік құрылымға ие. Ол сондай-ақ (немесе каноникалық түрде изоморфты): , оң жағы табиғи проекция арқылы алынған quotient модульдерінің кері лиміті болып табылады. Мысалы, k өрісіндегі полиномдық сақина және (бірегей) гомогендік максималдық идеал болсын. Содан кейін, k-нің n айнымалысындағы формальды қуат қатарлары сақинасы.

Жабық қосалқы модульдер

Жоғарыда айтылғанның салдарынан, субмодульдің 𝔞-дық жабылуы болып табылады. Бұл жабылу R 𝔞-дық толық болғанда және M шекті түрде туындағанда N-мен сәйкес келеді. Егер R-дегі әрбір идеал 𝔞-дық жабық болса, онда R-ді 𝔞-ға қатысты Зариски деп атайды. Оның сипаттамасы бар: R 𝔞-ға қатысты Зариски болады, егер және тек егер 𝔞, R-дің Якобсон радикалында қамтылған болса. Атап айтқанда, Ноэтерлік жергілікті сақина максималдық идеалға қатысты Зариски болады.