Введение

Концепция в коммутативной алгебре

В коммутативной алгебре, математической области, изучающей коммутативные кольца, адические топологии — это семейство топологий на базовом множестве модуля, обобщающее p-адические топологии на целых числах.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а M — R-модуль. Тогда каждый идеал 𝔞 кольца R определяет на M топологию, называемую 𝔞-адической топологией, характеризуемую псевдометрикой. Семейство является базой для этой топологии.

Свойства

Что касается топологии, операции сложения и скалярного умножения в модуле непрерывны, поэтому M становится топологическим модулем. Однако, M не обязательно является хаусдорфовым; оно является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда d является настоящей метрикой. В соответствии с общепринятой терминологией в топологии, где хаусдорфово пространство также называют разделенным, в этом случае адическая топология называется разделенной. По теореме Крулла об пересечениях, если R – кольцо Ноэтера, являющееся областью целостности или локальным кольцом, то для любого собственного идеала 𝔞 в R выполняется . Таким образом, при этих условиях, для любого собственного идеала 𝔞 в R и любого R-модуля M, адическая топология на M является разделенной. Для подмодуля N модуля M, канонический гомоморфизм в M/N индуцирует фактор-топологию, которая совпадает с адической топологией. Аналогичное утверждение не обязательно верно для самого подмодуля N: индуцированная топология подпространства не обязательно совпадает с адической топологией. Однако, эти две топологии совпадают, когда R является ноэтерианским, а M конечно порожденным. Это следует из леммы Артина-Риса.

Завершение

Когда M является хаусдорфовым пространством, его можно дополнить до метрического пространства; полученное пространство обозначается и обладает модульной структурой, полученной расширением модульных операций по непрерывности. Оно также тождественно (или канонически изоморфно): , где правая часть представляет собой обратный предел фактормодулей относительно естественных проекций. Например, пусть — кольцо многочленов над полем k, а — (единственный) однородный максимальный идеал. Тогда , — кольцо формальных степенных рядов над k от n переменных.

Закрытые подмодули

Вследствие вышесказанного, адическое замыкание подмодуля равно [здесь должно быть математическое выражение, отсутствующее в оригинале]. Это замыкание совпадает с N, когда R является адически полным, а M конечно порожденным. Кольцо R называется Зариски относительно 𝔞, если каждый идеал в R является адически замкнутым. Существует характеристизация: R является Зариски относительно 𝔞 тогда и только тогда, когда 𝔞 содержится в радикале Якобсона R. В частности, нётерово локальное кольцо является Зариски относительно максимального идеала.