Кіріспе
Алгебрада, тривиалды емес факторлары жоқ элемент. Алгебрада, интегралдық домендегі бөлгішсіз элемент – нөлдік емес элемент, ол кері айналдырылмайтын (яғни, бірлік емес) және екі кері айналдырылмайтын элементтің көбейтіндісі емес. Бөлгішсіз элементтер – факторлау процесінің соңғы элементтері; яғни, олар бұдан әрі факторланбайтын факторлар. Егер интегралдық домен бірегей факторлау домені болса, элементтің бөлгішсіз факторлары бірлікке көбейтуге дейін бірегей түрде анықталады. 19-шы ғасырда кейбір сандық өрістердегі бүтін сандардың сақиналары бірегей факторлау домендері емес екендігі анықталды, сондықтан кейбір бөлгішсіз элементтер элементтің бір факторлауында пайда болуы мүмкін, бірақ сол элементтің басқа факторлауында болмайды. Осы фактіні білмеу – Ферманың соңғы теоремасының Ферманың тұжырымы мен Уайлстың дәлелі арасындағы үш ғасыр ішінде келтірілген көптеген қате дәлелдемелердің негізгі қателігі. Егер А интегралдық домен болса, онда х – А-ның бөлгішсіз элементі болады, егер және тек қана барлық у үшін теңдеу х = уv болғанда, х-тың тудырған идеалы у-тың тудырған идеалына тең немесе v-тың тудырған идеалына тең болады. Бұл эквиваленттілік жалпы коммутативтік сақиналар үшін орындалмайды, сондықтан сақинада нөлден өзге нөлдік бөлгіштер жоқ деген шарт бөлгішсіз элементтердің анықтамасында жиі қолданылады. Сондай-ақ, бөлгішсіз элементтің анықтамасын кез келген коммутативтік сақинаға кеңейтудің бірнеше тәсілдері бар.
In algebra, an irreducible element of an integral domain is a non zero element that is not invertible (that is, is not a unit), and is not the product of two non invertible elements. The irreducible elements are the terminal elements of a factorization process; that is, they are the factors that cannot be further factorized. The irreducible factors of an element are uniquely defined, up to the multiplication by a unit, if the integral domain is a unique factorization domain. It was discovered in the 19th century that the rings of integers of some number fields are not unique factorization domains, and, therefore, that some irreducible elements can appear in some factorization of an element and not in other factorizations of the same element. The ignorance of this fact is the main error in many of the wrong proofs of Fermat's Last Theorem that were given during the three centuries between Fermat's statement and Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. If is an integral domain, then is an irreducible element of if and only if, for all , the equation implies that the ideal generated by is equal to the ideal generated by or equal to the ideal generated by This equivalence does not hold for general commutative rings, which is why the assumption of the ring having no nonzero zero divisors is commonly made in the definition of irreducible elements. It results also that there are several ways to extend the definition of an irreducible element to an arbitrary commutative ring.
Басты элементтермен байланысы
Кемелденбейтін элементтерді негізгі элементтермен шатастыруға болмайды. (Коммутативті сақинадағы нөлдік емес, бірлікке тең емес элемент, егер кез келген және үшін , онда немесе болатын жағдайда, негізгі деп аталады.) Ціл доменде әрбір негізгі элемент кемелденбейді, бірақ керісінше әрқашан дұрыс болмайды. Бірегей факторлау домендері үшін керісі дұрыс.