Введение
В алгебре, элемент без нетривиальных множителей. В алгебре, неприводимый элемент целостного домена — это ненулевой элемент, который не является обратимым (то есть не является единицей) и не является произведением двух необратимых элементов. Неприводимые элементы являются конечными элементами процесса разложения на множители; то есть, это множители, которые нельзя разложить на множители дальше. Неприводимые множители элемента определены однозначно с точностью до умножения на единицу, если целостный домен является областью однозначной факторизации. В XIX веке было обнаружено, что кольца целых чисел некоторых числовых полей не являются областями однозначной факторизации и, следовательно, некоторые неприводимые элементы могут встречаться в некоторых разложениях элемента, но не в других разложениях того же элемента. Незнание этого факта является основной ошибкой во многих неверных доказательствах последней теоремы Ферма, которые были предложены в течение трех столетий между формулировкой Ферма и доказательством последней теоремы Ферма Уайлсом. Если R — целостный домен, то элемент r является неприводимым элементом R тогда и только тогда, когда для всех a, b уравнение ab = r влечет за собой, что идеал, порожденный a, равен идеалу, порожденному r, или идеал, порожденный b, равен идеалу, порожденному r. Эта эквивалентность не выполняется для общих коммутативных колец, поэтому в определении неприводимых элементов обычно делается предположение об отсутствии ненулевых делителей нуля в кольце. Также существует несколько способов расширить определение неприводимого элемента на произвольное коммутативное кольцо.
In algebra, an irreducible element of an integral domain is a non zero element that is not invertible (that is, is not a unit), and is not the product of two non invertible elements. The irreducible elements are the terminal elements of a factorization process; that is, they are the factors that cannot be further factorized. The irreducible factors of an element are uniquely defined, up to the multiplication by a unit, if the integral domain is a unique factorization domain. It was discovered in the 19th century that the rings of integers of some number fields are not unique factorization domains, and, therefore, that some irreducible elements can appear in some factorization of an element and not in other factorizations of the same element. The ignorance of this fact is the main error in many of the wrong proofs of Fermat's Last Theorem that were given during the three centuries between Fermat's statement and Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. If is an integral domain, then is an irreducible element of if and only if, for all , the equation implies that the ideal generated by is equal to the ideal generated by or equal to the ideal generated by This equivalence does not hold for general commutative rings, which is why the assumption of the ring having no nonzero zero divisors is commonly made in the definition of irreducible elements. It results also that there are several ways to extend the definition of an irreducible element to an arbitrary commutative ring.
Отношения с простыми элементами
Нередуцируемые элементы не следует путать с простыми элементами. (Ненулевой и не являющийся единицей элемент в коммутативном кольце называется простым, если для любых элементов a и b из этого кольца, ab является простым элементом, то либо a, либо b являются простыми элементами.) В интегральной области каждый простой элемент является нередуцируемым, но обратное утверждение не всегда верно. Обратное утверждение верно для областей однозначной факторизации.