Кіріспе

Британдық математик (1925–2015)

Клаус Фридрих Рот (29 қазан 1925 – 10 қараша 2015) – алгебралық сандардың Диофантилік жуықтауы туралы Рот теоремасын дәлелдегені үшін Филдс медалімен марапатталған, Германияда туған британдық математик. Ол сондай-ақ Де Морган медалі мен Сильвестр медалінің иегері және Корольдік қоғамның мүшесі болды. Рот 1933 жылы нацистерден қашу үшін бала кезінде Англияға көшіп келді, Кембридж университетінде және Лондон Университетінің колледжінде білім алып, 1950 жылы докторлық диссертациясын қорғады. Ол 1966 жылға дейін Лондон Университетінің колледжінде оқытты, содан кейін Лондон Императорлық колледжінде кафедра меңгерді. 1988 жылы зейнетке шықты. Диофантилік жуықтау саласындағы еңбектерінен бөлек, Рот арифметикалық комбинаторикадағы прогрессиясыз жиынтар теориясына және үлестірілімнің бұзылу теориясына маңызды үлес қосты. Ол сонымен қатар сандардың дәрежелік қосындылары, үлкен ілкіш, Хайльбронн үшбұрышының мәселесі және квадрат ішіне квадратты орналастыру бойынша зерттеулерімен де танымал. Ол "Бүтін сандар тізбектеріндегі тізбектер" кітабының тең авторы болды.

Ерте өмір

Рот 1925 жылы 29 қазанда Пруссияның Бреслав қаласында еврей отбасында дүниеге келді. 1933 жылы нацистердің қудалауынан қашып, оның ата-анасы онымен бірге Лондонға көшіп келді, ол Ұлыбританияда өсіп, білім алды. Оның әкесі заңгер болған, Бірінші дүниежүзілік соғыс кезінде у газға ұшырап, Рот әлі жас кезінде қайтыс болды. Рот 1939 жылдан 1943 жылға дейін Лондонның Сент-Полс мектебінде оқыды, және мектептің қалған оқушыларымен бірге ол Лондоннан Истэмпстед паркіне эвакуацияланды. Мектепте ол шахмат және математика саласындағы қабілетімен белгілі болды. Ол Әуе дайындық корпусына қосылуға тырысты, бірақ неміс болғандықтан бірнеше жыл бойы, содан кейін ұшқышқа қажетті координацияның жетіспеуіне байланысты қабылданбады.

Математикалық білім беру

Рот Кембридждің Питерхаус колледжінде математика оқыды және Кембридж шахмат командасының бірінші нөмірі болып ойнады, 1945 жылы аяқтады. Математикадағы қабілетіне қарамастан, математикалық трипоста үшінші сынып диплом алды, себебі емтиханды нашар тапсырды. Оның Кембриджтегі жетекшісі Джон Чарльз Бёркхилл Роттың математикамен айналысуын қолдамады, оның орнына "статистикалық бағыты бар коммерциялық жұмыс" істеуін ұсынды. Оның орнына, Кембриджді бітіргеннен кейін және аспирантураны бастамас бұрын, Gordonstoun мектебінде қысқа мерзімге мұғалім болып жұмыс істеді. Гарольд Давенпорттың ұсынысымен 1946 жылы Лондон университетінің колледжінде математика бойынша магистрлік бағдарламаға қабылданды, онда Теодор Эстерманннің жетекшілігімен жұмыс істеді. 1948 жылы магистр дәрежесін, ал 1950 жылы докторлық диссертациясын қорғады. Оның диссертациясының тақырыбы – "Көптеген оң бүтін сандардың квадраты, оң кубы және төртінші дәрежесінің қосындысы екендігінің дәлелі".

Жеке өмір

1955 жылы Рот өзінің алғашқы лекциясында студент кезінде оның назарын аударған Мелек Хаириге үйленді; Хаири египеттік сенатор Хаири Пашаның қызы болды. Ол Лондон университетінің психология факультетінде жұмыс істеді, онда ол егеуқырларға удың әсері туралы зерттеулер жариялады. Рот зейнетке шыққаннан кейін олар Инвернесске көшті; Рот үйлерінің бір бөлмесін латын билеуіне арнады, бұл олардың ортақ әуесқойлығы еді. Хаири 2002 жылы қайтыс болды, ал Рот 2015 жылғы 10 қарашада Инвернесте 90 жасында дүние салды. Олардың балалары болмады, және Рот өзінің мүлкінің көп бөлігін, бір миллион фунттан астам соманы, "Инвернесс қаласында тұратын қарттар мен денсаулығы нашар адамдарға көмектесу" мақсатында екі медициналық қайырымдылық қорына бөлді. Ол Филдс медалін Питерхаузға шағын мұралықпен бірге жіберді.

Үлестер

Рот математикада теория құрушы емес, проблемаларды шешуші ретінде белгілі болды. Гарольд Давенпорттың айтуынша, "доктор Роттың еңбегінен алынған сабақ" – "математиканың әлі шешілмеген маңызды мәселелері, қаншалықты қиын және күрделі болса да, оларға тікелей шабуыл жасау арқылы жеңіске жете алуға болады, және оларға қанша күш жұмсалған болса да". Оның ғылыми еңбектерінің тақырыптары сандар теориясы, айырмашылықтар теориясы және бүтін сандар тізбектерінің теориясын қамтыды.

Диофантикалық шамалау

Диофантикалық жуықтау мәселесі иррационал сандарды рационал сандар арқылы дәл жуықтауды зерттейді. Алгебралық сандарды қаншалықты дәл жуықтауға болады деген сұрақ Аксель Тью мен Карл Людвиг Сигельдің осы мәселедегі бұрынғы жетістіктерінен кейін Тью-Сигель мәселесі деп аталды. Жуықтаудың дәлдігін санның жуықтау көрсеткішімен өлшеуге болады, ол – берілген сан үшін шексіз көп рационал жуықтамалары бар ең үлкен сан ретінде анықталады. Егер жуықтау көрсеткіші үлкен болса, онда сол санның кішкенере көрсеткіші бар сандарға қарағанда дәл жуықтамалары көбірек болады. Ең кіші мүмкін жуықтау көрсеткіші – екі: тіпті ең қиын жуықтауға болатын сандарды да үздіксіз бөлшектерді пайдалана отырып, көрсеткіші екіге тең етіп жуықтауға болады. Роттың жұмысына дейін алгебралық сандарды анықтайтын полиномның дәрежесіне байланысты үлкен жуықтау көрсеткіші болуы мүмкін деп есептелді. 1955 жылы Рот қазір Рот теоремасы деп аталатын теореманы жариялап, осы мәселені толық шешті. Оның теоремасы жуықтау көрсеткіші мен дәреже арасындағы болжамды байланысты жоққа шығарды және жуықтау көрсеткіші тұрғысынан алгебралық сандар кез келген иррационал сандардың ішінде ең аз дәлдікпен жуықталады екенін дәлелдеді. Нақтырақ айтқанда, ол иррационал алгебралық сандар үшін жуықтау көрсеткіші әрқашан дәл екіге тең екенін дәлелдеді. 1958 жылы Харольд Давенпорттың Халықаралық математиктер конгресінде Роттың жұмысына жасаған шолуында, Рот Филдс медалімен марапатталғанда, Давенпорт осы нәтижені Роттың "ең үлкен жетістігі" деп атады.

Арифметикалық комбинаторика

1953 жылы жарияланған "Рот теоремасы" арифметикалық комбинаторика саласындағы маңызды нәтиже болып табылады және арифметикалық прогрессияда үш санды қамтамайтын бүтін сандар тізбектерін зерттейді. Бұл тізбектерді 1936 жылы Пол Эрдош және Пал Туран зерттеген, олар мұндай тізбектердің сиректеу болуы керек деп болжаған. Бірақ 1942 жылы Рафаэль Салем мен Дональд С. Спенсер әрбір *n*-ге пропорционалды өлшемдегі прогрессиясыз сандар жиынын құрастырды. Рот Эрдош пен Туранның болжамын растады, мұндай жиынның өлшемі *n*-ге пропорционалды бола алмайтынын дәлелдеді: бүтін сандардың кез келген тығыз жиыны үш мүшелі арифметикалық прогрессияны қамтиды. Оның дәлелі аналитикалық сандар теориясының әдістерін, соның ішінде Харди-Литлвуд шеңбер әдісін қолданады, бұл берілген тізбектегі прогрессиялардың санын бағалауға және тізбек жеткілікті тығыз болғанда, бұл сан нөлге тең емес екенін көрсетуге мүмкіндік береді. Кейіннен басқа авторлар Роттың прогрессиясыз жиынтықтардың өлшеміне қатысты шектеуін күшейтті. Тағы бір күшейту, Сземереди теоремасы, бүтін сандардың тығыз жиындарында кез келген ұзындықтағы арифметикалық прогрессиялар болатынын көрсетеді.

Келіспеушілік

Роттың диофанттық жуықтаулар жөніндегі жұмысы оған ең жоғары деңгейде танылу әкелгенімен, ол (Уильям Чен мен Боб Вонның некрологы бойынша) үлестірудің бұрыс келуі туралы зерттеулерімен ең көп мақтанған. Оның 1954 жылғы мақаласы қазіргі сәйкессіздік теориясының негізін қалады. Бұл бірлік шаршы ішіндегі нүктелерді орналастыруға қатысты, яғни, координаталардың басы мен шаршының кез келген нүктесі арасындағы әрбір тіктөртбұрыштың ауданы, сол тіктөртбұрыш ішіндегі нүктелер санына жақын болуы керек. Рот осы жуықтауды нүктелер саны мен ауданның көбейтіндісі арасындағы квадрат айырмасы арқылы өлшеді және кездейсоқ таңдалған тіктөртбұрыш үшін осы квадрат айырманың күтілетін мәні логарифмдік екенін дәлелдеді. Бұл нәтиже ең жақсы мүмкін нәтиже болып табылады және Татьяна Павловна Эренфесттің осы мәселе бойынша бұрынғы шектеуін едәуір жақсартты. Эренфест пен Йоханнес ван дер Корпуттың осы мәселе бойынша бұрынғы жұмыстарына қарамастан, Роттың "осы тақырыпты бастадым" деп мақтанғаны белгілі.

Басқа тақырыптар

Роттың алғашқы еңбектерінің кейбіреулері 1949 жылғы күштердің қосындысы туралы мақаласын қамтыды, онда дерлік барлық оң бүтін сандарды квадрат, куб және төртінші дәрежелі қосынды ретінде көрсетуге болатыны көрсетілді, сондай-ақ 1951 жылғы Чен мен Воганның «өте сенсациялық» және «маңыздылығы зор» деп сипаттаған квадратсыз сандар арасындағы аралықтар туралы мақаласы бар. Империялық колледжіндегі ашылу лекциясы үлкен ілкіш туралы болды: жай сандарға қатысты сандардың көптеген конгруенциялық кластарын тыйым салған бүтін сандар жиынының мөлшерін шектеу. Рот бұрыннан 1965 жылы осы мәселе бойынша мақала жариялаған еді. Роттың тағы бір қызығушылығы – бұл кішкентай ауданы бар үшбұрыштарды болдырмау үшін квадрат ішіне нүктелерді орналастыру мәселесі, яғни Хайльбронн үшбұрышының мәселесі. Оның 1951 жылғы мақаласы мәселе бойынша бірінші болып қол жетімді аумақтың ең жоғары шегін дәлелдеді. Ол ақырында осы мәселе бойынша төрт мақала жариялады, соңғысы 1976 жылы жарық көрді. Рот сонымен қатар квадратты квадратқа орналастыруда да маңызды жетістіктерге қол жеткізді. Егер бірлік квадраттар тікбұрышты бағытта квадратқа орналастырылса, онда оның мәндері бүтін сандардан сәл төмен болғанда, шамамен жартысы аумақ жабылмаған күйде қалуы мүмкін. Пол Эрдош пен Рональд Грэм көлбеу орналастырудың әлдеқайда кішкентай аумақты қалдыратынын дәлелдегеннен кейін, Рот пен Боб Воган 1978 жылғы мақаласымен жауап берді, онда мәселе бойынша бірінші маңызды төменгі шек дәлелденді. Олар көрсеткендей, кейбір мәндер үшін жабылмаған аумақ пропорционалды түрде кем болмауы керек.

1966 жылы Хайни Халберштам мен Рот «Тізбектер» атты кітабын, бүтін сандар тізбектері туралы жариялады. Бастапқыда екі томдық жиынның біріншісі ретінде жоспарланған, онда тізбектердің қосындысының тығыздығы, тізбектердің мүшелерінің қосындысы ретінде бүтін сандардың бейнелену санының шектері, барлық бүтін сандарды білдіретін тізбектердің тығыздығы, ілкіш теориясы және ықтималдық әдісі, сондай-ақ бір элементі екіншісінің еселігі болып табылмайтын тізбектер сияқты тақырыптар қамтылған. 1983 жылы екінші басылымы жарық көрді.

Кітап

1983 жылы Springer Verlag баспасы екінші басылымын шығарды.