Введение

Британский математик (1925–2015)

Клаус Фридрих Рот (29 октября 1925 – 10 ноября 2015) – математик немецкого происхождения, получивший медаль Филдса за доказательство теоремы Рота о диофантовом приближении алгебраических чисел. Он также был удостоен медали Де Моргана и медали Сильвестра, а также являлся членом Королевского общества. Рот переехал в Англию в детстве в 1933 году, спасаясь от нацистов, и получил образование в Кембриджском университете и Университетском колледже Лондона, защитив докторскую диссертацию в 1950 году. Он преподавал в Университетском колледже Лондона до 1966 года, после чего занял должность профессора в Имперском колледже Лондона. Он вышел на пенсию в 1988 году. Помимо работ по диофантовому приближению, Рот внес значительный вклад в теорию множеств, свободных от прогрессий, в арифметической комбинаторике и в теорию нерегулярностей распределения. Он также известен своими исследованиями сумм степеней, большого решета, проблемы треугольника Гейльбронна и упаковки квадратов в квадрат. Он был соавтором книги «Последовательности на целочисленных последовательностях».

Ранние годы

Рот родился в еврейской семье в Бреслау, Пруссия, 29 октября 1925 года. Его родители переехали с ним в Лондон, чтобы спастись от нацистских преследований в 1933 году, и он вырос и получил образование в Великобритании. Его отец, юрист, подвергся воздействию отравляющего газа во время Первой мировой войны и умер, когда Рот был еще молод. С 1939 по 1943 год Рот учился в школе Святого Павла в Лондоне, и вместе со всей школой был эвакуирован из Лондона в парк Истэмпстед во время блица. В школе он прославился своими способностями к шахматам и математике. Он пытался поступить в Воздушный учебный корпус, но ему отказывали в течение нескольких лет сначала из-за его немецкого происхождения, а затем из-за недостаточной координации, необходимой для пилота.

Математическое образование

Рот изучал математику в Питерхаусе, Кембридж, и играл на первой доске в шахматной команде Кембриджского университета, завершив обучение в 1945 году. Несмотря на свои способности к математике, он получил лишь оценку третьего класса на математическом трипосе из-за низкой эффективности при сдаче экзаменов. Его кембриджский научный руководитель, Джон Чарльз Беркилл, не поддерживал его стремление продолжать заниматься математикой и рекомендовал ему найти "какую-нибудь коммерческую работу со статистическим уклоном". Вместо этого он некоторое время работал школьным учителем в Гордонстауне, между окончанием Кембриджа и началом обучения в аспирантуре. По рекомендации Гарольда Давенпорта, в 1946 году его приняли в магистратуру по математике в Университетский колледж Лондона, где он работал под руководством Теодора Эстермана. Он получил степень магистра в 1948 году и докторскую степень в 1950 году. Его диссертация была посвящена доказательству того, что почти все положительные целые числа можно представить в виде суммы квадрата, положительного куба и четвертой степени.

Личная жизнь

В 1955 году Рот женился на Мелек Хаири, которая привлекла его внимание, когда была студенткой на его первой лекции; Хаири была дочерью египетского сенатора Хаири-паши. Она устроилась на работу в отдел психологии Университетского колледжа Лондона, где опубликовала исследование о влиянии токсинов на крыс. После выхода на пенсию они переехали в Инвернесс, где Рот выделил комнату в доме для латиноамериканских танцев – их общего увлечения. Хаири умерла в 2002 году, а Рот скончался в Инвернессе 10 ноября 2015 года в возрасте 90 лет. Детей у них не было, и Рот завещал основную часть своего состояния, превышающую один миллион фунтов стерлингов, двум благотворительным организациям в области здравоохранения "для помощи пожилым и немощным людям, проживающим в городе Инвернесс". Он также отправил медаль Филдса с небольшим наследством в Питерхаус.

Вклад

Рот был известен как решатель задач в математике, а не как создатель теорий. Гарольд Давенпорт пишет, что "суть работы доктора Рота" заключается в том, что "великие нерешенные проблемы математики все еще могут быть решены прямым подходом, какими бы сложными и непреодолимыми они ни казались, и сколько бы усилий на них ни было потрачено". Его исследовательские интересы охватывали различные области теории чисел, теории отклонений и теории целочисленных последовательностей.

Диофантовая приближенность

Предмет диафентинского приближения изучает точные приближения иррациональных чисел рациональными числами. Вопрос о том, насколько точно можно приблизить алгебраические числа, стал известен как проблема Тью — Сигеля, названная в честь предыдущих достижений Акселя Тью и Карла Людвига Сигеля в этой области. Точность приближения можно измерить с помощью показателя приближения числа α, определяемого как наибольшее число τ, для которого существуют бесконечно много рациональных приближений p/q с |α - p/q| < q^(-τ). Если показатель приближения велик, то α имеет более точные приближения, чем число с меньшим показателем. Наименьший возможный показатель приближения равен двум: даже числа, которые труднее всего приблизить, можно приблизить с показателем два, используя цепные дроби. До работы Ротта считалось, что алгебраические числа могут иметь больший показатель приближения, связанный со степенью многочлена, определяющего число. В 1955 году Рот опубликовал то, что теперь известно как теорема Ротта, окончательно решив этот вопрос. Его теорема опровергла предполагаемую связь между показателем приближения и степенью, и доказала, что с точки зрения показателя приближения, алгебраические числа приближаются наименее точно среди всех иррациональных чисел. Более точно, он доказал, что для иррациональных алгебраических чисел показатель приближения всегда равен ровно 2. В обзоре работы Ротта, представленном Гарольдом Давенпортом на Международном конгрессе математиков в 1958 году, когда Рот был удостоен медали Филдса, Давенпорт назвал этот результат «величайшим достижением» Ротта.

Арифметическая комбинаторика

Другой результат, известный как "теорема Рота" (1953 год), относится к арифметической комбинаторике и изучает последовательности целых чисел, не содержащие три элемента, образующих арифметическую прогрессию. Эти последовательности были исследованы в 1936 году Полом Эрдошем и Палом Тураном, которые предположили, что они должны быть разреженными. Однако в 1942 году Рафаэль Салем и Дональд С. Спенсер построили подмножества, свободные от прогрессий, из чисел от до размера, пропорционального , для любого .

Рот подтвердил предположение Эрдоша и Турана, доказав, что размер такого множества не может быть пропорционален : любое плотное множество целых чисел содержит арифметическую прогрессию из трех членов. В его доказательстве используются методы аналитической теории чисел, включая метод круга Харди — Литтлвуда, для оценки количества прогрессий в заданной последовательности и демонстрации того, что при достаточной плотности последовательности это число отлично от нуля. Позднее другие авторы усилили оценку Рота на размер множеств, свободных от прогрессий. Другое усиление, теорема Семереди, показывает, что плотные множества целых чисел содержат арифметические прогрессии произвольной длины.

Несовпадение

Хотя работа Рота по диофантовым приближениям принесла ему высшее признание, именно его исследования нерегулярностей распределения, согласно некрологу Уильяма Чена и Боба Вогана, он ценил больше всего. Его статья 1954 года по этой теме заложила основы современной теории отклонений. Она посвящена размещению точек в единичном квадрате таким образом, чтобы для каждого прямоугольника, ограниченного началом координат и точкой квадрата, площадь прямоугольника хорошо приближалась числом точек, содержащихся в нем. Рот измерял это приближение как квадрат разности между числом точек и произведением площади на плотность точек, и доказал, что для случайно выбранного прямоугольника математическое ожидание квадрата этой разности является логарифмической величиной. Этот результат является наилучшим возможным и значительно улучшил предыдущую оценку, полученную Татьяной Павловной Эренфест. Несмотря на предшествующие работы Эренфест и Йоханнеса ван дер Корпута по той же проблеме, Рот был известен тем, что утверждал, что этот результат "дал старт новому направлению".

Другие темы

Некоторые из ранних работ Рота включали статью 1949 года о суммах степеней, показывающую, что почти все положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени, а также статью 1951 года о промежутках между числами, свободными от квадратов, которую Чен и Вон описали как "в высшей степени сенсационную" и "имеющую значительную важность" соответственно. Его инаугурационная лекция в Имперском колледже была посвящена большому решету: ограничению размера множеств целых чисел, из которых запрещены многие классы вычетов по простым числам. Рот ранее опубликовал статью по этой проблеме в 1965 году. Другой областью интересов Рота была проблема треугольника Хейльброна – размещение точек в квадрате таким образом, чтобы избежать треугольников малой площади. Его статья 1951 года по этой проблеме впервые доказала нетривиальную верхнюю границу площади, которой можно достичь. В конечном итоге он опубликовал четыре статьи по этой проблеме, последняя из которых вышла в 1976 году. Рот также добился значительного прогресса в задаче об упаковке квадратов в квадрат. Если единичные квадраты упакованы в квадрат очевидным образом, параллельно осям, то для значений, незначительно меньших целого числа, почти вся площадь может остаться незаполненной. После того как Пол Эрдеш и Рональд Грэм доказали, что более изощренная наклонная упаковка может оставить значительно меньшую площадь, лишь , Рот и Боб Вон ответили статьей 1978 года, в которой доказали первую нетривиальную нижнюю границу для этой задачи. Как они показали, для некоторых значений, незаполненная площадь должна быть по крайней мере пропорциональна.

В 1966 году Хайни Халберштам и Рот опубликовали свою книгу «Последовательности» о целочисленных последовательностях. Изначально планировалось, что это будет первый том из двух, в котором рассматривались такие темы, как плотность сумм последовательностей, границы числа представлений целых чисел в виде сумм членов последовательностей, плотность последовательностей, суммы которых представляют все целые числа, теория решета и вероятностный метод, а также последовательности, в которых ни один элемент не является кратным другому. Второе издание было опубликовано в 1983 году.

Книга

Второе издание было опубликовано в 1983 году издательством Springer Verlag.