Кіріспе
Математикалық ұғым
Математикада экспоненциалдық функцияны көптеген тәсілдермен сипаттауға болады. Ең көп қолданылатын сипаттамалар (анықтамалар) төменде келтірілген. Бұл мақалада әрбір сипаттаманың неліктен дұрыс екені және олардың бір-бірімен сәйкес келетіні түсіндіріледі. Атап айтқанда, математикалық тұрақты сан e-нің үш ең көп таралған анықтамасы бір-біріне эквивалентті екені көрсетіледі.
Қасиеттері
Нақты мәндер үшін экспоненциалдық функцияның ең көп таралған алты анықтамасы төмендегідей. Көбейтіндінің лимиті. келесі лимит арқылы анықтаңыз: Күштер қатары. e^(x) санын шексіз қатардың мәні ретінде анықтаңыз (Мұнда n! – n факториалын білдіреді. e санының иррационалды екенін дәлелдеу үшін осы формуланың ерекше жағдайы қолданылады.) Логарифм интегралының кері функциясы. y > 0 болатын, яғни, бұл интегралмен анықталатын натурал логарифм функциясының кері функциясы ретінде анықтаңыз. Дифференциалдық теңдеу. Бастапқы шарттары бар дифференциалдық теңдеудің бірегей шешімі ретінде анықтаңыз: мұнда y-дің туындысын білдіреді. Функционалдық теңдеу. Экспоненциалдық функция – барлық үшін f функциясының бірегей шешімі және Шартты келесі үздіксіздік шарттарының кез келгенімен алмастыруға болады: Бірегейлікті қамтамасыз ету үшін белгілі бір үздіксіздік шартын қою қажет, өйткені Хьюитт пен Стромберг сипаттағандай, рационал сандар арқылы нақты сандардың базасын пайдаланып, басқа да функцияларды табуға болады. Деректердің элементар анықтамасы. Базасы бар экспоненциалдық функцияны бүтін сандардағы мәні қайталап көбейту немесе бөлу арқылы, ал рационал сандардағы мәні арқылы берілген үздіксіз функция деп анықтаңыз, содан кейін базасы бірегей оң нақты санды қанағаттандыратын экспоненциалдық функция деп анықтаңыз:
Power series. Define e^(x) as the value of the infinite series (Here n! denotes the factorial of n. One proof that e is irrational uses a special case of this formula.) Inverse of logarithm integral. Define to be the unique number y > 0 such that That is, is the inverse of the natural logarithm function , which is defined by this integral. Differential equation. Define to be the unique solution to the differential equation with initial value: where denotes the derivative of y.
Functional equation. The exponential function is the unique function f with for all and The condition can be replaced with together with any of the following regularity conditions: For the uniqueness, one must impose some regularity condition, since other functions satisfying can be constructed using a basis for the real numbers over the rationals, as described by Hewitt and Stromberg. Elementary definition by powers. Define the exponential function with base to be the continuous function whose value on integers is given by repeated multiplication or division of , and whose value on rational numbers is given by Then define to be the exponential function whose base is the unique positive real number satisfying:
Үлкен домендер
Күрделі сандардағы экспоненциалдық функцияны анықтаудың бір жолы – алдымен оны жоғарыда келтірілген сипаттамалардың бірін пайдаланып, нақты сандар домені үшін анықтау, содан кейін оны аналитикалық функция ретінде кеңейту, ол кез келген шексіз домен жиынтығындағы мәндерімен сипатталады. Сондай-ақ, (1), (2) және (4) сипаттамалары күрделі санға тікелей қолданылады. (3) анықтамасы қиындық тудырады, себебі интегралдауға болатын баламасыз жолдар бар; бірақ (3) теңдеуі кез келген мұндай жол бойынша модуль бойынша орындалуы керек. (5) анықтамасы бойынша, қосымша қасиет кешенді туындымен бірге жеткілікті кепілдік береді. Дегенмен, бастапқы шарт және басқа да тұрақтылық шарттары жеткіліксіз. Мысалы, нақты x және y үшін функция (5)-те тізілген үш тұрақтылық шарттарын қанағаттандырады, бірақ оған тең емес. Жеткілікті шарт – және ол бір нүктеде конформды бейнелеу болуы; немесе екі бастапқы мән және басқа тұрақтылық шарттарымен бірге. Экспоненциалды басқа да домендерде, мысалы матрицалар мен басқа да алгебраларда да анықтауға болады. (1), (2) және (4) анықтамалары кез келген Банах алгебрасы үшін мағыналы.
Әр сипаттаманың мағыналы екендігінің дәлелі
Осы анықтамалардың кейбіреулері олардың дұрыс берілгенін көрсету үшін негіздеме талап етеді. Мысалы, функцияның мәні шектеу процесінің нәтижесі ретінде анықталғанда (яғни, шексіз тізбек немесе қатар), мұндай шек әрқашан болатыны дәлелденуі керек.
Қасиеттері 3
Интеграл t-нің интегралданатын функциясы болғандықтан, интегралдық өрнек дұрыс анықталған. Функцияның -ден -ге дейінгі функциясы биекция екенін көрсету қажет. 1/t оң t үшін оң болғандықтан, бұл функция қатаң түрде өспелі, демек инъективті. Егер екі интеграл орындалса, онда ол сюръективті де болады. Шындығында, бұл интегралдар орындалады; олар интегралдық критерийден және гармоникалық қатардың дивергенциясынан шығады.
is a bijection. Since 1/t is positive for positive t, this function is strictly increasing, hence injective. If the two integrals
hold, then it is surjective as well. Indeed, these integrals do hold; they follow from the integral test and the divergence of the harmonic series.
Қасиет-қасиеті 6
Анықтама бірегей оң нақты санға байланысты, ол келесіні қанағаттандырады: Бұл шектің кез келген үшін бар екенін көрсетуге болады, және ол үнемі өсетін үздіксіз функцияны анықтайды, мұнда және , сондықтан аралық мән теоремасы осындай мәннің бар екенін кепілдейді.
Сипаттамалардың теңдестігі
Келесі дәлелдер экспоненциалдық функция үшін жоғарыдағы сипаттамалардың теңдігін көрсетеді.
Қасиеттеу 1 сипаттау 4
Болсын, бастапқы шарттармен берілген мәселенің шешімін білдірсін. Ең қарапайым Ойлер әдісін қадам өлшемi және дискреттендіру нүктелерін қолдану рекурсивті формула береді: Бұл рекурсия дереу шешіледі және шамамен алынған мән табылады, ал Ойлер әдісінің нақты шешімге жақындасатыны белгілі болғандықтан, біз келесіге ие болады:
2 сипаттама ⇒ 5 сипаттама
2-анықтама мағынасында, теңдеу біртекті жуықтаумен негізделген қуат қатарларын мүшелеп өңдеуден шығады, ал нәтижедегі коэффициенттердің теңдігі – бином теоремасының өзі. Сонымен қатар: