Введение
Математическая концепция
В математике экспоненциальная функция может быть охарактеризована различными способами. Наиболее распространены следующие характеристики (определения). В данной статье рассматривается обоснованность каждой из этих характеристик и доказывается их эквивалентность. В качестве частного случая будет показано, что три наиболее распространенных определения математической константы *e* эквивалентны между собой.
Характеристики
Шесть наиболее распространенных определений экспоненциальной функции для действительных значений следующие. Предельное произведение. Определяем как предел:
Степенной ряд. Определяем e^(x) как значение бесконечного ряда (Здесь n! обозначает факториал n. Одно из доказательств иррациональности числа e использует частный случай этой формулы.) Обратная к логарифмическому интегралу. Определяем как единственное число y > 0 такое, что . То есть, является обратной функцией к натуральному логарифму , который определяется этим интегралом. Дифференциальное уравнение. Определяем как единственное решение дифференциального уравнения с начальным условием: где обозначает производную функции y.
Функциональное уравнение. Экспоненциальная функция – это единственная функция f, такая, что для всех и условие может быть заменено на вместе с любым из следующих условий регулярности: Для обеспечения единственности необходимо наложить некоторое условие регулярности, поскольку другие функции, удовлетворяющие , могут быть построены с использованием базиса для действительных чисел над рациональными, как описано Хьюиттом и Стромбергом. Элементарное определение через степени. Определяем экспоненциальную функцию с основанием как непрерывную функцию, значение которой в целых числах задается повторным умножением или делением , а значение в рациональных числах задается как Затем определяем как экспоненциальную функцию, основанием которой является единственное положительное действительное число, удовлетворяющее:
Power series. Define e^(x) as the value of the infinite series (Here n! denotes the factorial of n. One proof that e is irrational uses a special case of this formula.) Inverse of logarithm integral. Define to be the unique number y > 0 such that That is, is the inverse of the natural logarithm function , which is defined by this integral. Differential equation. Define to be the unique solution to the differential equation with initial value: where denotes the derivative of y.
Functional equation. The exponential function is the unique function f with for all and The condition can be replaced with together with any of the following regularity conditions: For the uniqueness, one must impose some regularity condition, since other functions satisfying can be constructed using a basis for the real numbers over the rationals, as described by Hewitt and Stromberg. Elementary definition by powers. Define the exponential function with base to be the continuous function whose value on integers is given by repeated multiplication or division of , and whose value on rational numbers is given by Then define to be the exponential function whose base is the unique positive real number satisfying:
Более крупные домены
Один из способов определения экспоненциальной функции над комплексными числами — сначала определить её для области действительных чисел, используя одну из вышеуказанных характеристик, а затем расширить её как аналитическую функцию, которая характеризуется своими значениями на любом бесконечном множестве областей. Также характеристики (1), (2) и (4) применяются непосредственно к комплексному числу. Определение (3) представляет проблему, поскольку существуют неэквивалентные пути, вдоль которых можно интегрировать; но уравнение (3) должно выполняться для любого такого пути по модулю. Что касается определения (5), то аддитивное свойство вместе со комплексной производной достаточно для обеспечения. Однако начальное условие вместе с другими условиями регулярности недостаточно. Например, для действительных x и y функция удовлетворяет трём перечисленным условиям регулярности в (5), но не равна. Достаточным условием является то, что и что является конформным отображением в некоторой точке; или же два начальных значения и вместе с другими условиями регулярности. Можно также определить экспоненту на других областях, таких как матрицы и другие алгебры. Определения (1), (2) и (4) имеют смысл для произвольных банаховых алгебр.
Доказательство того, что каждая характеристика имеет смысл
Некоторые из этих определений требуют обоснования, чтобы показать, что они корректно определены. Например, если значение функции определяется как результат предельного процесса (то есть бесконечной последовательности или ряда), необходимо доказать, что такой предел всегда существует.
Характеристика 3
Поскольку подынтегральное выражение является интегрируемой функцией от t, интегральное выражение определено корректно. Необходимо показать, что функция из в , заданная выражением
является биекцией. Поскольку 1/t положительна при положительных t, эта функция строго возрастает, а значит, инъективна. Если выполняются два следующих интеграла,
то она также сюръективна. Действительно, эти интегралы выполняются; они следуют из интегрального признака и расходимости гармонического ряда.
Характеристика 6
Определение зависит от единственного положительного действительного числа α, удовлетворяющего: этот предел можно показать существующим для любого ε > 0, и он определяет непрерывную возрастающую функцию f с f(0) = 0 и f(1) = 1, поэтому теорема о промежуточных значениях гарантирует существование такого значения α.
Эквивалентность характеристик
Следующие аргументы демонстрируют эквивалентность вышеуказанных характеристик экспоненциальной функции.
Характеристика 1 Характеристика 4
Пусть обозначает решение задачи с начальными условиями. Применение простейшей формы метода Эйлера с шагом и точками отсчета дает рекуррентную формулу: Эта рекурренция немедленно решается, чтобы получить приближенное значение , и поскольку известно, что метод Эйлера сходится к точному решению, то:
Характеристика 2 ⇒ характеристика 5
В смысле определения 2, уравнение вытекает из почленного манипулирования степенными рядами, обоснованного равномерной сходимостью, а полученное равенство коэффициентов является просто биномиальной теоремой. Кроме того: