Якоб Бернулли: Швейцар математигі және ықтималдықтар теориясының негізін қалаушысы

Кіріспе

Швейцария математигі (1655–1705) басқа отбасы мүшелері Якоб

Якоб Бернулли (ағылшын тілінде Джеймс немесе француз тілінде Жак деп те белгілі; – 16 тамыз 1705) Швейцарияның Бернулли отбасындағы көптеген көрнекті математиктердің бірі болды. Ол Лейбниц-Ньютон есептеуі туралы дау кезінде Готфрид Вильгельм Лейбницті қолдады және Лейбниц есептеуінің ерте жақтаушысы болды, оған көптеген үлес қосты; ағасы Йоханмен бірге ол вариациялар есептеуінің негізін қалаушылардың бірі болды. Ол сондай-ақ математикалық тұрақты [[e (математикалық тұрақты)]] ашты. Дегенмен, оның ең маңызды үлесі ықтималдық саласында болды, онда ол "Арс Конжектанди" еңбегінде үлкен сандар заңының алғашқы нұсқасын шығарды.

Өмірбаян

Якоб Бернулли Швейцарияның Ескі Конфедерациясындағы Базель қаласында дүниеге келген. Әкесінің тілегімен теологияны оқып, дін қызметкері болған. Бірақ ата-анасының қалауына қарамастан, математика мен астрономияны да зерттеген. 1676-1682 жылдары Еуропаны аралап, сол кездегі жетекші ғалымдардан математика және ғылымдағы соңғы жаңалықтарды үйренген. Олардың ішінде Иоганн Худде, Роберт Бойль және Роберт Гук есімді ғалымдардың еңбектері болды. Осы кезеңде ол кометалар туралы бұрыс теорияны жасаған. Бернулли Швейцарияға оралғаннан кейін 1683 жылдан бастап Базель университетінде механика пәнін оқытуды бастады. Оның докторлық диссертациясы «Solutionem tergemini problematis» 1684 жылы қорғалды, ал 1687 жылы жарық көрді. 1684 жылы Бернулли Джудит Ступанусқа үйленді, олардың екі баласы болды. Осы онжылдықта ол жемісті зерттеушілік қызметін бастады. Саяхаттары оған замандас математиктер мен ғалымдармен хат алмасуға мүмкіндік берді, ол өмір бойы осы байланысты сақтап қалды. Осы уақыт ішінде ол математикадағы жаңа жаңалықтарды зерттеді, соның ішінде Кристиан Гюйгенстің «De ratiociniis in aleae ludo», Декарттың «La Géométrie» және Франс ван Шутеннің оған қосымшаларын оқыды. Исаак Барроу мен Джон Уоллистің еңбектерін зерттегенінен кейін, ол шексіз геометрияға қызығушылық танытты. Бұлардан өзге, 1684 және 1689 жылдар аралығында «Ars Conjectandi» кітабының құрамына кіретін көптеген нәтижелер ашылды. 1687 жылы Базель университетінде математика профессоры болып тағайындалды және өмірінің соңына дейін осы лауазымда қалды. Сол кезде ол інісі Иоганн Бернуллиге математикалық тақырыптарды оқытуды бастады. Екі бауыр 1684 жылы «Acta Eruditorum» журналында жарияланған Лейбництің «Nova Methodus pro Maximis et Minimis» дифференциалдық есептеу жөніндегі мақаласында ұсынылған есептеулерді зерттей бастады. Олар сонымен қатар фон Цирнхаустың басылымдарын да зерттеді. Лейбництің есептеулерге қатысты жарияланымдары сол кездегі математиктер үшін түсініксіз болғандықтан, Бернуллилер Лейбництің теорияларын түсінуге және қолдануға тырысқан алғашқылардың бірі болды. Якоб інісімен бірлесіп есептеулердің түрлі тәсілдерін жасады. Алайда, екі бауырдың арасындағы ынтымақтастық атмосферасы бәсекелестікке ұласты, Иоганнның математикалық қабілеті жетілген сайын, олар бір-біріне баспа бетінде шабуылдап, өзара білімдерін сынау үшін қиын математикалық есептер қойды. 1697 жылға қарай олардың қарым-қатынасы толығымен үзілді. Ай кратерінің бірі Бернулли деп аталады, ол оның інісі Иоганнмен бірге берілген.

Jacob Bernoulli was born in Basel in the Old Swiss Confederacy. Following his father's wish, he studied theology and entered the ministry. But contrary to the desires of his parents, he also studied mathematics and astronomy. He traveled throughout Europe from 1676 to 1682, learning about the latest discoveries in mathematics and the sciences under leading figures of the time. This included the work of Johannes Hudde, Robert Boyle, and Robert Hooke. During this time he also produced an incorrect theory of comets. Bernoulli returned to Switzerland, and began teaching mechanics at the University of Basel from 1683. His doctoral dissertation Solutionem tergemini problematis was submitted in 1684. It appeared in print in 1687. In 1684, Bernoulli married Judith Stupanus; they had two children. During this decade, he also began a fertile research career. His travels allowed him to establish correspondence with many leading mathematicians and scientists of his era, which he maintained throughout his life. During this time, he studied the new discoveries in mathematics, including Christiaan Huygens's De ratiociniis in aleae ludo, Descartes' La Géométrie and Frans van Schooten's supplements of it. He also studied Isaac Barrow and John Wallis, leading to his interest in infinitesimal geometry. Apart from these, it was between 1684 and 1689 that many of the results that were to make up Ars Conjectandi were discovered. He was appointed professor of mathematics at the University of Basel in 1687, remaining in this position for the rest of his life. By that time, he had begun tutoring his brother Johann Bernoulli on mathematical topics. The two brothers began to study the calculus as presented by Leibniz in his 1684 paper on the differential calculus in "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" published in Acta Eruditorum. They also studied the publications of von Tschirnhaus. It must be understood that Leibniz's publications on the calculus were very obscure to mathematicians of that time and the Bernoullis were among the first to try to understand and apply Leibniz's theories. Jacob collaborated with his brother on various applications of calculus. However the atmosphere of collaboration between the two brothers turned into rivalry as Johann's own mathematical genius began to mature, with both of them attacking each other in print, and posing difficult mathematical challenges to test each other's skills. By 1697, the relationship had completely broken down. The lunar crater Bernoulli is also named after him jointly with his brother Johann.

Маңызды еңбектері

Якоб Бернуллидің алғашқы маңызды еңбектері 1685 жылы логика мен алгебраның параллельдері туралы памфлет, 1685 жылы ықтималдық және 1687 жылы геометрия бойынша еңбектер болды. Оның геометриялық нәтижесі кез келген үшбұрышты екі перпендикуляр түзумен төрт тең бөлікке бөлуге мүмкіндік беретін құрылымды ұсынды. 1689 жылы ол шексіз қатарлар туралы маңызды еңбектер жариялады және ықтималдық теориясында үлкен сандар заңын жариялады. Якоб Бернулли 1682 және 1704 жылдар аралығында шексіз қатарлар туралы бес трактат жариялады. Бірінші екеуінде көптеген нәтижелер қамтылған, мысалы, Бернулли жаңа деп есептеген, бірақ шындығында 40 жыл бұрын Пьетро Менголи және 14 ғасырда Николь Оресме дәлелдеген нәтижелер. Бернулли оған жабық түрдегі формула таба алмады, бірақ ол 2-ден кіші шекті мәнге жуықтайтынын көрсетті. Эйлер бұл қатардың шегін 1737 жылы алғаш рет тапты. Бернулли сондай-ақ, күрделі пайызды зерттеу нәтижесінде пайда болған экспоненциалды қатарларды зерттеді. 1690 жылдың мамырында Acta Eruditorum журналында жарияланған мақаласында Якоб Бернулли изохронды анықтау мәселесінің бірінші реттік сызықтық емес дифференциалдық теңдеуді шешумен эквивалентті екенін көрсетті. Изохрон, яғни тұрақты түсу қисығы – бұл гравитация әсерімен кез келген нүктеден түбіне бірдей уақытта түсетін бөлшектің қозғалыс жолы, бастапқы нүктесіне қарамастан. Оны 1687 жылы Гюйгенс, ал 1689 жылы Лейбниц зерттеген. Дифференциалдық теңдеуді тапқаннан кейін Бернулли оны қазір айнымалыларды бөлу деп аталатын әдіспен шешті. Якоб Бернуллидің 1690 жылғы еңбегі математикалық талдау тарихы үшін маңызды, себебі интеграл термині интегралдау мағынасында алғаш рет қолданылды. 1696 жылы Бернулли қазір Бернулли дифференциалдық теңдеуі деп аталатын теңдеуді шешті. Якоб Бернулли сонымен қатар қисықтың доңғалақтарының орамасы ретінде қисықтың эволюциясын анықтаудың жалпы әдісін ашты. Ол сондай-ақ кастикалық қисықтарды және әсіресе параболаның, логарифмдік спиральдің және эпициклоидтардың осымен байланысты қисықтарын 1692 жыл шамасында зерттеді. Бернулли лемнискаты алғаш рет 1694 жылы Якоб Бернуллидің ойында пайда болды. 1695 жылы ол кабель бойымен сырғанап түсетін салмақтың тепе-теңдігін сақтау үшін қажетті қисықты іздейтін көпір мәселесін зерттеді. Бернуллидің ең түпнұсқалық еңбегі – "Арс Конъектанди" (Арс Конъектанди) – 1713 жылы Базельде, оның өлімінен кейін сегіз жыл өткен соң жарық көрді. Бұл еңбек оның өмірінде аяқталмаған, бірақ ол әлі де ықтималдық теориясында маңызды рөл атқарады. Кітапта басқа да байланысты тақырыптар, соның ішінде комбинаторикаға шолу, атап айтқанда ван Шутен, Лейбниц және Престеттің еңбектері, сондай-ақ экспоненциалды қатарлар туралы талқылауда Бернулли сандарының қолданылуы қарастырылған. Гюйгенстің еңбегінен шабыттанған Бернулли түрлі ойындарда қанша ұтуға болатынына мысалдар келтіреді. Осы еңбектен "Бернулли сынағы" термині пайда болды. Кітаптың соңғы бөлімінде Бернулли математикалық ықтималдықтың көптеген салаларын, соның ішінде ықтималдықты өлшенетін сенімділік дәрежесі ретінде; қажеттілік пен кездейсоқтық; моральдық және математикалық үміт; априорлық және апостериорлық ықтималдық; ойыншылардың шеберлігіне сәйкес бөлінген кезде жеңу үміті; барлық қол жетімді аргументтерді, олардың бағасын және оларды есептеуге болатын бағасын; және үлкен сандар заңын қарастырады. Бернулли жоғары талдаудың формалды әдістерін насихаттаушылардың бірі болды. Оның ұсыну және өрнектеу әдісінде жиі ақылдылық пен әсемдік кездеспесе де, адалдыққа барынша мән берілген.

Jacob Bernoulli's first important contributions were a pamphlet on the parallels of logic and algebra published in 1685, work on probability in 1685 and geometry in 1687. His geometry result gave a construction to divide any triangle into four equal parts with two perpendicular lines. By 1689, he had published important work on infinite series and published his law of large numbers in probability theory. Jacob Bernoulli published five treatises on infinite series between 1682 and 1704. The first two of these contained many results, such as the fundamental result that diverges, which Bernoulli believed were new but they had actually been proved by Pietro Mengoli 40 years earlier and was proved by Nicole Oresme in the 14th century already. Bernoulli could not find a closed form for , but he did show that it converged to a finite limit less than 2. Euler was the first to find the limit of this series in 1737. Bernoulli also studied the exponential series which came out of examining compound interest. In May 1690, in a paper published in Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli showed that the problem of determining the isochrone is equivalent to solving a first order nonlinear differential equation. The isochrone, or curve of constant descent, is the curve along which a particle will descend under gravity from any point to the bottom in exactly the same time, no matter what the starting point. It had been studied by Huygens in 1687 and Leibniz in 1689. After finding the differential equation, Bernoulli then solved it by what we now call separation of variables. Jacob Bernoulli's paper of 1690 is important for the history of calculus, since the term integral appears for the first time with its integration meaning. In 1696, Bernoulli solved the equation, now called the Bernoulli differential equation,

Jacob Bernoulli also discovered a general method to determine evolutes of a curve as the envelope of its circles of curvature. He also investigated caustic curves and in particular he studied these associated curves of the parabola, the logarithmic spiral and epicycloids around 1692. The lemniscate of Bernoulli was first conceived by Jacob Bernoulli in 1694. In 1695, he investigated the drawbridge problem which seeks the curve required so that a weight sliding along the cable always keeps the drawbridge balanced. Bernoulli's most original work was Ars Conjectandi, published in Basel in 1713, eight years after his death. The work was incomplete at the time of his death but it is still a work of the greatest significance in the theory of probability. The book also covers other related subjects, including a review of combinatorics, in particular the work of van Schooten, Leibniz, and Prestet, as well as the use of Bernoulli numbers in a discussion of the exponential series. Inspired by Huygens' work, Bernoulli also gives many examples on how much one would expect to win playing various games of chance. The term Bernoulli trial resulted from this work. In the last part of the book, Bernoulli sketches many areas of mathematical probability, including probability as a measurable degree of certainty; necessity and chance; moral versus mathematical expectation; a priori an a posteriori probability; expectation of winning when players are divided according to dexterity; regard of all available arguments, their valuation, and their calculable evaluation; and the law of large numbers. Bernoulli was one of the most significant promoters of the formal methods of higher analysis. Astuteness and elegance are seldom found in his method of presentation and expression, but there is a maximum of integrity.

Шығармалары

(Тілдің мағынасы шамамен "Кометтер жүйесіне жаңа гипотеза") Арс конъектанди, опус постхумум, Базель, Турнизиор Фратрум басылымы, 1713 ж.