Введение

Швейцарский математик (1655–1705), один из представителей семейства Бернулли, носящих имя Якоб. Якоб Бернулли (также известный как Джеймс в английском языке или Жак во французском языке; умер 16 августа 1705 года) был одним из многих выдающихся математиков в швейцарской семье Бернулли. Он поддержал Готфрида Вильгельма Лейбница в споре о приоритете изобретения дифференциального и интегрального исчисления и был одним из первых защитников лейбницевского исчисления, внесшим в него значительный вклад; вместе со своим братом Иоганном он был одним из основателей вариационного исчисления. Он также открыл фундаментальную математическую константу *e*. Однако его наиболее важный вклад был сделан в область теории вероятностей, где в своей работе «Ars Conjectandi» он вывел первую версию закона больших чисел.

Биография

Якоб Бернулли родился в Базеле в Старой Швейцарской Конфедерации. По желанию отца он изучал теологию и стал священником. Но вопреки желанию родителей, он также изучал математику и астрономию. С 1676 по 1682 год он путешествовал по Европе, знакомясь с новейшими открытиями в математике и науке у ведущих ученых того времени, включая работы Иоганна Худде, Роберта Бойля и Роберта Гука. В этот период он также выдвинул ошибочную теорию о кометах. Вернувшись в Швейцарию, Бернулли начал преподавать механику в Базельском университете с 1683 года. Его докторская диссертация Solutionem tergemini problematis была представлена в 1684 году и опубликована в 1687 году. В 1684 году Бернулли женился на Юдит Ступанус, у них было двое детей. В течение этого десятилетия он начал плодотворную исследовательскую карьеру. Его путешествия позволили ему установить переписку со многими выдающимися математиками и учеными его эпохи, которую он поддерживал на протяжении всей жизни. В это время он изучал новые достижения в математике, в том числе «De ratiociniis in aleae ludo» Кристиана Гюйгенса, «La Géométrie» Декарта и дополнения Франса ван Шутена к ней. Он также изучал работы Исаака Барроу и Джона Уоллиса, что пробудило его интерес к бесконечно малым величинам. Кроме того, именно в период с 1684 по 1689 год были сделаны многие открытия, которые впоследствии легли в основу «Ars Conjectandi». В 1687 году он был назначен профессором математики в Базельском университете и оставался на этом посту до конца жизни. К тому времени он начал обучать своего брата Иоганна Бернулли математике. Братья начали изучать исчисление, представленное Лейбницем в его статье 1684 года о дифференциальном исчислении «Nova Methodus pro Maximis et Minimis», опубликованной в «Acta Eruditorum». Они также изучали труды фон Цирнхауса. Важно понимать, что публикации Лейбница по исчислению были малопонятны математикам того времени, и Бернулли были одними из первых, кто попытался понять и применить теории Лейбница. Якоб сотрудничал со своим братом в различных приложениях исчисления. Однако атмосфера сотрудничества между братьями переросла в соперничество, поскольку математический талант Иоганна начал проявляться, и они оба публично критиковали друг друга и предлагали сложные математические задачи для проверки навыков. К 1697 году их отношения окончательно испортились. Лунный кратер Бернулли назван в честь обоих братьев, Якоба и Иоганна.

Важные работы

Первыми важными вкладами Якоба Бернулли были памфлет о параллелях логики и алгебры, опубликованный в 1685 году, работы по теории вероятностей в 1685 году и геометрии в 1687 году. Его геометрический результат дал построение для деления любого треугольника на четыре равные части двумя перпендикулярными линиями. К 1689 году он опубликовал важные работы по бесконечным рядам и сформулировал свой закон больших чисел в теории вероятностей. Якоб Бернулли опубликовал пять трактатов о бесконечных рядах в период с 1682 по 1704 год. Первые два из них содержали множество результатов, таких как фундаментальный результат о расходимости ряда , который Бернулли считал новым, но который на самом деле был доказан Пьетро Менголи за 40 лет до этого и Николем Оресом еще в XIV веке. Бернулли не смог найти замкнутую форму для , но показал, что он сходится к конечному пределу, меньшему 2. Эйлер первым нашел предел этого ряда в 1737 году. Бернулли также изучал экспоненциальные ряды, возникшие при рассмотрении сложных процентов. В мае 1690 года в статье, опубликованной в Acta Eruditorum, Якоб Бернулли показал, что задача определения изохроны эквивалентна решению нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Изохрона, или кривая постоянного спуска, – это кривая, по которой частица будет спускаться под действием силы тяжести из любой точки до дна за одно и то же время, независимо от начальной точки. Она изучалась Гюйгенсом в 1687 году и Лейбницем в 1689 году. Найдя дифференциальное уравнение, Бернулли решил его методом, который мы сейчас называем разделением переменных. Статья Якоба Бернулли 1690 года важна для истории математического анализа, поскольку термин «интеграл» впервые появляется в ней в своем интегральном значении. В 1696 году Бернулли решил уравнение, которое теперь называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Якоб Бернулли также открыл общий метод определения эволют кривой как огибающей её окружностей кривизны. Он также исследовал каустические кривые и, в частности, изучал связанные с ними кривые параболы, логарифмической спирали и эпициклоид около 1692 года. Лемниската Бернулли была впервые предложена Якобом Бернулли в 1694 году. В 1695 году он исследовал задачу о разводном мосте, которая заключается в поиске кривой, необходимой для того, чтобы вес, скользящий по канату, всегда поддерживал равновесие моста. Наиболее оригинальной работой Бернулли был труд «Ars Conjectandi», опубликованный в Базеле в 1713 году, через восемь лет после его смерти. Труд оставался незавершенным на момент его смерти, но и сегодня представляет собой работу огромной важности в теории вероятностей. Книга также охватывает другие смежные темы, включая обзор комбинаторики, в частности работы ван Схотена, Лейбница и Престета, а также использование чисел Бернулли при обсуждении экспоненциальных рядов. Вдохновленный работой Гюйгенса, Бернулли также приводит множество примеров того, сколько можно ожидать выиграть, играя в различные азартные игры. Термин «бернуллиевский опыт» (или «испытание Бернулли») возник в результате этой работы. В последней части книги Бернулли очерчивает многие области математической вероятности, включая вероятность как измеримую степень уверенности; необходимость и случайность; моральное и математическое ожидание; априорную и апостериорную вероятность; ожидание выигрыша, когда игроки различаются по мастерству; учет всех доступных аргументов, их оценку и вычислимую оценку; и закон больших чисел. Бернулли был одним из наиболее значительных популяризаторов формальных методов высшего анализа. В его манере изложения и выражения редко встречаются остроумие и элегантность, но присутствует максимальная добросовестность.

Работы

(название приблизительно переводится как "Новая гипотеза о системе комет".) Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, impensis Thurnisiorum Fratrum, 1713.