Кванттық механикада супертаңдау ережелері

Кіріспе

Белгілі бір күйлердің үйлесімділігін тыйым салатын ереже. Кванттық механикада суперселекция таңдау ережелері ұғымын кеңейтеді. Суперселекция ережелері – белгілі бір байқалатын шамалардың өзіндік күйлері арасындағы үйлесімділікті көрсететін кванттық күйлерді дайындауға тыйым салатын постулатталған ережелер. Оны бастапқыда Джан Карло Уик, Артур Уайтман және Юджин Вигнер кванттық теорияға таңдау ережелерінен асып түсетін қосымша шектеулер енгізу үшін енгізді. Математикалық тұрғыдан алғанда, екі кванттық күй және берілген Гамильтондық үшін егер таңдау ережесімен бөлінген болса, ал барлық физикалық байқалатын шамалар үшін егер бөлінген болса, суперселекция ережесімен бөлінген болып саналады. Себебі, байқалатын шамалар оларды байланыстыра алмайды, сондықтан оларды кванттық суперпозицияға келтіру мүмкін емес және/немесе кванттық суперпозицияны екі күйдің классикалық қоспасынан ажыратуға болмайды. Бұл сондай-ақ екі күйдің арасында ерекшеленетін классикалық түрде сақталатын шама бар екенін білдіреді. Суперселекция секторы – *алгебрасының өзіне келтірілмейтін компоненттерге жіктелген кезде кванттық механикада қолданылатын ұғым. Ол барлық өзіне-қосымша операторлар байқалатын операторлар емес деген идеяны формалдайды, себебі әртүрлі өзіне келтірілмейтін компоненттерден алынған нөлдік емес күйлердің суперпозициясының салыстырмалы фазасы байқала алмайды (байқалатын шамалардың күтілетін мәндері оларды ажырата алмайды).

Формуляциясы

Болсын, А – бірлік * алгебра, ал О – бірлік * субальгебра, оның өзіне-өзі қосымша элементтері байқалатын шамаларға сәйкес келеді. О-ның унитарлық бейнелеуі О-ның ирредуктибелді унитарлық бейнелеулерінің тікелей қосындысы түрінде жіктелуі мүмкін. Бұл жіктелудегі әрбір изотиптік компонент суперселекция секторы деп аталады. Байқалатын шамалар суперселекция секторларын сақтайды.

Симметрияға қатынасы

Симметриялар көбінесе суперселекция секторларын тудырады (бірақ бұл олардың пайда болуының жалғыз жолы емес). Егер G тобы A-ға әсер етсе, ал H – A мен G екеуінің де біртұтас бейнелеуі болса, және ол эквивариантты болса, яғни G-дегі кез келген g, A-дағы кез келген a және H-дегі кез келген ψ үшін,

О, G аясында A-ның инвариантты субалгебрасы болсын (барлық байқалатын шамалар G аясында инвариантты, бірақ G аясында инвариантты болатын әрбір өзіне-өзі қосатын оператор міндетті түрде байқалатын шама емес). H суперселекция секторларына жіктеледі, олардың әрқайсысы G-дің редукцияланбайтын бейнелеуінің O-ның бейнелеуімен тензорлық көбейтіндісі болып табылады. Бұл H – G-нің K кеңейтілгенінің немесе жабынының бейнелеуі деп қарастыру арқылы жалпылауға болады (мысалы, G Лоренц тобы болса, K – сәйкес спиндік екі жабын болуы мүмкін). Сондай-ақ, G-ні Lie алгебрасымен, Lie супералгебрасымен немесе Hopf алгебрасымен алмастыруға болады.

Мысалдар

Кванттық механикалық бөлшекті жабық контурмен шектелгендей қарастырайық (яғни, L периоды бар периодтық сызық). Суперселекция секторлары 0-ден 2π-ге дейінгі θ бұрышымен сипатталады. Бір суперселекция секторындағы барлық толқындық функциялар келесіні қанағаттандырады.

Жоғары іріктеу секторлары

Азаттық дәрежесі шексіз үлкен физикалық жүйе, тіпті оған жеткілікті энергия болса да, әрқашан барлық мүмкін күйлерді басып шығуға тиіс емес. Егер магнит белгілі бір бағытта магниттелген болса, әрбір спин кез келген температурада тербеледі, бірақ жалпы магниттелу ешқашан өзгермейді. Бұл себебі, сансыз спин әр түрлі орналасқан жерде бір уақытта бірдей тербелуінің ықтималдығы шексіз төмен. Үлкен жүйелерде көбінесе суперселекция секторлары болады. Қатты денеде, торлық симметрияға жатпайтын әртүрлі айналулар мен жылжулар суперселекция секторларын анықтайды. Жалпы алғанда, суперселекция ережесі – бұл жергілікті тербелулер арқылы ешқашан өзгермейтін шама. Магниттің магниттелуі сияқты реттік параметрлерден өзге, оралу саны сияқты топологиялық шамалар да бар. Егер жіп дөңгелек сымға оралған болса, оның сымға оралған толық саны жергілікті тербелулер кезінде өзгермейді. Бұл – қарапайым сақталу заңы. Егер сым шексіз ұзын сызық болса және вакуумда жүйе бойынша үйлесімді оралу тербелулері болмаса, онда сақталу заңы суперселекция ережесі болады – оралудың ажырауының ықтималдығы нөлге тең. Кванттық тербелулер, фазалық жол интегралының әртүрлі конфигурацияларынан туындайтын суперпозициялар және Болцмандық жол интегралынан статистикалық тербелулер бар. Бұл екі жол интегралының да қасиеттері бар, атап айтқанда, тиімді шексіз жүйеде үлкен өзгерістерге тербелулер арасындағы еңбекке толы келісім қажет. Сондықтан, статистикалық механикалық және кванттық механикалық суперселекция ережелері бар. Симметрияға қатысты инвариантты вакуумдағы теорияда, сақталған зарядтың сақталуы суперселекция секторларына әкеледі. Электр заряды біздің ғаламшарымызда сақталады, сондықтан бұл алғашқыда қарапайым мысал сияқты көрінеді. Бірақ, егер өткізгіш кеңістікті толтырса, немесе эквивалентті түрде, Хиггс фазасында, электр заряды жалпы түрде сақталады, бірақ енді суперселекция секторларын анықтамайды. Өткізгіштің құбылуы зарядтарды кез келген көлемге өте аз шығынмен әкелуге мүмкіндік береді. Бұл жағдайда, вакуумның суперселекция секторлары Хиггс өрісінің бағытымен сипатталады. Хиггс бағыттары нақты симметриямен байланысқандықтан, олардың барлығы бірдей эквивалентті. Бұл симметрияның бұзылу бағыттары мен сақталған зарядтар арасындағы терең байланысты көрсетеді.

A large physical system with infinitely many degrees of freedom does not always visit every possible state, even if it has enough energy. If a magnet is magnetized in a certain direction, each spin will fluctuate at any temperature, but the net magnetization will never change. The reason is that it is infinitely improbable that all the infinitely many spins at each different position will all fluctuate together in the same way. A big system often has superselection sectors. In a solid, different rotations and translations which are not lattice symmetries define superselection sectors. In general, a superselection rule is a quantity that can never change through local fluctuations. Aside from order parameters like the magnetization of a magnet, there are also topological quantities, like the winding number. If a string is wound around a circular wire, the total number of times it winds around never changes under local fluctuations. This is an ordinary conservation law. If the wire is an infinite line, under conditions that the vacuum does not have winding number fluctuations which are coherent throughout the system, the conservation law is a superselection rule the probability that the winding will unwind is zero. There are quantum fluctuations, superpositions arising from different configurations of a phase type path integral, and statistical fluctuations from a Boltzmann type path integral. Both of these path integrals have the property that large changes in an effectively infinite system require an improbable conspiracy between the fluctuations. So there are both statistical mechanical and quantum mechanical superselection rules. In a theory where the vacuum is invariant under a symmetry, the conserved charge leads to superselection sectors in the case that the charge is conserved. Electric charge is conserved in our universe, so it seems at first like a trivial example. But when a superconductor fills space, or equivalently in a Higgs phase, electric charge is still globally conserved but no longer defines the superselection sectors. The sloshing of the superconductor can bring charges into any volume at very little cost. In this case, the superselection sectors of the vacuum are labeled by the direction of the Higgs field. Since different Higgs directions are related by an exact symmetry, they are all exactly equivalent. This suggests a deep relationship between symmetry breaking directions and conserved charges.

Дискреттік симметрия

2D Ising моделінде төмен температурада екі түрлі таза күй бар, біреуі орташа спин жоғарыға, екіншісі төменге бағытталған. Бұл реттелген фаза. Жоғары температурада орташа спині нөлге тең болатын бір ғана таза күй болады. Бұл тәртіпсіз фаза. Екі фазаның арасындағы фазалық өту кезінде спин жоғары және спин төмен арасындағы симметрия бұзылады. Фазалық өту температурасынан төмен шексіз Ising моделі көбінесе плюс немесе көбінесе минус конфигурациясында болуы мүмкін. Егер ол көбінесе плюс фазасынан басталатын болса, тіпті барлық спиндерді аударғанда да бірдей энергия берілсе де, ол ешқашан көбінесе минус фазасына жете алмайды. Температураны өзгерту арқылы жүйе жаңа суперселекция ережесін иеленеді – орташа спин. Екі суперселекция секторы бар: көбінесе минус және көбінесе плюс. Басқа суперселекция секторлары да бар; мысалы, жазықтықтың сол жартысы көбінесе плюс, ал оң жартысы көбінесе минус болатын күйлер. Жаңа суперселекция ережесі пайда болғанда жүйе спонтанды түрде реттеледі. Критикалық температурадан жоғары Ising моделі тәртіпсіз болады. Принципті түрде ол барлық күйлерді аралай алады. Өтуден кейін жүйе екі мүмкіндіктің бірін кездейсоқ таңдайды және ешқашан өз шешімін өзгертпейді. Кез келген шекті жүйе үшін суперселекция толық емес. Ақырлы тордағы Ising моделі кез келген нөлдік емес температурада көбінесе плюстан көбінесе минусқа дейін ауысады, бірақ бұл өте ұзақ уақыт алады. Уақыттың мөлшері жүйенің өлшеміне қатысты экспоненциалды түрде кішірейеді, сондықтан практикалық тұрғыдан алғанда, тіпті корреляциялық ұзындығынан бірнеше есе үлкен жүйелерде де бұл ауысу болмайды.