Введение

Правило, запрещающее когерентность определенных состояний
В квантовой механике суперселекция расширяет понятие правил отбора. Правила суперселекции – это постулируемые правила, запрещающие приготовление квантовых состояний, демонстрирующих когерентность между собственными состояниями определенных наблюдаемых. Они были первоначально введены Джан Карло Виком, Артуром Уайтманом и Юджином Вигнером для наложения дополнительных ограничений на квантовую теорию, выходящих за рамки правил отбора. Математически, два квантовых состояния и разделены правилом отбора, если для заданного гамильтониана, а разделены правилом суперселекции, если для всех физических наблюдаемых . Это происходит потому, что ни один наблюдаемый не связывает и , и, следовательно, их нельзя поместить в квантовую суперпозицию, и/или квантовую суперпозицию нельзя различить от классической смеси этих двух состояний. Это также подразумевает существование классически сохраняющейся величины, различающейся для этих двух состояний. Сектор суперселекции – это понятие, используемое в квантовой механике, когда представление * -алгебры раскладывается на неприводимые компоненты. Оно формализует идею о том, что не все самосопряженные операторы являются наблюдаемыми, поскольку относительная фаза суперпозиции ненулевых состояний из разных неприводимых компонентов не является наблюдаемой (ожидаемые значения наблюдаемых не могут их различить).

Формулировка

Предположим, что A — унитальная * алгебра, а O — унитальная * субальгебра, самосопряженные элементы которой соответствуют наблюдаемым. Унитарное представление O может быть разложено в прямую сумму неразложимых унитарных представлений O. Каждый изотопический компонент в этом разложении называется сектором суперселекции. Наблюдаемые сохраняют секторы суперселекции.

Отношение к симметрии

Симметрии часто приводят к секторам суперселекции (хотя это не единственный способ их возникновения). Предположим, что группа G действует на A, и что H является унитарным представлением как A, так и G, эквивариантным в том смысле, что для всех g из G, a из A и ψ из H,

Предположим, что O является инвариантной субальгеброй A относительно G (все наблюдаемые инвариантны относительно G, но не каждый самосопряжённый оператор, инвариантный относительно G, обязательно является наблюдаемым). H раскладывается на секторы суперселекции, каждый из которых является тензорным произведением неприводимого представления G и представления O. Это можно обобщить, предположив, что H является лишь представлением расширения или накрытия K группы G. (Например, G может быть группой Лоренца, а K – соответствующим спиновым двойным накрытием). Альтернативно, можно заменить G на алгебру Ли, супералгебру Ли или алгебру Хопфа.

Примеры

Рассмотрим квантово-механическую частицу, заключенную в замкнутый контур (то есть периодическую линию с периодом L). Секторы суперселекции характеризуются углом θ, изменяющимся от 0 до 2π. Все волновые функции в рамках одного сектора суперселекции удовлетворяют…

Секторы суперселекции

Большая физическая система с бесконечным числом степеней свободы не всегда посещает каждое возможное состояние, даже если обладает достаточной энергией. Если магнит намагничен в определенном направлении, каждый спин будет флуктуировать при любой температуре, но результирующая намагниченность никогда не изменится. Причина в том, что бесконечно маловероятно, чтобы все бесконечное множество спинов в каждой различной позиции флуктуировали согласованно. Обширные системы часто обладают суперселекционными секторами. В твердом теле различные вращения и трансляции, не являющиеся симметриями решетки, определяют суперселекционные секторы. В общем случае, правило суперселекции – это величина, которая не может изменяться вследствие локальных флуктуаций. Помимо параметров порядка, таких как намагниченность магнита, существуют также топологические величины, например, число закрутки. Если нить намотана вокруг круглого провода, общее число витков никогда не изменится при локальных флуктуациях. Это обычный закон сохранения. Если провод представляет собой бесконечную линию, и при условии, что вакуум не содержит флуктуаций числа закрутки, когерентных по всей системе, закон сохранения становится правилом суперселекции – вероятность раскрутки нити равна нулю. Существуют квантовые флуктуации, суперпозиции, возникающие из различных конфигураций интеграла по траекториям фазового типа, и статистические флуктуации, возникающие из интеграла по траекториям типа Больцмана. Оба этих интеграла по траекториям обладают свойством, заключающимся в том, что значительные изменения в эффективно бесконечной системе требуют маловероятного согласования флуктуаций. Таким образом, существуют как статистико-механические, так и квантово-механические правила суперселекции. В теории, где вакуум инвариантен относительно симметрии, сохраняющийся заряд приводит к суперселекционным секторам, если заряд сохраняется. Электрический заряд сохраняется во Вселенной, поэтому это кажется на первый взгляд тривиальным примером. Однако, когда сверхпроводник заполняет пространство, или, эквивалентно, в фазе Хиггса, электрический заряд все еще сохраняется глобально, но больше не определяет суперселекционные секторы. Перераспределение заряда в сверхпроводнике может привести заряды в любой объем с очень небольшими затратами энергии. В этом случае суперселекционные секторы вакуума характеризуются направлением поля Хиггса. Поскольку различные направления поля Хиггса связаны точной симметрией, они все эквивалентны. Это указывает на глубокую связь между направлениями нарушения симметрии и сохраняющимися зарядами.

Дискретная симметрия

В 2D модели Изинга при низких температурах существуют два различных чистых состояния: одно со средним спином, направленным вверх, а другое – со средним спином, направленным вниз. Это упорядоченная фаза. При высоких температурах существует только одно чистое состояние со средним спином, равным нулю. Это беспорядочная фаза. При фазовом переходе между ними нарушается симметрия между спином вверх и спином вниз. Ниже температуры фазового перехода бесконечная модель Изинга может находиться либо в основном состоянии со спинами, направленными вверх, либо в основном состоянии со спинами, направленными вниз. Если система начинается в основном состоянии со спинами вверх, она никогда не перейдет в основное состояние со спинами вниз, даже если инверсия всех спинов приведет к той же энергии. Изменяя температуру, система приобретает новое правило суперселекции – средний спин. Существует два сектора суперселекции: преимущественно со спинами вниз и преимущественно со спинами вверх. Существуют также другие сектора суперселекции; например, состояния, в которых левая половина плоскости преимущественно со спинами вверх, а правая половина – преимущественно со спинами вниз. Когда появляется новое правило суперселекции, система спонтанно упорядочивается. Выше критической температуры модель Изинга находится в беспорядочном состоянии. В принципе, она может посетить любое состояние. Ниже температуры перехода система случайным образом выбирает одну из двух возможностей и никогда не меняет своего решения. Для любой конечной системы суперселекция несовершенна. Модель Изинга на конечной решетке в конечном итоге будет переходить от преимущественно со спинами вверх к преимущественно со спинами вниз при любой ненулевой температуре, но это занимает очень много времени. Время перехода экспоненциально уменьшается с увеличением размера системы, измеренного в единицах длины корреляции, поэтому для всех практических целей переворот никогда не происходит даже в системах, которые лишь в несколько раз больше длины корреляции.