Кіріспе
Конвергент емес шексіз қатарлар. Математикада дивергентті қатар – бұл конвергент емес шексіз қатар, яғни қатардың ішінара қосындыларының шексіз тізбегінің шекті мәні жоқ. Егер қатар конвергент болса, онда қатардың жеке мүшелері нөлге жақындауы керек. Сондықтан, жеке мүшелері нөлге жақындамайтын кез келген қатар дивергент болады. Дегенмен, конвергенция – күштірек шарт: мүшелері нөлге жақындаса да, барлық қатарлар конвергент бола бермейді. Мысалы, гармониялық қатар.
In mathematics, a divergent series is an infinite series that is not convergent, meaning that the infinite sequence of the partial sums of the series does not have a finite limit. If a series converges, the individual terms of the series must approach zero. Thus any series in which the individual terms do not approach zero diverges. However, convergence is a stronger condition: not all series whose terms approach zero converge. A counterexample is the harmonic series
The divergence of the harmonic series was proven by the medieval mathematician Nicole Oresme. In specialized mathematical contexts, values can be objectively assigned to certain series whose sequences of partial sums diverge, in order to make meaning of the divergence of the series. A summability method or summation method is a partial function from the set of series to values. For example, Cesàro summation assigns Grandi's divergent series
the value Cesàro summation is an averaging method, in that it relies on the arithmetic mean of the sequence of partial sums. Other methods involve analytic continuations of related series. In physics, there are a wide variety of summability methods; these are discussed in greater detail in the article on regularization.
Гармониялық қатардың дивергенциясын орта ғасыр математигі Николь Оресме дәлелдеген. Математиканың белгілі бір салаларында, қатардың ішінара қосындыларының тізбегі дивергент болғанда, кейбір қатарларға объективті түрде мән беруге болады, осылайша қатардың дивергенциясына мән беруге мүмкіндік туады. Қосымшалау әдісі немесе жиынтықтау әдісі – қатарлар жиынынан мәндерге дейінгі ішінара функция. Мысалы, Чезаро қосындысы Грандидің дивергентті қатарына мән береді. Чезаро қосындысы – орташалау әдісі, себебі ол ішінара қосындылар тізбегінің арифметикалық ортасына сүйенеді. Басқа әдістерге байланысты қатарлардың аналитикалық жалғасуы кіреді. Физикада жиынтықтау әдістерінің кең ауқымы бар; олар туралы реттеу туралы мақалада толығырақ айтылған.
In mathematics, a divergent series is an infinite series that is not convergent, meaning that the infinite sequence of the partial sums of the series does not have a finite limit. If a series converges, the individual terms of the series must approach zero. Thus any series in which the individual terms do not approach zero diverges. However, convergence is a stronger condition: not all series whose terms approach zero converge. A counterexample is the harmonic series
The divergence of the harmonic series was proven by the medieval mathematician Nicole Oresme. In specialized mathematical contexts, values can be objectively assigned to certain series whose sequences of partial sums diverge, in order to make meaning of the divergence of the series. A summability method or summation method is a partial function from the set of series to values. For example, Cesàro summation assigns Grandi's divergent series
the value Cesàro summation is an averaging method, in that it relies on the arithmetic mean of the sequence of partial sums. Other methods involve analytic continuations of related series. In physics, there are a wide variety of summability methods; these are discussed in greater detail in the article on regularization.
Тарих
19 ғасырдан бұрын Леонхард Эйлер және басқалар дивергентті тізбектерді кеңінен қолданған, бірақ олар көбінесе шатастыратын және қайшы нәтижелерге әкелді. Басты мәселе – Эйлердің кез келген дивергентті тізбектің сомасы немен екенін анықтамай, табиғи сомасы болуы керек деген ойы болды. Аугустин Луи Коши соңында (конвергентті) тізбектердің қосындысының қатаң анықтамасын берді, және одан кейін біраз уақыт бойы дивергентті тізбектер математикадан көбінесе шығарылды. Олар 1886 жылы Анри Пуанкаренің асимптотикалық қатарлар туралы жұмысымен қайта пайда болды. 1890 жылы Эрнесто Чезаро кейбір дивергентті тізбектердің сомасын қатаң түрде анықтауға болатынын түсінді және Чезаро қосындысын анықтады. (Бұл 1880 жылы Фердинанд Георг Фробениус қолданған Цезаро қосындысының алғашқы қолданылуы емес; Чезароның басты үлесі осы әдісті табу емес, егер дивергентті тізбектің сомасын нақты анықтау керек деген идеясы болды.) Чезароның мақаласынан кейінгі жылдары басқа математиктер дивергентті тізбектердің сомасына басқа анықтамалар берді, бірақ олар әрқашан сәйкес келе бермейді: әртүрлі анықтамалар бірдей дивергентті тізбектің сомасы үшін әртүрлі жауаптар бере алады; сондықтан дивергентті тізбектің сомасы туралы сөйлескенде, қандай қосындылау әдісі қолданылып жатқанын нақты көрсету қажет.
Дивергентті тізбектерді қосу әдістері туралы теоремалар
Жиынтықталу әдісі M, егер ол барлық конвергентті қатарлар үшін нақты лимитпен сәйкес келсе, реттелген болып саналады. Мұндай нәтиже Абель теоремасынан бастау алған M үшін Абель теоремасы деп аталады. Одан да күрделірек жағдай – Альфред Таубер дәлелдеген прототиптік теоремадан туындаған Таубер теоремалары деп аталатын жартылай кері нәтижелер. Мұндағы жартылай кері дегеніміз, егер M Σ қатарын жиынтықтаса және белгілі бір қосымша шарт орындалса, онда Σ бастапқыда конвергентті болған; егер қосымша шарт болмаса, онда мұндай нәтиже M тек конвергентті қатарларды жиынтықтайды дегенді білдірер еді (бұл оны дивергентті қатарларды жиынтықтау үшін қолданусыз етеді). Конвергентті қатардың қосындысын беретін функция сызықтық болып табылады, және Хан–Банах теоремасынан оны шектелген ішінара қосындылары бар кез келген қатарды жиынтықтайтын жиынтықталу әдісіне кеңейтуге болады. Бұл Банах лимиті деп аталады. Бұл факт практикада аса пайдалы емес, себебі мұндай кеңейтулер көп, және олар бір-бірімен үйлесімсіз, сондай-ақ мұндай операторлардың бар екенін дәлелдеу үшін таңдау аксиомасын немесе оған теңдес, мысалы, Зорн леммасын қолдану қажет. Сондықтан олар конструктивті емес. Дивергентті қатарлар математикалық талдау саласы ретінде, негізінен Абель жиынтықталуы, Цезаро жиынтықталуы және Борель жиынтықталуы сияқты нақты және табиғи әдістермен және олардың арақатынастарымен айналысады. Винердің Таубер теоремасының пайда болуы бұл салада маңызды кезеңді белгіледі, Фурье талдауындағы Банах алгебрасы әдістерімен күтпеген байланыстарды енгізді. Дивергентті қатарларды жиынтықтау экстраполяция әдістерімен және сандық техникалар ретінде реттілік түрлендірулерімен де байланысты. Мұндай техникалардың мысалдары – Паде жуықтаулары, Левин типті реттілік түрлендірулері және кванттық механикадағы үлкен реттік бұзылу теориясы үшін қайта нормалау техникаларымен байланысты реттік тәуелділіктер.
Классикалық жиынтық әдістері
Қатарлар үшін екі классикалық жиынтықтау әдісі – қарапайым және абсолютті жиынтықтау – жиынтықты белгілі бір ішінара жиынтықтардың лиміті ретінде анықтайды. Бұлар тек толықтығы үшін ғана келтірілген; қатаң айтқанда, олар дивергентті қатарлар үшін нағыз жиынтықтау әдістері емес, себебі, анықтама бойынша, қатар дивергентті болып есептелінеді, егер осы әдістер жұмыс істемесе. Көптеген, бірақ барлық емес, дивергентті қатарларға арналған жиынтықтау әдістері осы әдістерді тізбектердің кеңірек класына қолданады.
Абсолюттік конвергенция
Абсолюттік конвергенция – сандар тізбесінің (немесе жиынтығының) қосындысын барлық ішінара қосындылар желісінің шегі ретінде анықтайды: ak1 + … + akn, егер бұл шек бар болса. Ол тізбек элементтерінің ретіне тәуелді емес. Классикалық теоремаға сәйкес, тізбек абсолюттік конвергенцияға ие болса және тек сонда ғана абсолюттік мәндер тізбегі стандарттық мағынада конвергентті болады.
Бір қатардың қосындысы
Кошидің a₀ + a₁ + ... сериясының қосындысының классикалық анықтамасы, a₀ + a₁ + ... + aₙ бөлшектік қосындылар тізбегінің лиміті ретінде беріледі. Бұл тізбектердің жуысуының стандартты анықтамасы.
Кесаро қорытындысы
Nørlund қаражатының ең маңыздысы – Cesàro сомалары. Егер pk тізбегін былай анықтасақ:
онда Cesàro сомасы Ck мына арқылы анықталады: 1=Ck(s) = N(pk)(s). Cesàro сомалары 1=k ≥ 0 болғанда Nørlund ортасы болып табылады, демек, олар реттелген, сызықты, тұрақты және үйлесімді. C0 – қарапайым қосынды, ал C1 – қарапайым Cesàro қосындысы. Cesàro сомаларының қасиеті бар: егер 1=h > k болса, онда Ch, Ck-дан күшті.
Абельдік мәндер
Болсын, 1=λ = {λ0, λ1, λ2, } – шексізге қарай қатаң өсетін тізбек және 1=λ0 ≥ 0. x > 0 болатын барлық нақты сандар үшін төмендегі қатар жинақталады деп есептейік:
Онда Абель орташасы Aλ былай анықталады:
Жалпырақ, егер f функциясы үшін қатар тек үлкен x мәндері үшін ғана жинақталып, бірақ барлық оң нақты x мәндеріне аналитикалық түрде жалғастырылса, онда осы шашыраңқы қатардың қосындысын жоғарыдағы лимит арқылы анықтауға болады. Мұндай қатарлар жалпыланған Дирихле қатары деп аталады; физикада қолданылуында бұл жылу ядросын реттеу әдісі деп танылады. Абель орташалары реттелген және сызықтық, бірақ тұрақты емес және λ-ның әртүрлі таңдаулары арасында әрқашан сәйкес келе бермейді. Дегенмен, кейбір ерекше жағдайлар өте маңызды қосындылау әдістері болып табылады.
Абель жиынтығы
Егер 1 = λn = n болса, онда Абель қосындысының әдісін аламыз. Мұнда
z = exp(−x), онда f(x) функциясы x оң нақты сандар арқылы 0-ге жақындағандағы шегі, z оң нақты сандар арқылы 1-ге төменнен жақындағандағы f(z) қуат қатарының шегімен бірдей болады. Абель қосындысы A(s) былай анықталады:
Абель қосындысының қызығушылығының бір бөлігі – ол Цезаро қосындысына сәйкес келеді, бірақ одан күштірек: егер Цезаро қосындысы анықталған болса, онда 1 = A(s) = Ck(s). Сондықтан Абель қосындысы реттелген, сызықтық, тұрақты және Цезаро қосындысына сәйкес келеді.
Талдаудың жалғасы
Бірнеше қосындылау әдістері функцияның аналитикалық жалғасының мәнін табуды қамтиды.
Эйлер жиынтығы
Ойлер жиынтығы – негізінен аналитикалық жалғастырудың ашық түрі. Егер қуат қатары кішкентай кешенді z үшін жақындасса және диаметрі 0-ден 1-ге дейінгі ашық дискке аналитикалық түрде жалғастырылса, сондай-ақ 1-де үздіксіз болса, онда оның q-дағы мәні Эйлер немесе (E,q) қатарының Σan сомасы деп аталады. Эйлер аналитикалық жалғастыру жалпы түрде анықталғанға дейін оны қолданған және аналитикалық жалғастырудың қуат қатары үшін нақты формулалар берген. Эйлер жиынтығының амалы бірнеше рет қайталанады, бұл негізінен қуат қатарын z = 1 нүктесіне дейін аналитикалық түрде жалғастырумен тең.
Интегралды функция
Егер J(x) = Σpnxn интегралды функция болса, онда a0 + тізбесінің J қосындысы, егер бұл шек бар болса, былай анықталады. Бұл әдістің бір түрі бар, онда J тізбегінің конвергенция радиусы r-ге тең және x = r нүктесінде жинақталмайды. Бұл жағдайда, жоғарыдағыдай қосынды анықталады, бірақ шексіздікке емес, x r-ге жақындағанда алынады.
if this limit exists. There is a variation of this method where the series for J has a finite radius of convergence r and diverges at x = r. In this case one defines the sum as above, except taking the limit as x tends to r rather than infinity.
Борел жиынтығы
J(x) = ex ерекше жағдайында бұл Борель қосындысының бір (әлсіз) түрін береді.
Валирон әдісі
Валирон әдісі Борель қосындысының белгілі бір жалпы интегралды функциялар J-ға жасалған жалпылауы болып табылады. Валирон көрсеткендей, белгілі бір шарттарда ол қатардың қосындысын былай анықтауға тең:
мұнда H – G функциясының екінші туындысы, ал c(n) = e−G(n) және a0 + … + ah, h < 0 болғанда 0 ретінде қарастырылады.
BGN гиперреалдық жиынтығы
Бұл жиынтық әдісі гиперреалдық сандар деп аталатын нақты сандардың кеңейтілуін пайдалану арқылы жұмыс істейді. Гиперреалдық сандар ерекше шексіз мәндерді қамтитындықтан, оларды дивергентті қатарлардың мәнін көрсету үшін қолдануға болады. Негізгі әдіс – қосылатын нақты бір шексіз мәнді белгілеу, әдетте , ол шексіздік бірлігі ретінде қолданылады. Кез келген шексіздікке қосудың орнына (әдетте -мен жасалатындай), BGN әдісі белгіленген гиперреалдық шексіз мәнге қосады. Бұл шекті қатарлар үшін стандартты формулаларды, мысалы, арифметикалық прогрессияларды шексіз контексте қолдануға мүмкіндік береді. Мысалы, осы әдісті қолданып, прогрессияның қосындысы , ал ең маңызды шексіз гиперреалдық бөлігін пайдалансақ, .
This allows the usage of standard formulas for finite series such as arithmetic progressions in an infinite context. For instance, using this method, the sum of the progression is , or, using just the most significant infinite hyperreal part, .
Хаусдорфтың түрлендірулері
Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to complete the translation as requested. I will then provide only the final translated text in Kazakh.
Хаттон әдісі
1812 жылы Хаттон айырмашылық тізбектерді қосу әдісін енгізді, бұл әдіс бөлшек сомалар тізбегінен басталып, s0, s1 тізбектерін орташа шамалар тізбегімен ( , , ) ауыстыру операциясын қайталап қолдану және содан кейін лимит алу арқылы жүзеге асырылады.
Ингамның жиынтығы
a1 + ... қатары s-қа Ингем жиынтығы деп аталады егер
Альберт Ингем көрсеткендей, егер δ кез келген оң сан болса, (C,−δ) (Цезарь) жиынтығы Ингем жиынтығын білдіреді, ал Ингем жиынтығы (C,δ) жиынтығын білдіреді.
Ламберт қосындылығы
Егер a1 + қатары s-ке Ламберт қосындысы деп аталады, егер
Егер қатар кез келген k үшін (C,k) (Чезаро) қосындысы болса, онда ол Ламберт қосындысы болады, және егер қатар Ламберт қосындысы болса, онда ол Абель қосындысы болады.
Ле Рой қорытындылары
a₀ + сериясы s-ке Le Roy қосындысы деп аталады, егер
Миттаг-Леффлер жиынтығы
a₀ + сериясы s-ке Миттаг-Леффлер (M) жиынтығы деп аталады, егер
Раманужан жиынтығы
Раманужандық жиынтық – Раманужан қолданған және Эйлер-Маклаурин жиынтық формуласына негізделген, айырмашылыққа шақырған қатарларға мән беру әдісі. f(0) + f(1) + ... қатарының Раманужандық қосындысы f функциясының бүтін сандардағы мәндеріне ғана емес, сонымен қатар бүтін емес нүктелердегі мәндеріне де байланысты, сондықтан бұл мақаланың мағынасында нағыз жиынтық әдісі емес.
Риманның қосындылығы
a1 + қатары s-ке (R,k) (немесе Риман) қосындысы деп аталады, егер
a1 + қатары s-ке R2 қосындысы деп аталады, егер
Валле-Пуссен жиынтығы
a₁ + сериясы s-ке VP (немесе Vallée Poussin) жиынтығына жақындаса, онда
мұндағы – гамма функциясы.