Введение

Бесконечные ряды, которые не сходятся

В математике, расходящийся ряд – это бесконечный ряд, который не сходится, то есть бесконечная последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела. Если ряд сходится, то отдельные члены ряда должны стремиться к нулю. Следовательно, любой ряд, в котором отдельные члены не стремятся к нулю, расходится. Однако сходимость – более строгое условие: не все ряды, чьи члены стремятся к нулю, сходятся. Контрпримером является гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда была доказана средневековым математиком Николем Оремом. В специализированных математических контекстах значения могут быть объективно присвоены определенным рядам, последовательности частичных сумм которых расходятся, чтобы придать смысл расхождению ряда. Метод суммирования – это частичная функция из множества рядов в значения. Например, суммирование Чезаро присваивает расходящемуся ряду Гранди определенное значение. Суммирование Чезаро является методом усреднения, поскольку оно основано на арифметическом среднем последовательности частичных сумм. Другие методы включают аналитическое продолжение связанных рядов. В физике существует большое разнообразие методов суммирования; они более подробно обсуждаются в статье о регуляризации.

История

До XIX века расходящиеся ряды широко использовались Леонардом Эйлером и другими, но часто приводили к сбивающим с толку и противоречивым результатам. Основной проблемой была идея Эйлера о том, что любой расходящийся ряд должен иметь естественную сумму, не определяя предварительно, что понимается под суммой расходящегося ряда. Августин Луи Коши в конечном итоге дал строгое определение суммы (сходящегося) ряда, и на некоторое время после этого расходящиеся ряды были в основном исключены из математики. Они вновь появились в 1886 году благодаря работам Анри Пуанкаре по асимптотическим рядам. В 1890 году Эрнесто Чезаро осознал, что можно дать строгое определение суммы для некоторых расходящихся рядов, и определил суммирование Чезаро. (Это не было первым применением суммирования Чезаро, которое Фердинанд Георг Фробениус использовал неявно в 1880 году; ключевым вкладом Чезаро было не открытие этого метода, а его идея о необходимости давать явное определение суммы расходящегося ряда.) В годы, последовавшие за публикацией Чезаро, другие математики предложили различные определения суммы расходящегося ряда, однако они не всегда согласуются между собой: разные определения могут давать разные результаты для суммы одного и того же расходящегося ряда; поэтому, говоря о сумме расходящегося ряда, необходимо уточнять, какой метод суммирования используется.

Теоремы о методах суммирования дивергентных рядов

Метод суммируемости M является регулярным, если он совпадает с фактическим пределом для всех сходящихся рядов. Такой результат называется теоремой Абеля для M, по аналогии с прототипической теоремой Абеля. Более тонкие результаты, являющиеся частными обратными теоремами, называются теоремами Таубера, по аналогии с прототипом, доказанным Альфредом Таубером. Здесь «частное обращение» означает, что если M суммирует ряд Σ и выполняется некоторое дополнительное условие, то Σ изначально был сходящимся; без какого-либо дополнительного условия такой результат означал бы, что M суммирует только сходящиеся ряды (что делает его бесполезным как метод суммирования для расходящихся рядов). Функция, дающая сумму сходящегося ряда, линейна, и из теоремы Ганна — Банаха следует, что её можно расширить до метода суммирования, суммирующего любой ряд с ограниченными частными суммами. Это называется пределом Банаха. Этот факт не очень полезен на практике, поскольку существует множество таких расширений, которые несовместимы друг с другом, а также потому, что доказательство существования таких операторов требует использования аксиомы выбора или её эквивалентов, таких как лемма Зорна. Следовательно, они неконструктивны. Область исследования расходящихся рядов, как область математического анализа, в основном связана с явными и естественными методами, такими как суммирование Абеля, суммирование Чезаро и суммирование Бореля, и их взаимосвязями. Появление теоремы Таубера — Винера ознаменовало эпоху в этой области, установив неожиданные связи с методами банаховой алгебры в анализе Фурье. Суммирование расходящихся рядов также связано с методами экстраполяции и преобразованиями последовательностей как с численными методами. Примерами таких методов являются аппроксимации Паде, преобразования последовательностей типа Левина и отображения, зависящие от порядка, связанные с методами перенормировки для теории возмущений высокого порядка в квантовой механике.

Классические методы суммирования

Два классических метода суммирования рядов, обычная сходимость и абсолютная сходимость, определяют сумму как предел определенных частных сумм. Они приведены лишь для полноты; строго говоря, это не настоящие методы суммирования расходящихся рядов, поскольку по определению ряд считается расходящимся, если эти методы неприменимы. Большинство, но не все методы суммирования расходящихся рядов расширяют эти методы на более широкий класс последовательностей.

Абсолютное сближение

Абсолютная сходимость определяет сумму последовательности (или множества) чисел как предел сети всех частичных сумм a₁ + … + aₙ, если он существует. Она не зависит от порядка элементов последовательности, и классическая теорема утверждает, что последовательность абсолютно сходится тогда и только тогда, когда последовательность абсолютных значений сходится в обычном смысле.

Сумма ряда

Классическое определение Коши суммы ряда a₀ + a₁ + ... определяет сумму как предел последовательности частичных сумм a₀ + a₁ + ... + aₙ. Это стандартное определение сходимости последовательности.

Резюме Cesàro

Наиболее значимыми средствами Нёрлунда являются суммы Чезаро. Здесь, если мы определим последовательность pk следующим образом:

то сумма Чезаро Ck определяется как Ck(s) = N(pk)(s). Суммы Чезаро являются средними Нёрлунда, если k ≥ 0, и, следовательно, являются регулярными, линейными, стабильными и согласованными. C0 – это обычное суммирование, а C1 – обычное суммирование Чезаро. Суммы Чезаро обладают свойством: если h > k, то Ch сильнее Ck.

Абелевское значение

Предположим, что λ = {λ₀, λ₁, λ₂,} является строго возрастающей последовательностью, стремящейся к бесконечности, и что λ₀ ≥ 0. Предположим, что

сходится для всех действительных чисел x > 0. Тогда среднее Абеля Aλ определяется как

В более общем случае, если ряд для f сходится только при больших x, но может быть аналитически продолжен на все положительные действительные x, то можно все равно определить сумму расходящегося ряда, используя предел, указанный выше. Ряд такого типа известен как обобщенный ряд Дирихле; в приложениях к физике это известно как метод регуляризации ядра теплового уравнения. Средние Абеля являются регулярными и линейными, но не обладают свойством устойчивости и не всегда согласуются при различных выборах λ. Однако некоторые частные случаи представляют собой очень важные методы суммирования.

Абелевская сумма

Если 1 = λn = n, то мы получаем метод суммирования Абеля. Здесь

где z = exp(−x). Тогда предел f(x) при x стремящемся к 0 через положительные действительные числа является пределом степенного ряда для f(z) при z стремящемся к 1 снизу через положительные действительные числа, и сумма Абеля A(s) определяется как

Суммирование Абеля интересно, в частности, тем, что оно согласуется с суммированием Чезаро, но при этом более мощно: 1 = A(s) = Ck(s) всякий раз, когда последнее определено. Следовательно, сумма Абеля является регулярной, линейной, стабильной и согласуется с суммированием Чезаро.

Аналитическое продолжение

Несколько методов суммирования включают в себя использование значения аналитического продолжения функции.

Суммация Эйлера

Суммация Эйлера — это, по сути, явная форма аналитического продолжения. Если степенной ряд сходится для малых комплексных z и может быть аналитически продолжен на открытый диск с диаметром от 0 до 1 и непрерывен в точке 1, то его значение в точке q называется суммой Эйлера или (E,q)-суммой ряда Σan. Эйлер использовал этот метод до того, как аналитическое продолжение было определено в общем виде, и дал явные формулы для степенного ряда аналитического продолжения. Операцию суммирования Эйлера можно повторять несколько раз, и это по существу эквивалентно аналитическому продолжению степенного ряда до точки z = 1.

Интегральная функция означает

Если J(x) = Σpnxn является интегральной функцией, то J-сумма ряда a0 + определяется как

если этот предел существует. Существует вариант этого метода, при котором ряд для J имеет конечный радиус сходимости r и расходится при x = r. В этом случае сумма определяется так же, как и выше, но предел берется при x, стремящемся к r, а не к бесконечности.

Борельская сумма

В особом случае, когда J(x) = ex, это дает одну (слабую) форму суммирования Бореля.

Метод Валирона

Метод Валирона является обобщением суммирования Бореля для определенных более общих интегральных функций J. Валирон показал, что при определенных условиях он эквивалентен определению суммы ряда как

где H — вторая производная G, а c(n) = e−G(n), при этом a₀ + … + aₐₕ следует понимать как 0 при h < 0.

Гиперреальная сумма BGN

Этот метод суммирования работает с использованием расширения множества вещественных чисел, известного как гипервещественные числа. Поскольку гипервещественные числа включают в себя различные бесконечно большие значения, эти числа можно использовать для представления значений расходящихся рядов. Основной принцип заключается в обозначении конкретного бесконечно большого значения, к которому производится суммирование, обычно ε, которое используется в качестве единицы бесконечности. Вместо суммирования к произвольной бесконечности (как это обычно делается с ∞), метод BGN суммирует к конкретному гипервещественному бесконечно большому значению, обозначенному как ε. Поэтому суммирования имеют вид

Это позволяет использовать стандартные формулы для конечных рядов, такие как арифметические прогрессии, в бесконечном контексте. Например, используя этот метод, сумма прогрессии 1 + 2 + 3 + … равна -1/12, или, используя только наиболее значимую бесконечно большую гипервещественную часть, ε/2.

Преобразования Хаусдорфа

Да.

Метод Хаттона

В 1812 году Хаттон предложил метод суммирования расходящихся рядов, начиная с последовательности частных сумм и многократно применяя операцию замены последовательности s0, s1, … последовательностью средних , , , …, а затем находя предел.

Суммабельность Ингема

Ряд a1 + называется суммируемым по Ингему к s, если

Альберт Ингем показал, что если δ – любое положительное число, то суммируемость по Чезаро (C, −δ) влечет суммируемость по Ингему, а суммируемость по Ингему влечет суммируемость по Чезаро (C, δ).

Суммируемость Ламберта

Ряд a1 + называется суммируемым по Ламберту к s, если

Если ряд (C,k) (Чезаро) суммируем для любого k, то он суммируем по Ламберту к тому же значению, и если ряд суммируем по Ламберту, то он суммируем по Абелю к тому же значению.

Резюме Ле Роя

Серия a₀ + называется суммируемой по Ле Руа к s, если

Суммация Миттага-Лефлера

Ряд a0 + называется суммируемым по Миттаг-Леффлеру (M) к s, если

Суммация Рамануджана

Суммирование Рамануджана — это метод присвоения значения расходящимся рядам, использованный Рамануджаном и основанный на формуле суммирования Эйлера — Маклорена. Сумма Рамануджана ряда f(0) + f(1) + … зависит не только от значений функции f в целых числах, но и от значений функции f в нецелых точках, поэтому это не является методом суммирования в смысле данной статьи.

Суммабельность Римана

Ряд a1 + называется (R,k) (или Римановым) суммируемым к s, если

Ряд a1 + называется R2 суммируемым к s, если

Сборная Валле-Пуссен

Серия a1 + называется VP (или Vallée Poussin) суммируемой к s, если

где γ – гамма-функция.